problema de n-cuerpos

Problema en física y mecánica celeste.

En física , el problema de los n -cuerpos es el problema de predecir los movimientos individuales de un grupo de objetos celestes que interactúan gravitacionalmente entre sí . ^[1] La solución de este problema ha sido motivada por el deseo de comprender los movimientos del Sol , la Luna , los planetas y las estrellas visibles . En el siglo XX, comprender la dinámica de los sistemas estelares de cúmulos globulares se convirtió en un importante problema de n cuerpos. ^[2] El problema de los n cuerpos en la relatividad general es considerablemente más difícil de resolver debido a factores adicionales como las distorsiones del tiempo y el espacio.

El problema físico clásico se puede plantear informalmente de la siguiente manera:

Dadas las propiedades orbitales casi estables (posición instantánea, velocidad y tiempo) ^[3] de un grupo de cuerpos celestes, prediga sus fuerzas interactivas; y en consecuencia, predecir sus verdaderos movimientos orbitales para todos los tiempos futuros. ^[4]

El problema de los dos cuerpos ha sido completamente solucionado y se comenta a continuación, así como el famoso problema restringido de los tres cuerpos . ^[5]

Historia

Conociendo tres posiciones orbitales de la órbita de un planeta (posiciones obtenidas por Sir Isaac Newton del astrónomo John Flamsteed ^[6] ), Newton pudo producir una ecuación mediante geometría analítica sencilla para predecir el movimiento de un planeta; es decir, dar sus propiedades orbitales: posición, diámetro orbital, período y velocidad orbital. ^[7] Una vez hecho esto, él y otros descubrieron pronto, en el transcurso de algunos años, que esas ecuaciones de movimiento no predecían algunas órbitas correctamente o incluso muy bien. ^[8] Newton se dio cuenta de que esto se debía a que las fuerzas gravitacionales interactivas entre todos los planetas estaban afectando todas sus órbitas.

La revelación antes mencionada golpea directamente al núcleo de lo que es físicamente el problema de los n cuerpos: como entendió Newton, no es suficiente simplemente proporcionar la ubicación y la velocidad iniciales, o incluso tres posiciones orbitales, para establecer la órbita real de un planeta; También hay que tener en cuenta las fuerzas de interacción gravitacional. Así surgió la conciencia y el surgimiento del "problema" de los n -cuerpos a principios del siglo XVII. Estas fuerzas de atracción gravitacional se ajustan a las leyes del movimiento de Newton y a su ley de gravitación universal, pero las numerosas interacciones múltiples ( n -cuerpos) han hecho históricamente que cualquier solución exacta sea intratable. Irónicamente, esta conformidad condujo a un enfoque equivocado.

Después de la época de Newton, el problema de los n cuerpos históricamente no se planteó correctamente porque no incluía una referencia a esas fuerzas gravitacionales interactivas. Newton no lo dice directamente, pero da a entender en sus Principia que el problema de los n cuerpos no tiene solución debido a esas fuerzas gravitacionales interactivas. ^[9] Newton dijo ^[10] en sus Principia , párrafo 21:

Y de ahí que la fuerza de atracción se encuentre en ambos cuerpos. El Sol atrae a Júpiter y a los demás planetas, Júpiter atrae a sus satélites y de la misma manera los satélites actúan unos sobre otros. Y aunque las acciones de cada uno de un par de planetas sobre el otro pueden distinguirse entre sí y pueden considerarse como dos acciones por las cuales cada uno atrae al otro, sin embargo, en cuanto están entre los mismos, dos cuerpos no son dos sino una operación sencilla entre dos terminales. Dos cuerpos pueden atraerse entre sí mediante la contracción de una cuerda entre ellos. La causa de la acción es doble, a saber, la disposición de cada uno de los dos cuerpos; la acción es igualmente doble, en cuanto se realiza sobre dos cuerpos; pero en cuanto está entre dos cuerpos es único y uno...

Newton concluyó mediante su tercera ley del movimiento que "según esta ley, todos los cuerpos deben atraerse entre sí". Esta última afirmación, que implica la existencia de fuerzas gravitacionales interactivas, es clave.

Como se muestra a continuación, el problema también se ajusta al primer y segundo principios no newtonianos de Jean Le Rond D'Alembert y al algoritmo no lineal del problema de n cuerpos, este último permite una solución de forma cerrada para calcular esas fuerzas interactivas.

El problema de encontrar la solución general al problema de los n cuerpos se consideró muy importante y desafiante. De hecho, a finales del siglo XIX el rey Óscar II de Suecia , asesorado por Gösta Mittag-Leffler , estableció un premio para quien pudiera encontrar la solución al problema. El anuncio fue bastante específico:

Dado un sistema de muchos puntos de masa arbitrarios que se atraen según la ley de Newton, bajo el supuesto de que nunca dos puntos chocan, intente encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que sea alguna función conocida del tiempo. y para todos cuyos valores la serie converge uniformemente .

En caso de que el problema no pudiera resolverse, cualquier otra contribución importante a la mecánica clásica se consideraría digna de premio. El premio fue otorgado a Poincaré , aunque no resolvió el problema original. (La primera versión de su contribución incluso contenía un error grave. ^[11] ) La versión finalmente impresa contenía muchas ideas importantes que llevaron al desarrollo de la teoría del caos . El problema como se planteó originalmente fue finalmente resuelto por Karl Fritiof Sundman para n = 3 y generalizado a n > 3 por L. K. Babadzanjanz ^{[12] [13]} y Qiudong Wang . ^[14]

formulación general

El problema de los n cuerpos considera n masas puntuales m _i , i = 1, 2, …, n en un sistema de referencia inercial en un espacio tridimensional ℝ ³ que se mueve bajo la influencia de una atracción gravitacional mutua. Cada masa m _i tiene un vector de posición q _i . La segunda ley de Newton dice que masa multiplicada por aceleración m _i d ² q _yo/dt ²es igual a la suma de las fuerzas sobre la masa. La ley de gravedad de Newton dice que la fuerza gravitacional que siente una sola masa m _j sobre la masa m _i está dada por ^[15]

$${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$$

Gconstante gravitacional‖ q _j − q _i ‖q _iq _jmétrica inducida pornorma l 2

La suma de todas las masas produce las ecuaciones de movimiento de n cuerpos :

${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$

donde U es la energía potencial propia

$${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$$

Definir el impulso como p _i = m _i d q _yo/dt, las ecuaciones de movimiento de Hamilton para el problema de n cuerpos se convierten en ^[16]

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$$

función hamiltoniana

$${\displaystyle H=T+U}$$

Tenergía cinética

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$$

Las ecuaciones de Hamilton muestran que el problema de los n cuerpos es un sistema de 6 n ecuaciones diferenciales de primer orden , con 6 n condiciones iniciales como 3 n coordenadas de posición inicial y 3 n valores de momento iniciales.

Las simetrías en el problema de los n cuerpos producen integrales globales de movimiento que simplifican el problema. ^[17] La ​​simetría traslacional del problema da como resultado el centro de masa.

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$$

C = L ₀ t + C ₀L ₀C ₀L ₀C ₀La simetría rotacional da como resultado que el momento angular

$${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$$

producto cruzadoAconservación de laH. de n

Debido a que T y U son funciones homogéneas de grado 2 y −1, respectivamente, las ecuaciones de movimiento tienen una invariancia de escala : si q _i ( t ) es una solución, entonces también lo es λ ^−2/3 q _i ( λt ) para cualquier λ > 0 . ^[18]

El momento de inercia de un sistema de n cuerpos está dado por

$${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$$

virialQ =1/2 yo/dtfórmula de Lagrange-Jacobi^[19]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$$

Para sistemas en equilibrio dinámico , el promedio temporal a largo plazo de ⟨d ² yo/dt ²⟩ es cero. Entonces, en promedio, la energía cinética total es la mitad de la energía potencial total, ⟨ T ⟩ =1/2⟨ U ⟩ , que es un ejemplo del teorema del virial para sistemas gravitacionales. ^[20] Si M es la masa total y R un tamaño característico del sistema (por ejemplo, el radio que contiene la mitad de la masa del sistema), entonces el tiempo crítico para que un sistema alcance un equilibrio dinámico es ^[21]

$${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.}$$

Casos especiales

problema de dos cuerpos

Cualquier discusión sobre las fuerzas interactivas planetarias siempre ha comenzado históricamente con el problema de los dos cuerpos . El propósito de esta sección es relacionar la complejidad real en el cálculo de cualquier fuerza planetaria. Tenga en cuenta también en esta Sección varios temas, como la gravedad , el baricentro , las leyes de Kepler , etc.; y en la siguiente sección también ( Problema de los tres cuerpos ) se analizan en otras páginas de Wikipedia. Sin embargo, aquí estos temas se discuten desde la perspectiva del problema de los n -cuerpos.

El problema de los dos cuerpos ( n = 2 ) fue completamente resuelto por Johann Bernoulli (1667-1748) mediante la teoría clásica (y no por Newton), suponiendo que el punto de masa principal era fijo; esto se describe aquí. ^[22] Consideremos entonces el movimiento de dos cuerpos, digamos el Sol y la Tierra, con el Sol fijo, entonces:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$$

La ecuación que describe el movimiento de la masa m ₂ con respecto a la masa m ₁ se obtiene fácilmente a partir de las diferencias entre estas dos ecuaciones y después de cancelar los términos comunes se obtiene:

$${\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$$

• r = r ₂ − r ₁ es la posición del vector de m ₂ con respecto a m ₁ ;
• α es la aceleración eulerianare ² r/dt ²;
• η = GRAMO ( metro ₁ + metro ₂ ) .

La ecuación α +η/r ³r = 0 es la ecuación diferencial fundamental para el problema de dos cuerpos que Bernoulli resolvió en 1734. Tenga en cuenta que para este enfoque primero se deben determinar las fuerzas y luego resolver la ecuación de movimiento. Esta ecuación diferencial tiene soluciones elípticas, parabólicas o hiperbólicas. ^{[23] [24] [25]}

Es incorrecto pensar que m ₁ (el Sol) está fijo en el espacio cuando se aplica la ley de gravitación universal de Newton, y hacerlo conduce a resultados erróneos. El punto fijo para dos cuerpos aislados que interactúan gravitacionalmente es su baricentro mutuo , y este problema de dos cuerpos se puede resolver exactamente, por ejemplo, usando coordenadas de Jacobi relativas al baricentro.

El Dr. Clarence Cleminshaw calculó la posición aproximada del baricentro del Sistema Solar, un resultado logrado principalmente combinando únicamente las masas de Júpiter y el Sol. El Programa de Ciencias afirmó en referencia a su trabajo:

El Sol contiene el 98 por ciento de la masa del sistema solar, y los planetas superiores más allá de Marte representan la mayor parte del resto. En promedio, el centro de masa del sistema Sol-Júpiter, cuando se consideran los dos objetos más masivos por separado, se encuentra a 462.000 millas del centro del Sol, ¡o a unas 30.000 millas sobre la superficie solar! Sin embargo, otros planetas grandes también influyen en el centro de masa del sistema solar. En 1951, por ejemplo, el centro de masa de los sistemas no estaba lejos del centro del Sol porque Júpiter estaba en el lado opuesto de Saturno, Urano y Neptuno. A finales de la década de 1950, cuando estos cuatro planetas estaban en el mismo lado del Sol, el centro de masa del sistema estaba a más de 330.000 millas de la superficie solar, calculó el Dr. C. H. Cleminshaw del Observatorio Griffith en Los Ángeles. ^[26]

Movimiento real versus movimiento aparente de Kepler

El Sol se tambalea mientras gira alrededor del Centro Galáctico , arrastrando consigo al Sistema Solar y a la Tierra. Lo que hizo el matemático Kepler para llegar a sus tres famosas ecuaciones fue ajustar las curvas de los movimientos aparentes de los planetas utilizando los datos de Tycho Brahe , y no ajustar las curvas de sus verdaderos movimientos circulares alrededor del Sol (ver Figura). Tanto Robert Hooke como Newton eran muy conscientes de que la Ley de Gravitación Universal de Newton no se aplicaba a las fuerzas asociadas con las órbitas elípticas. ^[10] De hecho, la Ley Universal de Newton no tiene en cuenta la órbita de Mercurio, el comportamiento gravitacional del cinturón de asteroides ni los anillos de Saturno . ^[27] Newton afirmó (en la sección 11 de los Principia ) que la razón principal, sin embargo, para no predecir las fuerzas para órbitas elípticas era que su modelo matemático era para un cuerpo confinado a una situación que apenas existía en el mundo real. es decir, los movimientos de los cuerpos atraídos hacia un centro inmóvil. Algunos libros de texto actuales de física y astronomía no enfatizan el significado negativo de la suposición de Newton y terminan enseñando que su modelo matemático es, de hecho, una realidad. Debe entenderse que la solución clásica del problema de dos cuerpos anterior es una idealización matemática. Véase también la primera ley del movimiento planetario de Kepler .

problema de tres cuerpos

Esta sección relata una solución históricamente importante a un problema de n cuerpos después de que se hicieron suposiciones simplificadoras.

En el pasado no se sabía mucho sobre el problema de los n -cuerpos para n ≥ 3 . ^[28] El caso n = 3 ha sido el más estudiado. Muchos intentos anteriores de comprender el problema de los tres cuerpos fueron cuantitativos y tenían como objetivo encontrar soluciones explícitas para situaciones especiales.

• En 1687, Isaac Newton publicó en los Principia los primeros pasos en el estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuas, pero sus esfuerzos dieron como resultado descripciones verbales y esquemas geométricos; véase especialmente el Libro 1, Proposición 66 y sus corolarios (Newton, 1687 y 1999 (traducción), véase también Tisserand, 1894).
• En 1767, Euler descubrió los movimientos colineales , en los que tres cuerpos de cualquier masa se mueven proporcionalmente a lo largo de una línea recta fija. El problema de los tres cuerpos de Euler es el caso especial en el que dos de los cuerpos están fijos en el espacio (esto no debe confundirse con el problema circular restringido de los tres cuerpos , en el que los dos cuerpos masivos describen una órbita circular y sólo están fijos en un marco de referencia sinódico).
• En 1772, Lagrange descubrió dos clases de soluciones periódicas, cada una para tres cuerpos de cualquier masa. En una clase, los cuerpos se encuentran sobre una línea recta que gira. En la otra clase, los cuerpos se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero en rotación. En cualquier caso, los caminos de los cuerpos serán tramos cónicos. Esas soluciones llevaron al estudio de configuraciones centrales , para las cuales q̈ = kq para alguna constante k > 0 .
• Charles-Eugène Delaunay emprendió un importante estudio del sistema Tierra-Luna-Sol , que publicó dos volúmenes sobre el tema, cada uno de 900 páginas de longitud, en 1860 y 1867. Entre muchos otros logros, el trabajo ya insinúa el caos. , y demuestra claramente el problema de los llamados "pequeños denominadores" en la teoría de la perturbación .
• En 1917, Forest Ray Moulton publicó su ahora clásico, Introducción a la mecánica celeste (ver referencias), con su argumento de la solución del problema restringido de tres cuerpos (ver figura a continuación). ^[29] Un aparte, consulte el libro de Meirovitch, páginas 413–414 para conocer su solución restringida al problema de los tres cuerpos. ^[30]

Movimiento de tres partículas bajo la gravedad, lo que demuestra un comportamiento caótico

La solución de Moulton puede ser más fácil de visualizar (y definitivamente más fácil de resolver) si se considera que el cuerpo más masivo (como el Sol ) está estacionario en el espacio, y el cuerpo menos masivo (como Júpiter ) orbita alrededor de él, con la puntos de equilibrio ( puntos lagrangianos ) que mantienen el espaciado de 60° delante y detrás del cuerpo menos masivo casi en su órbita (aunque en realidad ninguno de los cuerpos es verdaderamente estacionario, ya que ambos orbitan el centro de masa de todo el sistema). sobre el baricentro). Para una relación de masa de los primarios suficientemente pequeña, estos puntos de equilibrio triangulares son estables, de modo que partículas (casi) sin masa orbitarán alrededor de estos puntos a medida que orbitan alrededor del primario más grande (el Sol). Los cinco puntos de equilibrio del problema circular se conocen como puntos lagrangianos. Vea la figura a continuación:

Problema restringido de tres cuerpos

En la figura anterior del modelo matemático del problema restringido de tres cuerpos (después de Moulton), los puntos lagrangianos L ₄ y L ₅ son donde residían los planetoides troyanos (ver punto lagrangiano ); m ₁ es el Sol y m ₂ es Júpiter. L ₂ es un punto dentro del cinturón de asteroides. Para este modelo hay que darse cuenta de que todo este diagrama Sol-Júpiter gira alrededor de su baricentro. La solución restringida del problema de los tres cuerpos predijo la existencia de planetoides troyanos antes de que fueran vistos por primera vez. Los círculos h y los bucles cerrados reflejan los flujos electromagnéticos emitidos por el Sol y Júpiter. Se conjetura, contrariamente a la conjetura de Richard H. Batin (ver Referencias), que los dos h ₁ son sumideros de gravedad, en y donde las fuerzas gravitacionales son cero, y la razón por la que los planetoides troyanos están atrapados allí. Se desconoce la cantidad total de masa de los planetoides.

El problema restringido de tres cuerpos que supone que la masa de uno de los cuerpos es insignificante. ^{[ cita necesaria ]} Para una discusión del caso en el que el cuerpo insignificante es un satélite del cuerpo de menor masa, consulte Esfera de Hill ; para sistemas binarios, véase lóbulo de Roche . Soluciones específicas al problema de los tres cuerpos dan como resultado un movimiento caótico sin signos evidentes de un camino repetitivo. ^{[ cita necesaria ]}

El problema restringido (tanto circular como elíptico) fue trabajado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, sobre todo por Poincaré a finales del siglo XIX. El trabajo de Poincaré sobre el problema restringido de los tres cuerpos fue la base de la teoría determinista del caos . ^{[ cita necesaria ]} En el problema restringido, existen cinco puntos de equilibrio . Tres son colineales con las masas (en el marco giratorio) y son inestables. Los dos restantes se ubican en el tercer vértice de ambos triángulos equiláteros de los cuales los dos cuerpos son el primer y segundo vértice.

problema de cuatro cuerpos

Inspirado en el problema circular restringido de los tres cuerpos, el problema de los cuatro cuerpos se puede simplificar enormemente considerando que un cuerpo más pequeño tiene una masa pequeña en comparación con los otros tres cuerpos masivos, que a su vez se aproximan para describir órbitas circulares. Esto se conoce como el problema bicircular restringido de cuatro cuerpos (también conocido como modelo bicircular) y se remonta a 1960 en un informe de la NASA escrito por Su-Shu Huang. ^[31] Esta formulación ha sido muy relevante en la astrodinámica , principalmente para modelar trayectorias de naves espaciales en el sistema Tierra-Luna con la adición de la atracción gravitacional del Sol. ^{La formulación anterior del problema bicircular restringido de cuatro cuerpos puede ser problemática al modelar otros sistemas además de la Tierra-Luna-Sol, por lo que Negri y Prado [32]} generalizaron la formulación para ampliar el rango de aplicación y mejorar la precisión sin pérdida de precisión. sencillez.

problema planetario

El problema planetario es el problema de los n cuerpos en el caso de que una de las masas sea mucho mayor que todas las demás. Un ejemplo prototípico de problema planetario es el sistema Sol- Júpiter - Saturno , donde la masa del Sol es aproximadamente 1000 veces mayor que las masas de Júpiter o Saturno. ^[18] Una solución aproximada al problema es descomponerlo en n − 1 pares de problemas de Kepler estrella-planeta , tratando las interacciones entre los planetas como perturbaciones. La aproximación perturbativa funciona bien siempre que no haya resonancias orbitales en el sistema, es decir, ninguna de las proporciones de frecuencias no perturbadas de Kepler es un número racional. Las resonancias aparecen como pequeños denominadores en la expansión.

La existencia de resonancias y pequeños denominadores llevó a la importante cuestión de la estabilidad en el problema planetario: ¿los planetas, en órbitas casi circulares alrededor de una estrella, permanecen en órbitas estables o limitadas a lo largo del tiempo? ^{[18] [33]} En 1963, Vladimir Arnold demostró utilizando la teoría KAM una especie de estabilidad del problema planetario: existe un conjunto de medidas positivas de órbitas cuasiperiódicas en el caso del problema planetario restringido al plano. ^[33] En la teoría KAM, las órbitas planetarias caóticas estarían limitadas por toros KAM cuasiperiódicos. Féjoz y Herman ampliaron el resultado de Arnold a un teorema más general en 2004. ^[34]

Configuraciones centrales

Una configuración central q ₁ (0),…, q _N (0) es una configuración inicial tal que si todas las partículas se liberaran con velocidad cero, todas colapsarían hacia el centro de masa C. ^[33] Tal movimiento se llama homotético . Las configuraciones centrales también pueden dar lugar a movimientos homográficos en los que todas las masas se mueven a lo largo de trayectorias keplerianas (elípticas, circulares, parabólicas o hiperbólicas), teniendo todas las trayectorias la misma excentricidad e . Para trayectorias elípticas, e = 1 corresponde a un movimiento homotético y e = 0 da un movimiento de equilibrio relativo en el que la configuración sigue siendo una isometría de la configuración inicial, como si la configuración fuera un cuerpo rígido. ^[35] Las configuraciones centrales han jugado un papel importante en la comprensión de la topología de variedades invariantes creadas al fijar las primeras integrales de un sistema.

coreografía de n -cuerpo

Las soluciones en las que todas las masas se mueven en la misma curva sin chocar se llaman coreografías. ^[36] Lagrange descubrió en 1772 una coreografía para n = 3 en la que tres cuerpos están situados en los vértices de un triángulo equilátero en el marco giratorio. C. Moore encontró numéricamente una coreografía en forma de ocho para n = 3 en 1993 ^[37] y A. Chenciner y R. Montgomery la generalizó y demostró en 2000. ^[38] Desde entonces, se han encontrado muchas otras coreografías para n ≥ 3 .

Enfoques analíticos

Para cada solución del problema, no sólo aplicando una isometría o un desplazamiento del tiempo sino también una inversión del tiempo (a diferencia del caso de la fricción) también se obtiene una solución. ^{[ cita necesaria ]}

En la literatura física sobre el problema de los n -cuerpos ( n ≥ 3 ), a veces se hace referencia a "la imposibilidad de resolver el problema de los n -cuerpos" (mediante el empleo del enfoque anterior). ^{[ cita necesaria ]} Sin embargo, se debe tener cuidado al discutir la 'imposibilidad' de una solución, ya que esto se refiere solo al método de las primeras integrales (compárese los teoremas de Abel y Galois sobre la imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas de grado cinco o superior mediante fórmulas que sólo involucran raíces).

Solución de serie de potencia

Una forma de resolver el problema clásico de n -cuerpos es "el problema de n -cuerpos por series de Taylor ".

Comenzamos definiendo el sistema de ecuaciones diferenciales : ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$$

Como x _i ( t ₀ ) yrex yo ( t ₀ )_​/dtse dan como condiciones iniciales, cadare ² x _yo ( t )/dt ²es conocida. diferenciandore ² x _yo ( t )/dt ²resultados enre ³ x _yo ( t )/dt ³cual en t ₀ que también se conoce, y la serie de Taylor se construye de forma iterativa. ^{[ se necesita aclaración ]}

Una solución global generalizada de Sundman

Para generalizar el resultado de Sundman para el caso n > 3 (o n = 3 y c = 0 ^{[ se necesita aclaración ]} ) hay que enfrentar dos obstáculos:

1. Como ha demostrado Siegel, las colisiones que involucran a más de dos cuerpos no pueden regularizarse analíticamente, por lo que la regularización de Sundman no puede generalizarse. ^{[ cita necesaria ]}
2. La estructura de las singularidades es más complicada en este caso: pueden ocurrir otros tipos de singularidades (ver más abajo).

Por último, el resultado de Sundman fue generalizado al caso de n > 3 cuerpos por Qiudong Wang en la década de 1990. ^[39] Dado que la estructura de las singularidades es más complicada, Wang tuvo que dejar de lado por completo las cuestiones de las singularidades. El punto central de su enfoque es transformar, de manera apropiada, las ecuaciones a un nuevo sistema, de modo que el intervalo de existencia para las soluciones de este nuevo sistema sea [0,∞) .

Singularidades del problema de los n cuerpos

Puede haber dos tipos de singularidades del problema de n -cuerpos:

• colisiones de dos o más cuerpos, pero para las cuales q ( t ) (las posiciones de los cuerpos) permanece finita. (En este sentido matemático, una "colisión" significa que dos cuerpos puntuales tienen posiciones idénticas en el espacio).
• singularidades en las que no se produce una colisión, pero q ( t ) no permanece finito. En este escenario, los cuerpos divergen hasta el infinito en un tiempo finito, mientras que al mismo tiempo tienden a una separación cero (una colisión imaginaria ocurre "en el infinito").

Estas últimas se denominan conjetura de Painlevé (singularidades sin colisiones). Su existencia ha sido conjeturada para n > 3 por Painlevé (ver Conjetura de Painlevé ). ^{Xia [40]} ha construido ejemplos de este comportamiento para n = 5 y Gerver ha construido un modelo heurístico para n = 4 . ^[41] Donald G. Saari ha demostrado que para 4 o menos cuerpos, el conjunto de datos iniciales que dan lugar a singularidades tiene medida cero. ^[42]

Simulación

Si bien existen soluciones analíticas disponibles para el problema clásico (es decir, no relativista) de dos cuerpos y para configuraciones seleccionadas con n > 2 , en general los problemas de n cuerpos deben resolverse o simularse utilizando métodos numéricos. ^[21]

Pocos cuerpos

Para una pequeña cantidad de cuerpos, un problema de n cuerpos se puede resolver utilizando métodos directos , también llamados métodos partícula-partícula . Estos métodos integran numéricamente las ecuaciones diferenciales de movimiento. La integración numérica para este problema puede ser un desafío por varias razones. Primero, el potencial gravitacional es singular; llega al infinito cuando la distancia entre dos partículas llega a cero. El potencial gravitacional puede "suavizarse" para eliminar la singularidad en distancias pequeñas: ^[21]

$${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}}$$

n > 2los n cuerpos es caótico^[43]

Existen varias técnicas para reducir los errores en la integración numérica. ^[21] Los sistemas de coordenadas locales se utilizan para abordar escalas muy diferentes en algunos problemas, por ejemplo, un sistema de coordenadas Tierra-Luna en el contexto de una simulación del sistema solar. Los métodos variacionales y la teoría de perturbaciones pueden producir trayectorias analíticas aproximadas sobre las cuales la integración numérica puede ser una corrección. El uso de un integrador simpléctico garantiza que la simulación obedezca las ecuaciones de Hamilton con un alto grado de precisión y, en particular, que se conserve la energía.

muchos cuerpos

Los métodos directos que utilizan integración numérica requieren del orden de1/2n ² cálculos para evaluar la energía potencial sobre todos los pares de partículas y, por lo tanto, tienen una complejidad temporal de O ( n ² ) . Para simulaciones con muchas partículas, el factor O ( n ² ) hace que los cálculos a gran escala requieran mucho tiempo. ^[21]

Se han desarrollado varios métodos aproximados que reducen la complejidad del tiempo en relación con los métodos directos: ^[21]

• Los métodos de código de árbol , como la simulación de Barnes-Hut , son métodos espacialmente jerárquicos que se utilizan cuando no es necesario calcular con alta precisión las contribuciones de partículas distantes. El potencial de un grupo distante de partículas se calcula mediante una expansión multipolar u otra aproximación del potencial. Esto permite una reducción de la complejidad a O ( n log n ) .
• Los métodos multipolares rápidos aprovechan el hecho de que las fuerzas expandidas multipolares de partículas distantes son similares para las partículas cercanas entre sí y utilizan expansiones locales de fuerzas de campo lejano para reducir el esfuerzo computacional. Se afirma que esta nueva aproximación reduce la complejidad a O ( n ) . ^[21]
• Los métodos de malla de partículas dividen el espacio de simulación en una cuadrícula tridimensional en la que se interpola la densidad de masa de las partículas. Luego, calcular el potencial se convierte en una cuestión de resolver una ecuación de Poisson en la cuadrícula, que se puede calcular en tiempo O ( n log n ) usando la transformada rápida de Fourier o en tiempo O ( n ) usando técnicas multicuadrícula . Esto puede proporcionar soluciones rápidas a costa de un mayor error para fuerzas de corto alcance. El refinamiento de malla adaptativo se puede utilizar para aumentar la precisión en regiones con una gran cantidad de partículas.
• Los métodos P ³ M y PM-tree son métodos híbridos que utilizan la aproximación de malla de partículas para partículas distantes, pero utilizan métodos más precisos para partículas cercanas (dentro de unos pocos intervalos de cuadrícula). P ³ M significa partícula-partícula, partícula-malla y utiliza métodos directos con potenciales suavizados a corta distancia. En cambio, los métodos de árbol PM utilizan códigos de árbol a corta distancia. Al igual que con los métodos de malla de partículas, las mallas adaptativas pueden aumentar la eficiencia computacional.
• Los métodos de campo medio se aproximan al sistema de partículas con una ecuación de Boltzmann dependiente del tiempo que representa la densidad de masa que está acoplada a una ecuación de Poisson autoconsistente que representa el potencial. Es un tipo de aproximación hidrodinámica de partículas suavizadas adecuada para sistemas grandes.

Fuerte gravitación

En sistemas astrofísicos con fuertes campos gravitacionales, como los que se encuentran cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro , las simulaciones de n cuerpos deben tener en cuenta la relatividad general ; tales simulaciones son el dominio de la relatividad numérica . Simular numéricamente las ecuaciones de campo de Einstein es extremadamente desafiante ^[21] y, si es posible, se utiliza un formalismo posnewtoniano parametrizado (PPN), como las ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann . El problema de los dos cuerpos en la relatividad general sólo tiene solución analítica para el problema de Kepler, en el que se supone que una masa es mucho mayor que la otra. ^[44]

Otros problemas de n -cuerpos

La mayor parte del trabajo realizado sobre el problema de los n cuerpos se ha centrado en el problema gravitacional. Pero existen otros sistemas para los cuales las matemáticas de n cuerpos y las técnicas de simulación han demostrado ser útiles.

En problemas electrostáticos a gran escala , como la simulación de proteínas y ensamblajes celulares en biología estructural , el potencial de Coulomb tiene la misma forma que el potencial gravitacional, excepto que las cargas pueden ser positivas o negativas, lo que genera fuerzas tanto repulsivas como atractivas. ^[45] Los solucionadores rápidos de Coulomb son la contraparte electrostática de los simuladores rápidos de métodos multipolares. A menudo se utilizan con condiciones de contorno periódicas en la región simulada y se utilizan técnicas de suma de Ewald para acelerar los cálculos. ^[46]

En estadística y aprendizaje automático , algunos modelos tienen funciones de pérdida de una forma similar a la del potencial gravitacional: una suma de funciones del núcleo sobre todos los pares de objetos, donde la función del núcleo depende de la distancia entre los objetos en el espacio de parámetros. ^[47] Los problemas de ejemplo que encajan en esta forma incluyen todos los vecinos más cercanos en el aprendizaje múltiple , la estimación de la densidad del núcleo y las máquinas del núcleo . Se han desarrollado optimizaciones alternativas para reducir la complejidad del tiempo O ( n ² ) a O ( n ) , como algoritmos de árbol dual , que también tienen aplicabilidad al problema gravitacional de n cuerpos.

Una técnica en dinámica de fluidos computacional llamada Métodos de vórtice ve la vorticidad en un dominio de fluido discretizada en partículas que luego son advectadas con la velocidad en sus centros. Debido a que la velocidad del fluido y la vorticidad están relacionadas mediante la ecuación de Poisson , la velocidad se puede resolver de la misma manera que la gravitación y la electrostática: como una suma de n cuerpos sobre todas las partículas que contienen vorticidad. La suma utiliza la ley de Biot-Savart , donde la vorticidad reemplaza a la corriente eléctrica. ^[48] ​​En el contexto de flujos multifásicos turbulentos cargados de partículas, determinar un campo de perturbación general generado por todas las partículas es un problema de n cuerpos. Si las partículas que se trasladan dentro del flujo son mucho más pequeñas que la escala de Kolmogorov del flujo, sus campos de perturbación lineales de Stokes se pueden superponer, produciendo un sistema de 3 n ecuaciones para 3 componentes de velocidades de perturbación en la ubicación de n partículas. ^{[49] [50]}

Ver también

• Mecánica celeste
• Problema gravitacional de dos cuerpos
• integral de jacobi
• teoría lunar
• Unidades naturales
• Modelo numérico del Sistema Solar
• Estabilidad del Sistema Solar
• Sistemas de pocos cuerpos
• Simulación de N cuerpos , un método para obtener numéricamente trayectorias de cuerpos en un sistema de N cuerpos.

Notas

1. Leimanis y Minorsky: Nuestro interés está en Leimanis, quien primero analiza algo de historia sobre el problema de los n -cuerpos, especialmente el fracaso del enfoque de variables complejas de veinte años de 1868-1888 de la Sra. Kovalevskaya; Sección 1: "La dinámica de los cuerpos rígidos y la balística exterior matemática" (Capítulo 1, "El movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo (ecuaciones de Euler y Poisson)"; Capítulo 2, "Balística exterior matemática"), buen antecedente precursor al problema de los n -cuerpos; Sección 2: "Mecánica celestial" (Capítulo 1, "La uniformización del problema de los tres cuerpos (Problema restringido de los tres cuerpos)"; Capítulo 2, "Captura en el problema de los tres cuerpos"; Capítulo 3, "N -cuerpo generalizado Problema").
2. Ver referencias citadas de Heggie y Hut.
3. cuasi estables son las cargas inerciales instantáneas generadas por velocidades y aceleraciones angulares instantáneas, así como aceleraciones de traslación (9 variables). Es como si se tomara una fotografía, que también registrara la posición instantánea y las propiedades del movimiento. Por el contrario, en una condición de estado estacionario , el estado de un sistema es invariante con el tiempo; de lo contrario, las primeras derivadas y todas las derivadas superiores son cero.
4. R. M. Rosenberg plantea el problema de los n cuerpos de manera similar (ver Referencias): "Cada partícula en un sistema de un número finito de partículas está sujeta a una atracción gravitacional newtoniana de todas las demás partículas, y a ninguna otra fuerza. Si el estado inicial del sistema, ¿cómo se moverán las partículas?" Rosenberg no se dio cuenta, como todos los demás, de que es necesario determinar primero las fuerzas antes de poder determinar los movimientos.
5. Se sabe que una solución clásica general en términos de primeras integrales es imposible. Se puede aproximar una solución teórica exacta para n arbitrario mediante series de Taylor , pero en la práctica dicha serie infinita debe truncarse, dando en el mejor de los casos sólo una solución aproximada; y un enfoque ahora obsoleto. Además, el problema de los n cuerpos puede resolverse mediante integración numérica , pero éstas también son soluciones aproximadas; y nuevamente obsoleto. Consulte el libro Gravitational n -Body Simulators de Sverre J. Aarseth que figura en las Referencias.
6. Clark, David H.; Clark, Stephen PH (2001). Los descubrimientos científicos reprimidos de Stephen Gray y John Flamsteed, la tiranía de Newton . WH Freeman and Co.. Una popularización de los acontecimientos históricos y las disputas entre esos partidos, pero más importante aún sobre los resultados que produjeron.
7. Véase Brewster, David (1905). "Descubrimiento de la gravitación, 1666 d. C.". En Johnson, Rossiter (ed.). Los grandes acontecimientos de historiadores famosos . vol. XII. Los antiguos alumnos nacionales. págs. 51–65.
8. Rudolf Kurth tiene una extensa discusión en su libro (ver Referencias) sobre las perturbaciones planetarias. Una cosa aparte: estas perturbaciones planetarias matemáticamente indefinidas (bamboleos) todavía existen indefinidas incluso hoy en día y las órbitas planetarias deben actualizarse constantemente, generalmente una vez al año. Véase Efemérides astronómicas y Efemérides americanas y Almanaque náutico, preparados conjuntamente por las Oficinas de Almanaque Náutico del Reino Unido y los Estados Unidos de América.
9. Véase Principia , Libro Tres, Sistema del Mundo , "Escolio General", página 372, último párrafo. Newton era muy consciente de que su modelo matemático no reflejaba la realidad física. Esta edición a la que se hace referencia pertenece a los Grandes libros del mundo occidental , volumen 34, que fue traducida por Andrew Motte y revisada por Florian Cajori . ^{[ cita completa necesaria ]} Este mismo párrafo está en la página 1160 de Stephen Hawkins , On the Shoulders of Giants , edición de 2002; ^{[ cita completa necesaria ]} es una copia de la adición de 1848 de Daniel Adee. Cohen también ha traducido nuevas ediciones: Introducción a los Principia de Newton , 1970; y Principia de Isaac Newton, con Variant Readings , 1972. Cajori también escribió Historia de la ciencia , que está en línea. ^{[ se necesita cita completa ]}
10. Véase el artículo de Scientific American de I. Bernard Cohen .
11. Para obtener detalles sobre el grave error en la primera comunicación de Poincaré, consulte el artículo de Diacu.
12. Babadzanjanz, L. K. (1979), "Existencia de las continuaciones en el problema de N -cuerpos", Celestial Mechanics , 20 (1): 43–57, Bibcode :1979CeMec..20...43B, doi :10.1007/BF01236607, SEÑOR  0538663, S2CID  120358878.
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20. "Notas de la conferencia AST1100: 5 El teorema del virial" (PDF) . Universidad de Oslo . Consultado el 25 de marzo de 2014 .
21. Trenti 2008
22. Véase Bate, Mueller y White, Capítulo 1: "Mecánica orbital de dos cuerpos", págs. Estos autores eran del Departamento de Astronáutica e Informática de la Academia de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Su libro de texto no está lleno de matemáticas avanzadas.
23. Para el enfoque clásico, si se considera que el centro de masa común (es decir, el baricentro) de los dos cuerpos está en reposo, entonces cada cuerpo viaja a lo largo de una sección cónica que tiene un foco en el baricentro del sistema. En el caso de una hipérbola, tiene la rama al lado de ese foco. Las dos cónicas estarán en el mismo plano. El tipo de cónica ( círculo , elipse , parábola o hipérbola ) se determina hallando la suma de la energía cinética combinada de dos cuerpos y la energía potencial cuando los cuerpos están muy separados. (Esta energía potencial es siempre un valor negativo; aquí no se cuenta la energía de rotación de los cuerpos alrededor de sus ejes)
    • Si la suma de las energías es negativa, ambas trazan elipses.
    • Si la suma de ambas energías es cero, entonces ambas trazan parábolas. Como la distancia entre los cuerpos tiende a infinito, su velocidad relativa tiende a cero.
    • Si la suma de ambas energías es positiva, entonces ambas trazan hipérbolas. Como la distancia entre los cuerpos tiende a infinito, su velocidad relativa tiende a algún número positivo.
24. Mecánica física de Lindsay , Capítulo 3: "Movimiento curvilíneo en un plano", y específicamente los párrafos 3 a 9, "Movimiento planetario"; págs. 83–96. La presentación de Lindsay explica en gran medida estos últimos comentarios sobre el problema fijo de los dos cuerpos; es decir, cuando se supone que el Sol está fijo.
25. Nota: El hecho de que una órbita parabólica tenga energía cero surge de la suposición de que la energía potencial gravitacional llega a cero a medida que los cuerpos se alejan infinitamente. Se podría asignar cualquier valor a la energía potencial en el estado de separación infinita. Se supone que ese estado tiene energía potencial cero por convención.
26. La naturaleza del universo del Programa de Ciencias afirma que Clarence Cleminshaw (1902-1985) se desempeñó como subdirector del Observatorio Griffith de 1938 a 1958 y como director de 1958 a 1969. Algunas publicaciones de Cleminshaw:
    • Cleminshaw, C. H.: "Celestial Speeds", 4 1953, ecuación, Kepler, órbita, cometa, Saturno, Marte, velocidad. ^{[ se necesita cita completa ]}
    • Cleminshaw, C. H.: "The Coming Conjunction of Jupiter and Saturn", 7 1960, Saturno, Júpiter, observar, conjunción. ^{[ se necesita cita completa ]}
    • Cleminshaw, C. H.: "The Scale of The Solar System", 7 1959, Sistema solar, escala, Júpiter, sol, tamaño, luz. ^{[ se necesita cita completa ]}
27. Pincel, Stephen G., ed. (1983). Maxwell sobre los anillos de Saturno . Prensa del MIT.
28. Véanse los comentarios históricos de Leimanis y Minorsky.
29. Consulte el problema restringido de los tres cuerpos de Moulton para conocer su solución analítica y gráfica.
30. Véase el libro de Meirovitch: Capítulos 11: "Problemas en la mecánica celeste"; 12; "Problema en la dinámica de las naves espaciales"; y Apéndice A: "Diádica".
31. Huang, Su-Shu. "Problema de cuatro cuerpos muy restringido". NASA TND-501 .
32. Negri, Rodolfo B.; Prado, Antonio F. B. A. (2020). "Generalización del problema bicircular restringido de cuatro cuerpos". Revista de orientación, control y dinámica . 43 (6): 1173-1179. Código Bib : 2020JGCD...43.1173N. doi :10.2514/1.G004848. S2CID  213600592.
33. Chierchia 2010
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35. Consulte Chierchia 2010 para ver animaciones que ilustran movimientos homográficos.
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enlaces externos

• Problema de los tres cuerpos en Scholarpedia
• Información más detallada sobre el problema de los tres cuerpos.
• Movimientos keplerianos regulares en sistemas clásicos de muchos cuerpos
• Applet que demuestra caos en un problema restringido de tres cuerpos Archivado el 17 de octubre de 2009 en Wayback Machine.
• Applets que demuestran muchos movimientos diferentes de tres cuerpos.
• Sobre la integración de las ecuaciones de n cuerpos Archivado el 30 de octubre de 2016 en Wayback Machine.
• Applet de Java que simula el Sistema Solar
• Subprograma de Java que simula una solución estable al problema de 3 cuerpos de equimasa
• Un subprograma de Java para simular el movimiento 3D de un conjunto de partículas bajo interacción gravitacional.
• Simulación Javascript de nuestro Sistema Solar
• Los puntos de Lagrange: con enlaces a los artículos originales de Euler y Lagrange, y a traducciones, con discusión
• [1]
• Programa de simulación de N-body de GPU paralelo con recorrido rápido de árbol de partículas sin pila