Hidrodinámica de partículas suavizadas

Método de simulación hidrodinámica

Vista esquemática de una convolución SPH

Flujo alrededor de un cilindro con superficie libre modelado con SPH. Ver ^[1] para simulaciones similares.

La hidrodinámica de partículas suavizadas ( SPH ) es un método computacional utilizado para simular la mecánica de medios continuos, como la mecánica de sólidos y los flujos de fluidos . Fue desarrollado por Gingold y Monaghan ^[2] y Lucy ^[3] en 1977, inicialmente para problemas astrofísicos. Se ha utilizado en muchos campos de investigación, incluidos la astrofísica , la balística , la vulcanología y la oceanografía . Es un método lagrangiano sin malla (donde las coordenadas se mueven con el fluido) y la resolución del método se puede ajustar fácilmente con respecto a variables como la densidad .

Método

Ventajas

• Por construcción, SPH es un método sin malla , lo que lo hace ideal para simular problemas dominados por dinámicas de límites complejas, como flujos de superficie libre o grandes desplazamientos de límites.
• La falta de una malla simplifica significativamente la implementación del modelo y su paralelización, incluso para arquitecturas de múltiples núcleos . ^{[4] [5]}

• El modelo SPH se puede ampliar fácilmente a una amplia variedad de campos e hibridar con algunos otros modelos, como se analiza en Modelado de la física.
• Como se discutió en la sección sobre SPH débilmente compresible, el método tiene excelentes características de conservación.
• El costo computacional de las simulaciones SPH por número de partículas es significativamente menor que el costo de las simulaciones basadas en cuadrículas por número de celdas cuando la métrica de interés está relacionada con la densidad del fluido (por ejemplo, la función de densidad de probabilidad de las fluctuaciones de densidad). ^[6] Esto es así porque en SPH la resolución se pone donde está la materia.

Limitaciones

• El establecimiento de condiciones de contorno en SPH, como entradas y salidas ^[7] y paredes ^[8], es más difícil que con los métodos basados ​​en cuadrículas. De hecho, se ha afirmado que "el tratamiento de las condiciones de contorno es sin duda uno de los puntos técnicos más difíciles del método SPH". ^[9] Este desafío se debe en parte a que en SPH las partículas cercanas al límite cambian con el tiempo. ^[10] No obstante, existen condiciones de contorno de pared para SPH. ^{[8] [10] [11]}
• El costo computacional de las simulaciones SPH por número de partículas es significativamente mayor que el costo de las simulaciones basadas en cuadrículas por número de celdas cuando la métrica de interés no está relacionada (directamente) con la densidad (por ejemplo, el espectro de energía cinética). ^[6] Por lo tanto, pasando por alto los problemas de aceleración paralela , la simulación de flujos de densidad constante (por ejemplo, aerodinámica externa ) es más eficiente con métodos basados ​​en cuadrículas que con SPH.

Ejemplos

Dinámica de fluidos

Fig. Simulación SPH de olas oceánicas utilizando FLUIDS v.1 (Hoetzlein)

La hidrodinámica de partículas suavizadas también se utiliza cada vez más para modelar el movimiento de fluidos . Esto se debe a varias ventajas sobre las técnicas tradicionales basadas en cuadrículas. En primer lugar, la hidrodinámica de partículas suavizadas garantiza la conservación de la masa sin cálculos adicionales, ya que las partículas en sí mismas representan la masa. En segundo lugar, la hidrodinámica de partículas suavizadas calcula la presión a partir de las contribuciones ponderadas de las partículas vecinas en lugar de resolver sistemas lineales de ecuaciones. Por último, a diferencia de las técnicas basadas en cuadrículas, que deben rastrear los límites de los fluidos, la hidrodinámica de partículas suavizadas crea una superficie libre para fluidos que interactúan en dos fases directamente, ya que las partículas representan el fluido más denso (normalmente agua) y el espacio vacío representa el fluido más ligero (normalmente aire). Por estas razones, es posible simular el movimiento de fluidos utilizando la hidrodinámica de partículas suavizadas en tiempo real. Sin embargo, tanto las técnicas basadas en cuadrículas como las de la hidrodinámica de partículas suavizadas aún requieren la generación de una geometría de superficie libre renderizable utilizando una técnica de poligonización como metaballs y marching cubes , point splatting o visualización de "alfombra". Para la dinámica de gases, es más apropiado utilizar la propia función kernel para producir una representación de la densidad de la columna de gas (por ejemplo, como se hace en el paquete de visualización SPLASH).

Una desventaja de las técnicas basadas en cuadrículas es la necesidad de un gran número de partículas para producir simulaciones de resolución equivalente. En la implementación típica de las cuadrículas uniformes y las técnicas de partículas SPH, se utilizarán muchos vóxeles o partículas para llenar volúmenes de agua que nunca se renderizan. Sin embargo, la precisión puede ser significativamente mayor con técnicas sofisticadas basadas en cuadrículas, especialmente aquellas acopladas con métodos de partículas (como conjuntos de niveles de partículas), ya que es más fácil hacer cumplir la condición de incompresibilidad en estos sistemas. La SPH para simulación de fluidos se está utilizando cada vez más en animación y juegos en tiempo real donde la precisión no es tan crítica como la interactividad.

Los trabajos recientes en SPH para simulación de fluidos han aumentado el rendimiento, la precisión y las áreas de aplicación:

• B. Solenthaler, 2009, desarrolla SPH predictivo-correctivo (PCISPH) para permitir mejores restricciones de incompresibilidad ^[12]
• M. Ihmsen et al., 2010, introducen el manejo de límites y el paso de tiempo adaptativo para PCISPH para interacciones precisas de cuerpos rígidos ^[13]
• K. Bodin et al., 2011, reemplazan la ecuación estándar de presión de estado con una restricción de densidad y aplican un integrador de tiempo variacional ^[14]
• R. Hoetzlein, 2012, desarrolla un SPH basado en GPU eficiente para escenas grandes en Fluids v.3 ^[15]
• N. Akinci et al., 2012, presentan una técnica versátil de manejo de límites y acoplamiento SPH-rígido bidireccional que se basa completamente en fuerzas hidrodinámicas; el enfoque es aplicable a diferentes tipos de solucionadores SPH ^[16].
• M. Macklin et al., 2013 simula flujos incompresibles dentro del marco de dinámica basada en la posición, para pasos de tiempo más grandes ^[17]
• N. Akinci et al., 2013, presentan una técnica versátil de tensión superficial y adhesión fluido-sólido bidireccional que permite simular una variedad de efectos físicos interesantes que se observan en la realidad ^[18].
• J. Kyle y E. Terrell, 2013, aplican SPH a la lubricación de película completa ^[19]
• A. Mahdavi y N. Talebbeydokhti, 2015, proponen un algoritmo híbrido para la implementación de la condición de límite sólido y simulan el flujo sobre un vertedero de cresta aguda ^[20]
• S. Tavakkol et al., 2016, desarrollan curvSPH, que hace que el tamaño horizontal y vertical de las partículas sean independientes y genera una distribución de masa uniforme a lo largo de los límites curvos ^[21].
• W. Kostorz y A. Esmail-Yakas, 2020, proponen un método general, eficiente y simple para evaluar los factores de normalización cerca de los límites planos por partes ^[11]
• Colagrossi et al., 2019, estudian el flujo alrededor de un cilindro cerca de una superficie libre y lo comparan con otras técnicas ^[1]

Astrofísica

La resolución adaptativa de la hidrodinámica de partículas suavizadas, la conservación numérica de cantidades físicamente conservadas y la capacidad de simular fenómenos que abarcan muchos órdenes de magnitud la hacen ideal para los cálculos en astrofísica teórica . ^[22]

Las simulaciones de formación de galaxias , formación de estrellas , colisiones estelares , ^[23] supernovas ^[24] e impactos de meteoritos son algunos de la amplia variedad de usos astrofísicos y cosmológicos de este método.

La SPH se utiliza para modelar flujos hidrodinámicos, incluidos los posibles efectos de la gravedad . La incorporación de otros procesos astrofísicos que pueden ser importantes, como la transferencia radiativa y los campos magnéticos , es un área activa de investigación en la comunidad astronómica y ha tenido un éxito limitado. ^{[25] [26]}

Mecánica de sólidos

Libersky y Petschek ^{[27] [28]} extendieron la SPH a la mecánica de sólidos. La principal ventaja de la SPH en esta aplicación es la posibilidad de tratar con una distorsión local mayor que los métodos basados ​​en cuadrículas. Esta característica se ha explotado en muchas aplicaciones en mecánica de sólidos: conformado de metales, impacto, crecimiento de grietas, fractura, fragmentación, etc.

Otra ventaja importante de los métodos sin malla en general, y de SPH en particular, es que los problemas de dependencia de la malla se evitan naturalmente dada la naturaleza sin malla del método. En particular, la alineación de la malla está relacionada con problemas que involucran grietas y se evita en SPH debido al soporte isotrópico de las funciones kernel. Sin embargo, las formulaciones clásicas de SPH sufren inestabilidades de tracción ^[29] y falta de consistencia. ^[30] En los últimos años, se han introducido diferentes correcciones para mejorar la precisión de la solución SPH, lo que llevó al RKPM de Liu et al. ^[31] Randles y Libersky ^[32] y Johnson y Beissel ^[33] intentaron resolver el problema de la consistencia en su estudio de los fenómenos de impacto.

Dyka et al. ^{[34] [35]} y Randles y Libersky ^[36] introdujeron la integración de puntos de tensión en SPH y Ted Belytschko et al. ^[37] demostraron que la técnica de puntos de tensión elimina la inestabilidad debida a modos singulares espurios, mientras que las inestabilidades de tracción se pueden evitar utilizando un núcleo lagrangiano. Se pueden encontrar muchos otros estudios recientes en la literatura dedicados a mejorar la convergencia del método SPH.

Las recientes mejoras en la comprensión de la convergencia y la estabilidad de los SPH han permitido aplicaciones más generalizadas en la mecánica de sólidos. Otros ejemplos de aplicaciones y desarrollos del método incluyen:

• Simulaciones de conformado de metales. ^[38]
• Método basado en SPH SPAM (Smoothed Particle Applied Mechanics) para fractura por impacto en sólidos por William G. Hoover . ^[39]
• SPH modificado (SPH/MLSPH) para fractura y fragmentación. ^[40]
• Taylor-SPH (TSPH) para la propagación de ondas de choque en sólidos. ^[41]
• La SPH de coordenadas generalizadas (GSPH) asigna partículas de manera no homogénea en el sistema de coordenadas cartesianas y las organiza mediante el mapeo en un sistema de coordenadas generalizado en el que las partículas están alineadas con un espaciado uniforme. ^[42]

Herramientas numéricas

Interpolaciones

El método de hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH) funciona dividiendo el fluido en un conjunto de elementos móviles discretos , denominados partículas. Su naturaleza lagrangiana permite fijar su posición mediante la integración de su velocidad como: ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {v}}_{i}.}$

Estas partículas interactúan a través de una función kernel con un radio característico conocido como "longitud de suavizado", que se representa típicamente en ecuaciones por . Esto significa que la cantidad física de cualquier partícula se puede obtener sumando las propiedades relevantes de todas las partículas que se encuentran dentro del rango del kernel, utilizándose este último como una función de ponderación . Esto se puede entender en dos pasos. Primero, un campo arbitrario se escribe como una convolución con : ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\int A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)\,\mathrm {d} V\!\left({\boldsymbol {r'}}\right).}$

El error al realizar la aproximación anterior es de orden . En segundo lugar, la integral se aproxima utilizando una suma de Riemann sobre las partículas: ${\displaystyle h^{2}}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\sum _{j}V_{j}A_{j}W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{j}|,h),}$

donde la sumatoria incluye todas las partículas en la simulación. es el volumen de la partícula , es el valor de la cantidad de la partícula y denota la posición. Por ejemplo, la densidad de la partícula se puede expresar como: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \rho _{i}=\rho ({\boldsymbol {r}}_{i})=\sum _{j}m_{j}W_{ij},}$

donde denota la masa de la partícula y la densidad de la partícula, mientras que es una notación corta para . El error cometido al aproximar la integral mediante una suma discreta depende de , del tamaño de la partícula (es decir , , siendo la dimensión espacial) y de la disposición de las partículas en el espacio. Este último efecto aún es poco conocido. ^[43] ${\displaystyle m_{j}=\rho _{j}V_{j}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$ ${\displaystyle W(|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}|,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V_{j}^{1/d}}$ ${\displaystyle d}$

Las funciones kernel que se usan comúnmente incluyen la función gaussiana , la spline quintica y el kernel de Wendland. ^[44] Los dos últimos kernels tienen un soporte compacto (a diferencia del gaussiano, donde hay una pequeña contribución a cualquier distancia finita), con un soporte proporcional a . Esto tiene la ventaja de ahorrar esfuerzo computacional al no incluir las contribuciones relativamente menores de partículas distantes. ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle h}$

Aunque el tamaño de la longitud de suavizado se puede fijar tanto en el espacio como en el tiempo , esto no aprovecha toda la potencia de SPH. Al asignar a cada partícula su propia longitud de suavizado y permitir que varíe con el tiempo, se puede hacer que la resolución de una simulación se adapte automáticamente en función de las condiciones locales. Por ejemplo, en una región muy densa donde muchas partículas están juntas, la longitud de suavizado se puede hacer relativamente corta, lo que produce una alta resolución espacial. Por el contrario, en regiones de baja densidad donde las partículas individuales están muy separadas y la resolución es baja, se puede aumentar la longitud de suavizado, optimizando el cálculo para las regiones de interés.

Discretización de ecuaciones de gobierno

Para partículas de masa constante, diferenciar la densidad interpolada con respecto al tiempo da como resultado ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij},}$

donde es el gradiente de con respecto a . Comparando esta ecuación con la ecuación de continuidad en la descripción lagrangiana (usando derivadas materiales ), ${\displaystyle \nabla W_{ij}=-\nabla W_{ji}}$ ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-\rho \nabla \cdot {\boldsymbol {v}},}$

es evidente que su lado derecho es una aproximación de ; por lo tanto, se define un operador de divergencia discreto de la siguiente manera: ${\displaystyle -\rho \nabla \cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle \operatorname {D} _{i}\left\{{\boldsymbol {v}}_{j}\right\}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij}.}$

Este operador proporciona una aproximación SPH de en la partícula para un conjunto dado de partículas con masas , posiciones y velocidades dadas . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {r} _{j}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {v} _{j}\right\}}$

La otra ecuación importante para un fluido no viscoso compresible es la ecuación de Euler para el equilibrio del momento:

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\boldsymbol {g}}}$

De manera similar a la continuidad, la tarea es definir un operador de gradiente discreto para escribir

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {v}}_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}+{\boldsymbol {g}}}$

Una opción es

${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}=\rho _{i}\sum _{j}m_{j}\left({\frac {p_{i}}{\rho _{i}^{2}}}+{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}\right)\nabla W_{ij},}$

que tiene la propiedad de ser asfálticamente adjunta con el operador de divergencia anterior, en el sentido de que

${\displaystyle \sum _{i}V_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}\cdot \operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}=-\sum _{i}V_{i}p_{i}\operatorname {D} _{i}\left\{{\boldsymbol {v}}_{j}\right\},}$

Esta es una versión discreta de la identidad continua.

${\displaystyle \int {\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} p=-\int p\operatorname {div} \cdot {\boldsymbol {v}}.}$

Esta propiedad conduce a buenas propiedades de conservación. ^[45]

Nótese también que esta elección conduce a un operador de divergencia simétrico y a un gradiente antisimétrico. Aunque existen varias formas de discretizar el gradiente de presión en las ecuaciones de Euler, la forma antisimétrica anterior es la más reconocida. Respalda la conservación estricta del momento lineal y angular. Esto significa que una fuerza que se ejerce sobre partícula por partícula es igual a la que se ejerce sobre partícula por partícula , incluido el cambio de signo de la dirección efectiva, gracias a la propiedad de antisimetría . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \nabla W_{ij}=-\nabla W_{ji}}$

Sin embargo, se han propuesto otros operadores que pueden tener un mejor rendimiento numérico o físico. Por ejemplo, una desventaja de estos operadores es que, si bien la divergencia es consistente en orden cero (es decir, produce cero cuando se aplica a un campo vectorial constante), se puede observar que el gradiente no lo es. Se han propuesto varias técnicas para evitar este problema, lo que conduce a operadores renormalizados (véase, por ejemplo, ^[46] ). ${\displaystyle \operatorname {D} }$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } }$

Principio variacional

Las ecuaciones de gobierno de SPH anteriores se pueden derivar de un principio de mínima acción , comenzando desde el Lagrangiano de un sistema de partículas:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{j}m_{j}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}_{j}^{2}-e_{j}+{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{j}\right)}$,

donde es la energía interna específica de la partícula . La ecuación de Euler-Lagrange de la mecánica variacional dice, para cada partícula: ${\displaystyle e_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {v}}_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}.}$

Cuando se aplica al Lagrangiano anterior, se obtiene la siguiente ecuación de momento:

${\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}{\frac {\partial e_{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}+m_{i}{\boldsymbol {g}}=-\sum _{j}m_{j}{\frac {\partial e_{j}}{\partial \rho _{j}}}{\frac {\partial \rho _{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}+m_{i}{\boldsymbol {g}}}$

donde se ha utilizado la regla de la cadena, ya que depende de , y esta última, de la posición de las partículas. Utilizando la propiedad termodinámica podemos escribir ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} e=\left(p/\rho ^{2}\right)\mathrm {d} \rho }$

${\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}{\frac {\partial \rho _{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}+m_{i}{\boldsymbol {g}},}$

Al conectar la interpolación de densidad SPH y diferenciar explícitamente se llega a ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho _{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}\left({\frac {p_{i}}{\rho _{i}^{2}}}+{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}\right)\nabla W_{ij}+{\boldsymbol {g}},}$

que es la ecuación de momento SPH ya mencionada, donde reconocemos el operador. Esto explica por qué se conserva el momento lineal, y permite que se conserve también la conservación del momento angular y la energía. ^[47] ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } }$

Integración temporal

A partir del trabajo realizado en los años 80 y 90 sobre la integración numérica de partículas puntuales en grandes aceleradores, se han desarrollado integradores temporales adecuados con propiedades de conservación precisas a largo plazo; se denominan integradores simplécticos . El más popular en la literatura sobre SPH es el esquema de salto de rana , que dice para cada partícula : ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1/2}&={\boldsymbol {v}}_{i}^{n}+{\boldsymbol {a}}_{i}^{n}{\frac {\Delta t}{2}},\\{\boldsymbol {r}}_{i}^{n+1}&={\boldsymbol {r}}_{i}^{n}+{\boldsymbol {v}}_{i}^{i+1/2}\Delta t,\\{\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1}&={\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1/2}+{\boldsymbol {a}}_{i}^{i+1}{\frac {\Delta t}{2}},\end{aligned}}}$

donde es el paso de tiempo, los superíndices representan iteraciones de tiempo mientras que es la aceleración de la partícula, dada por el lado derecho de la ecuación del momento. ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{i}}$

Existen otros integradores simplécticos (véase el libro de referencia ^[48] ). Se recomienda utilizar un esquema simpléctico (incluso de orden bajo) en lugar de un esquema no simpléctico de orden alto, para evitar la acumulación de errores después de muchas iteraciones.

La integración de la densidad no se ha estudiado en profundidad (consulte a continuación para obtener más detalles).

Los esquemas simplécticos son conservadores pero explícitos, por lo que su estabilidad numérica requiere condiciones de estabilidad, análogas a la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (ver más abajo).

Técnicas de límites

Soporte de convolución SPH dividido cerca de un límite

En caso de que la convolución SPH se practique cerca de un límite, es decir, más cerca que s · h , entonces el soporte integral se trunca. De hecho, cuando la convolución se ve afectada por un límite, la convolución se dividirá en 2 integrales,

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\int _{\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}+\int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}},}$

donde B( r ) es la bola de soporte compacta centrada en r , con radio s · h , y Ω( r ) denota la parte del soporte compacto dentro del dominio computacional, Ω ∩ B( r ) . Por lo tanto, la imposición de condiciones de contorno en SPH se basa completamente en la aproximación de la segunda integral en el lado derecho. Por supuesto, lo mismo se puede aplicar al cálculo de operadores diferenciales,

${\displaystyle \nabla A({\boldsymbol {r}})=\int _{\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}+\int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}.}$

Se han introducido varias técnicas en el pasado para modelar límites en SPH.

Descuido integral

Modelo de superficie libre SPH mediante negligencia integral

El modelo de límite más sencillo es descuidar la integral,

${\displaystyle \int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}\simeq {\boldsymbol {0}},}$

de modo que sólo se tengan en cuenta las interacciones en masa,

${\displaystyle \nabla A_{i}=\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}A_{j}\nabla W_{ij}.}$

Este es un enfoque popular cuando se considera la superficie libre en simulaciones monofásicas. ^[49]

La principal ventaja de esta condición de contorno es su evidente simplicidad. Sin embargo, se deben tener en cuenta varios problemas de coherencia cuando se aplica esta técnica de contorno. ^[49] De hecho, esto supone una importante limitación para sus posibles aplicaciones.

Extensión de fluido

Técnica de extensión de límites de fluidos SPH

Probablemente la metodología más popular, o al menos la más tradicional, para imponer condiciones de contorno en SPH, es la técnica de Extensión de Fluidos. Dicha técnica se basa en poblar el soporte compacto a través del contorno con las llamadas partículas fantasma, imponiendo convenientemente sus valores de campo. ^[50]

En esta línea, la metodología de negligencia integral puede considerarse como un caso particular de extensiones de fluidos, donde el campo, A , se desvanece fuera del dominio computacional.

El principal beneficio de esta metodología es la simplicidad, ya que la contribución de los límites se calcula como parte de las interacciones en masa. Además, esta metodología ha sido analizada en profundidad en la literatura. ^{[51] [50] [52]}

Por otra parte, la implementación de partículas fantasma en el dominio truncado no es una tarea trivial, por lo que modelar formas de contorno complejas se vuelve engorroso. Los dos enfoques más populares para poblar el dominio vacío con partículas fantasma son las partículas reflejadas ^{[53] y las partículas fijas [50]} .

Integral de frontera

Modelo integral de contorno SPH

La técnica de límites más nueva es la metodología de integral de límites. ^[54] En esta metodología, la integral de volumen vacío se reemplaza por una integral de superficie y una renormalización:

${\displaystyle \nabla A_{i}={\frac {1}{\gamma _{i}}}\left(\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}A_{j}\nabla W_{ij}+\sum _{j\in \partial \Omega _{i}}S_{j}A_{j}{\boldsymbol {n}}_{j}W_{ij}\right),}$

${\displaystyle \gamma _{i}=\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}W_{ij},}$

donde n _j es la normal del elemento de contorno genérico j -ésimo. El término de superficie también se puede resolver considerando una expresión semianalítica. ^[54]

Modelado de la física

Hidrodinámica

Enfoque débilmente compresible

Otra forma de determinar la densidad se basa en el propio operador de suavizado SPH. Por lo tanto, la densidad se estima a partir de la distribución de partículas utilizando la interpolación SPH. Para superar los errores no deseados en la superficie libre mediante el truncamiento del núcleo, la formulación de densidad se puede integrar nuevamente en el tiempo. ^[54]

El SPH débilmente compresible en dinámica de fluidos se basa en la discretización de las ecuaciones de Navier-Stokes o ecuaciones de Euler para fluidos compresibles. Para cerrar el sistema, se utiliza una ecuación de estado adecuada para vincular la presión y la densidad . Generalmente, en SPH se utiliza la denominada ecuación de Cole ^[55] (a veces denominada erróneamente como la " ecuación de Tait "). Su texto es el siguiente: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}c^{2}}{\gamma }}\left(\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{\gamma }-1\right)+p_{0},}$

donde es la densidad de referencia y la velocidad del sonido . Para el agua, se utiliza comúnmente. Se agrega la presión de fondo para evitar valores de presión negativos. ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma =7}$ ${\displaystyle p_{0}}$

Los fluidos reales casi incompresibles, como el agua, se caracterizan por velocidades del sonido muy altas, del orden de . Por lo tanto, la información sobre la presión viaja más rápido en comparación con el flujo real, lo que da lugar a números de Mach muy pequeños . La ecuación del momento da como resultado la siguiente relación: ${\displaystyle 10^{3}\mathrm {m/s} }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {\delta \rho }{\rho _{0}}}\approx {\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{c^{2}}}=M^{2}}$

donde es el cambio de densidad y el vector de velocidad. En la práctica, se adopta un valor de c menor que el real para evitar pasos de tiempo demasiado pequeños en el esquema de integración temporal. Generalmente, se adopta una velocidad numérica del sonido tal que se permiten variaciones de densidad menores al 1%. Este es el llamado supuesto de compresibilidad débil. Esto corresponde a un número de Mach menor que 0,1, lo que implica: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle c=10v_{\text{max}}}$

donde es necesario estimar la velocidad máxima , por ejemplo mediante la ley de Torricelli o una estimación aproximada. Como solo se producen pequeñas variaciones de densidad, se puede adoptar una ecuación de estado lineal: ^[56] ${\displaystyle v_{\text{max}}}$

${\displaystyle p=c^{2}\left(\rho -\rho _{0}\right)}$

Generalmente los esquemas débilmente compresibles se ven afectados por un ruido espurio de alta frecuencia en los campos de presión y densidad. ^[57] Este fenómeno es causado por la interacción no lineal de las ondas acústicas y por el hecho de que el esquema es explícito en el tiempo y centrado en el espacio. ^[58]

A lo largo de los años se han propuesto diversas técnicas para solucionar este problema, que pueden clasificarse en tres grupos diferentes:

1. los esquemas que adoptan filtros de densidad,
2. los modelos que añaden un término difusivo en la ecuación de continuidad,
3. los esquemas que emplean solucionadores de Riemann para modelar la interacción de partículas.

Técnica de filtrado de densidad

Los esquemas del primer grupo aplican un filtro directamente sobre el campo de densidad para eliminar el ruido numérico espurio. Los filtros más utilizados son el MLS (mínimos cuadrados móviles) y el filtro Shepard ^[57] que se pueden aplicar en cada paso de tiempo o cada n pasos de tiempo. Cuanto más frecuente sea el uso del procedimiento de filtrado, más regulares se obtendrán los campos de densidad y presión. Por otro lado, esto conduce a un aumento de los costos computacionales. En simulaciones de largo plazo, el uso del procedimiento de filtrado puede conducir a la interrupción del componente de presión hidrostática y a una inconsistencia entre el volumen global del fluido y el campo de densidad. Además, no garantiza el cumplimiento de la condición de contorno de superficie libre dinámica.

Técnica de difusión del término

Una forma diferente de suavizar el campo de densidad y presión es agregar un término difusivo dentro de la ecuación de continuidad (grupo 2):

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij}+{\mathcal {D}}_{i}(\rho ),}}$

Los primeros esquemas que adoptaron este enfoque fueron descritos en Ferrari ^[59] y en Molteni ^[56], donde el término difusivo se modeló como un laplaciano del campo de densidad. Un enfoque similar también fue utilizado en Fatehi y Manzari ^{[60] .}

Simulación SPH: distribución de presión de un flujo de rotura de presa utilizando la formulación SPH estándar

Simulación SPH: distribución de presión de un flujo de rotura de presa utilizando la formulación estándar δ-SPH

En Antuono et al. ^[61] se propuso una corrección al término difusivo de Molteni ^[56] para eliminar algunas inconsistencias cerca de la superficie libre. En este caso, el término difusivo adoptado es equivalente a un operador diferencial de orden superior en el campo de densidad. ^[62] El esquema se denomina δ-SPH y conserva todas las propiedades de conservación del SPH sin difusión (por ejemplo, momentos lineales y angulares, energía total, véase ^[63] ) junto con una representación suave y regular de los campos de densidad y presión.

En el tercer grupo se encuentran aquellos esquemas SPH que emplean flujos numéricos obtenidos a través de solucionadores de Riemann para modelar las interacciones de partículas. ^{[64] [65] [66]}

Técnica de solución de Riemann

Simulación SPH: distribución de presión de un flujo de rotura de presa utilizando el solucionador de Riemann con el limitador de baja disipación.

Para un método SPH basado en solucionadores de Riemann, se construye un problema de Riemann entre partículas a lo largo de un vector unitario que apunta de partícula a partícula . En este problema de Riemann, los estados iniciales izquierdo y derecho están en las partículas y , respectivamente. Los estados y son ${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=-\mathbf {r} _{ij}/r_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\begin{cases}(\rho _{L},U_{L},P_{L})=(\rho _{i},\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {e} _{ij},P_{i})\\(\rho _{R},U_{R},P_{R})=(\rho _{j},\mathbf {v} _{j}\cdot \mathbf {e} _{ij},P_{j}).\end{cases}}}$$

La solución del problema de Riemann da como resultado tres ondas que emanan de la discontinuidad. Dos ondas, que pueden ser ondas de choque o de rarefacción, que viajan con la velocidad de onda más pequeña o más grande. La onda del medio es siempre una discontinuidad de contacto y separa dos estados intermedios, denotados por y . Al suponer que el estado intermedio satisface y , un solucionador de Riemann linealizado para flujos suaves o con choques moderadamente fuertes se puede escribir como ${\displaystyle (\rho _{L}^{\ast },U_{L}^{\ast },P_{L}^{\ast })}$ ${\displaystyle (\rho _{R}^{\ast },U_{R}^{\ast },P_{R}^{\ast })}$ ${\displaystyle U_{L}^{\ast }=U_{R}^{\ast }=U^{\ast }}$ ${\displaystyle P_{L}^{\ast }=P_{R}^{\ast }=P^{\ast }}$

$${\displaystyle {\begin{cases}U^{\ast }={\overline {U}}+{\frac {1}{2}}{\frac {(P_{L}-P_{R})}{{\bar {\rho }}c_{0}}}\\P^{\ast }={\overline {P}}+{\frac {1}{2}}{\bar {\rho }}c_{0}{(U_{L}-U_{R})},\end{cases}}}$$

donde y son promedios entre partículas. Con la solución del problema de Riemann, es decir y , la discretización del método SPH es ${\displaystyle {\overline {U}}=(U_{L}+U_{R})/2}$ ${\displaystyle {\overline {P}}=(P_{L}+P_{R})/2}$ ${\displaystyle U^{\ast }}$ ${\displaystyle P^{\ast }}$

$${\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=2\rho _{i}\sum _{j}{\frac {m_{j}}{\rho _{j}}}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} ^{\ast })\cdot \nabla _{i}W_{ij},}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}=-2\sum _{j}m_{j}\left({\frac {P^{\ast }}{\rho _{i}\rho _{j}}}\right)\nabla _{i}W_{ij}.}$$

donde . Esto indica que la velocidad y la presión promedio entre partículas se reemplazan simplemente por la solución del problema de Riemann. Al comparar ambos, se puede ver que la velocidad y la presión intermedias de los promedios entre partículas equivalen a disipación implícita, es decir, regularización de la densidad y viscosidad numérica, respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\ast }=U^{\ast }\mathbf {e} _{ij}+({\overline {\mathbf {v} }}_{ij}-{\overline {U}}\mathbf {e} _{ij})}$

Dado que la discretización anterior es muy disipativa, una modificación sencilla es aplicar un limitador para disminuir las disipaciones numéricas implícitas introducidas al limitar la presión intermedia en ^[67].

$${\displaystyle P^{\ast }={\overline {P}}+{\frac {1}{2}}\beta {\overline {\rho }}{(U_{L}-U_{R})},}$$

donde el limitador se define como

$${\displaystyle \beta =\min {\big (}\eta \max(U_{L}-U_{R},0),{\overline {c}}{\big )}.}$$

Nótese que garantiza que no haya disipación cuando el fluido está bajo la acción de una onda de expansión, es decir , y que el parámetro , se utiliza para modular la disipación cuando el fluido está bajo la acción de una onda de compresión, es decir , . Los experimentos numéricos encontraron que el es generalmente efectivo. Nótese también que la disipación introducida por la velocidad intermedia no está limitada. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle U_{L}<U_{R}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle U_{L}\geq U_{R}}$ ${\displaystyle \eta =3}$

Enfoque incompresible

Modelado de viscosidad

En general, la descripción de flujos hidrodinámicos requiere un tratamiento conveniente de los procesos difusivos para modelar la viscosidad en las ecuaciones de Navier-Stokes . Esto requiere una consideración especial porque involucra al operador diferencial laplaciano . Dado que el cálculo directo no proporciona resultados satisfactorios, se han propuesto varios enfoques para modelar la difusión.

• Viscosidad artificial

Introducida por Monaghan y Gingold ^[68], la viscosidad artificial se utilizó para tratar flujos de fluidos con números de Mach altos .

${\displaystyle \Pi _{ij}={\begin{cases}{\dfrac {-\alpha {\bar {c}}_{ij}\phi _{ij}+\beta \phi _{ij}^{2}}{{\bar {\rho }}_{ij}}}&\quad {\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}<0\\0&\quad {\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}\geq 0\end{cases}}}$

Aquí, se controla una viscosidad volumétrica mientras actúa de manera similar a la viscosidad artificial de Neumann Richtmeyr. Se define por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \phi _{ij}}$

${\displaystyle \phi _{ij}={\frac {h{\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}},}$

donde η _h es una pequeña fracción de h (por ejemplo, 0,01 h ) para evitar posibles infinitos numéricos a distancias cercanas.

También se ha demostrado que la viscosidad artificial mejora la estabilidad general de las simulaciones de flujo general. Por lo tanto, se aplica a problemas no viscosos de la siguiente forma:

${\displaystyle \Pi _{ij}=\alpha hc{\frac {{\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}}.}$

Es posible no sólo estabilizar simulaciones no viscosas sino también modelar la viscosidad física mediante este enfoque.

${\displaystyle \alpha hc=2(n+2){\frac {\mu }{\rho }}}$

se sustituye en la ecuación anterior, donde es el número de dimensiones espaciales del modelo. Este enfoque introduce la viscosidad volumétrica . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta ={\frac {5}{3}}\mu }$

• Morris

Para números de Reynolds bajos se propuso el modelo de viscosidad de Morris ^[69] .

${\displaystyle [\nu \Delta {\boldsymbol {v}}]_{ij}=2\nu {\frac {m_{j}}{\rho _{j}}}\,{\frac {{\boldsymbol {r}}_{ij}\cdot \nabla w_{h,ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}}\,{\boldsymbol {v}}_{ij}.}$

• LoShao

Física adicional

• Tensión superficial
• Transferencia de calor
• Turbulencia

Extensiones multifase

Astrofísica

En astrofísica, a menudo se desea modelar la autogravedad además de la hidrodinámica pura. La naturaleza basada en partículas de SPH hace que sea ideal para combinarlo con un solucionador de gravedad basado en partículas, por ejemplo, tree gravity code , ^[70] particle mesh o particle-particle-mesh .

Mecánica de sólidos e interacción fluido-estructura (FSI)

Formulación lagrangiana total para mecánica de sólidos

Para discretizar las ecuaciones que rigen la dinámica de sólidos, primero se introduce una matriz de corrección ^{[71] [72]} para reproducir la rotación del cuerpo rígido como ${\displaystyle \mathbb {B} ^{0}}$

dónde

$${\displaystyle \nabla _{a}^{0}W_{a}={\frac {\partial W\left(|\mathbf {r} _{ab}^{0}|,h\right)}{\partial |\mathbf {r} _{ab}^{0}|}}\mathbf {e} _{ab}^{0}}$$

representa el gradiente de la función kernel evaluada en la configuración de referencia inicial. Nótese que los subíndices y se utilizan para indicar partículas sólidas, y la longitud de suavizado es idéntica a la de la discretización de ecuaciones de fluidos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

Utilizando la configuración inicial como referencia, la densidad del sólido se evalúa directamente como

donde es el determinante jacobiano del tensor de deformación . ${\displaystyle J=\det(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Ahora podemos discretizar la ecuación del momento en la siguiente forma

donde la primera tensión de Piola-Kirchhoff promediada entre partículas se define como ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$

También y corresponden a la presión del fluido y a las fuerzas viscosas que actúan sobre la partícula sólida , respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:p}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:v}}$ ${\displaystyle a}$

Acoplamiento fluido-estructural

En el acoplamiento fluido-estructura, la estructura sólida circundante se comporta como un límite móvil para el fluido, y la condición de límite sin deslizamiento se impone en la interfaz fluido-estructura. Las fuerzas de interacción y que actúan sobre una partícula de fluido , debido a la presencia de la partícula sólida vecina , se pueden obtener como ^[73] ${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:p}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:v}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a}$

y

Aquí, la presión y la velocidad imaginarias se definen mediante ${\displaystyle p_{a}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{a}^{d}}$

donde denota la dirección normal de la superficie de la estructura sólida, y la densidad de partículas imaginarias se calcula a través de la ecuación de estado. ${\displaystyle \mathbf {n} ^{S}}$ ${\displaystyle \rho _{a}^{d}}$

En consecuencia, las fuerzas de interacción y que actúan sobre una partícula sólida están dadas por ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:p}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:v}}$ ${\displaystyle a}$

y

La propiedad antisimétrica de la derivada de la función kernel asegurará la conservación del momento para cada par de partículas interactuantes y . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a}$

Otros

El método de elementos discretos , utilizado para simular materiales granulares , está relacionado con SPH.

Variantes del método

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Lectura adicional

• Hoover, WG (2006); Mecánica aplicada de partículas suaves: el estado del arte, World Scientific.
• Stellingwerf, RF; Wingate, California; "Modelado de impacto con SPH", Memorie della Societa Astronomia Italiana, vol. 65, pág. 1117 (1994).
• Amada, T.; Imura, M.; Yasumuro, Y.; Manabe, Y.; y Chihara, K. (2004); "Simulación de fluidos basada en partículas en GPU", en Actas del taller ACM sobre informática de propósito general en procesadores gráficos (agosto de 2004, Los Ángeles, California).
• Desbrun, M.; y Cani, M.-P. (1996). "Partículas suavizadas: un nuevo paradigma para animar cuerpos altamente deformables" en Actas del Taller Eurographics sobre Animación y Simulación por Computadora (agosto de 1996, Poitiers, Francia).
• Hegeman, K.; Carr, NA; y Miller, GSP; "Simulación de fluidos basada en partículas en la GPU", en Actas de la Conferencia Internacional sobre Ciencias Computacionales (Reading, Reino Unido, mayo de 2006), Lecture Notes in Computer Science v. 3994/2006 (Springer-Verlag).
• Kelager, M. (2006) Dinámica de fluidos lagrangiana utilizando hidrodinámica de partículas suavizadas , tesis de maestría, Univ. Copenhague.
• Kolb, A.; y Cuntz, N. (2005); "Acoplamiento dinámico de partículas para simulación de fluidos basada en GPU", en Actas del 18º Simposio sobre Técnicas de Simulación (2005), págs. 722–727.
• Liu, GR; y Liu, MB; Hidrodinámica de partículas suavizadas: un método de partículas sin malla , Singapur: World Scientific (2003).
• Monaghan, Joseph J. (1992). "Hidrodinámica de partículas suavizadas", Revista anual de astronomía y astrofísica (1992). 30: 543–74.
• Muller, M.; Charypar, D.; y Gross, M.; "Simulación de fluidos basada en partículas para aplicaciones interactivas", en Breen, D; y Lin, M. (eds.), Actas del Simposio Eurographics/SIGGRAPH sobre animación por computadora (2003).
• Vesterlund, M.; Simulación y representación de un fluido viscoso utilizando hidrodinámica de partículas suavizadas , tesis de maestría, Universidad de Umea, Suecia.
• Violeau, D.; Mecánica de fluidos y el método SPH , Oxford University Press (2012).

Enlaces externos

• Primera gran simulación de formación estelar utilizando SPH
• SPHERIC (Comunidad internacional de investigación e ingeniería de SPH)
• ITVO es el sitio web del Observatorio Virtual Teórico Italiano creado para consultar una base de datos de archivos de simulación numérica.
• La galería de imágenes SPHC muestra una amplia variedad de casos de prueba, validaciones experimentales y aplicaciones comerciales del código SPH SPHC.
• Una derivación del modelo SPH a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes

Software

• Algodoo es un marco de simulación 2D para educación que utiliza SPH
• AQUAgpusph es la SPH gratuita (GPLv3) de los investigadores, por los investigadores, para los investigadores
• Dive Solutions es un software de ingeniería SPH comercial basado en la web para fines de CFD.
• DualSPHysics es un código SPH en su mayor parte de código abierto basado en SPHysics y que utiliza computación por GPU. Los componentes de código abierto están disponibles bajo la licencia LGPL.
• FLUIDS v.1 es una implementación de SPH 3D en tiempo real, simple y de código abierto (Zlib) en C++ para líquidos para CPU y GPU.
• Fluidix es una API de simulación de partículas basada en GPU disponible en OneZero Software
• GADGET [1] es un código disponible libremente ( GPL ) para simulaciones cosmológicas de N cuerpos/SPH
• Simulador GPUSPH SPH con viscosidad (GPLv3)
• Pasimodo es un paquete de programas para métodos de simulación basados ​​en partículas, por ejemplo, SPH
• LAMMPS es un código de dinámica molecular clásica, de código abierto y masivamente paralelo que puede realizar simulaciones SPH
• Physics Abstraction Layer es un sistema de abstracción de código abierto que admite motores de física en tiempo real con soporte SPH
• PreonLab es un software de ingeniería comercial desarrollado por FIFTY2 Technology que implementa un método SPH implícito
• Punto es una herramienta de visualización disponible gratuitamente para simulaciones de partículas.
• pysph Marco de código abierto para la hidrodinámica de partículas suavizadas en Python (nueva licencia BSD)
• Py-SPHViewer Herramienta de visualización de Python de código abierto para simulaciones de hidrodinámica de partículas suavizadas. ^[1]
• Solucionador SPH comercial RealFlow para la industria cinematográfica.
• RheoCube es un producto SaaS comercial de Lorenz Research para el estudio y la predicción de la reología y la estabilidad de fluidos complejos.
• SimPARTIX es un paquete de simulación comercial para simulaciones SPH y del método de elementos discretos (DEM) de Fraunhofer IWM
• Flujo SPH
• ESFERA
• SPHinXsys es una biblioteca SPH multifísica y multiresolución de código abierto. Proporciona API de C++ para simulación física precisa y tiene como objetivo modelar sistemas dinámicos industriales acoplados, incluidas dinámicas de fluidos, sólidos y multicuerpo, entre otros.
• SPHysics es una implementación de SPH de código abierto en Fortran
• SPLASH es una herramienta de visualización de código abierto (GPL) para simulaciones SPH
• SYMPLER: un simulador de partículas simbólicas gratuito de la Universidad de Friburgo.
• Nauticle es una herramienta computacional de propósito general para métodos numéricos basados ​​en partículas.
• NDYNAMICS es un software de simulación de fluidos comercial basado en SPH implícito desarrollado por CENTROID LAB, actualmente utilizado para aplicaciones de ingeniería nuclear, química y de inundaciones internas y externas.

1. Benítez-Llambay, Alejandro (28 de julio de 2015), "Py-Sphviewer: Py-Sphviewer V1.0.0", Zenodo , Bibcode :2015zndo.....21703B, doi :10.5281/zenodo.21703 , recuperado en 2022- 03-30