Integración de Leapfrog

Concepto de matemáticas

En el análisis numérico , la integración de salto es un método para integrar numéricamente ecuaciones diferenciales de la forma o equivalentemente de la forma particularmente en el caso de un sistema dinámico de mecánica clásica . $${\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=A(x),}$$ $${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {dv}{dt}}=A(x),\;{\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v,}$$

Comparación de las propiedades de conservación de energía de la integración de Euler y Leapfrog para N cuerpos que orbitan alrededor de una fuente de masa puntual. Se utiliza el mismo intervalo de tiempo en ambas simulaciones.

El método se conoce con diferentes nombres en diferentes disciplinas. En particular, es similar al método de Verlet de velocidad , que es una variante de la integración de Verlet . La integración de salto de rana equivale a actualizar posiciones y velocidades en diferentes puntos de tiempo intercalados, escalonados de tal manera que " salten " uno sobre el otro. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle v(t)={\dot {x}}(t)}$

La integración de Leapfrog es un método de segundo orden , a diferencia de la integración de Euler , que es solo de primer orden, pero requiere la misma cantidad de evaluaciones de funciones por paso. A diferencia de la integración de Euler, es estable para el movimiento oscilatorio, siempre que el paso de tiempo sea constante y . ^[1] ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<2/\omega }$

Utilizando los coeficientes de Yoshida, aplicando el integrador de salto varias veces con los pasos de tiempo correctos, se puede generar un integrador de orden mucho más alto.

Algoritmo

En la integración de salto, las ecuaciones para actualizar la posición y la velocidad son

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&=A(x_{i}),\\v_{i+1/2}&=v_{i-1/2}+a_{i}\,\Delta t,\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{aligned}}}$

donde es la posición en el paso , es la velocidad, o primera derivada de , en el paso , es la aceleración, o segunda derivada de , en el paso , y es el tamaño de cada paso de tiempo. Estas ecuaciones se pueden expresar en una forma que dé también la velocidad en pasos enteros: ^[2] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i+1/2\,}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i+1/2\,}$ ${\displaystyle a_{i}=A(x_{i})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{aligned}}}$

Sin embargo, en esta forma sincronizada, el paso de tiempo debe ser constante para mantener la estabilidad. ^[3] ${\displaystyle \Delta t}$

La forma sincronizada se puede reorganizar en la forma 'patada-deriva-patada';

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+a_{i}{\frac {\Delta t}{2}},\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\v_{i+1}&=v_{i+1/2}+a_{i+1}{\frac {\Delta t}{2}},\end{aligned}}}$

que se utiliza principalmente cuando se requieren pasos de tiempo variables. La separación del cálculo de aceleración en el inicio y el final de un paso significa que si la resolución temporal se incrementa en un factor de dos ( ), entonces solo se requiere un cálculo de aceleración adicional (computacionalmente costoso). ${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2}$

Un uso de esta ecuación es en simulaciones de gravedad, ya que en ese caso la aceleración depende sólo de las posiciones de las masas gravitacionales (y no de sus velocidades), aunque los integradores de orden superior (como los métodos de Runge-Kutta ) se utilizan con mayor frecuencia.

Existen dos puntos fuertes principales de la integración por saltos cuando se aplica a problemas de mecánica. El primero es la reversibilidad temporal del método de saltos. Se pueden integrar n pasos hacia adelante y luego invertir la dirección de la integración e integrar n pasos hacia atrás para llegar a la misma posición inicial. El segundo punto fuerte es su naturaleza simpléctica , que implica que conserva la energía (ligeramente modificada; ver integrador simpléctico ) de un sistema dinámico hamiltoniano. ^[4] Esto es especialmente útil cuando se calcula la dinámica orbital, ya que muchos otros esquemas de integración, como el método de Runge-Kutta (de orden 4) , no conservan la energía y permiten que el sistema se desvíe sustancialmente con el tiempo.

Debido a su reversibilidad temporal y a que es un integrador simpléctico , la integración de salto también se utiliza en el Monte Carlo hamiltoniano , un método para extraer muestras aleatorias de una distribución de probabilidad cuya normalización general es desconocida. ^[5]

Algoritmos de Yoshida

El integrador de salto de rana se puede convertir en integradores de orden superior utilizando técnicas creadas por Haruo Yoshida. En este enfoque, el salto de rana se aplica a lo largo de varios intervalos de tiempo diferentes. Resulta que cuando se utilizan los intervalos de tiempo correctos en secuencia, los errores se cancelan y se pueden producir fácilmente integradores de orden mucho más alto. ^{[6] [7]}

Integrador Yoshida de cuarto orden

Un paso en el integrador de Yoshida de cuarto orden requiere cuatro pasos intermedios. La posición y la velocidad se calculan en momentos diferentes. Solo se requieren tres cálculos de aceleración (que son costosos desde el punto de vista computacional).

Las ecuaciones para que el integrador de cuarto orden actualice la posición y la velocidad son

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,\\v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,\\v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t,\\v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t,\\x_{i+1}&\equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,\\v_{i+1}&\equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\\end{aligned}}}$

donde son la posición inicial y la velocidad, son la posición intermedia y la velocidad en el paso intermedio , es la aceleración en la posición y son la posición final y la velocidad bajo un paso de Yoshida de cuarto orden. ${\displaystyle x_{i},v_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}^{n},v_{i}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a(x_{i}^{n})}$ ${\displaystyle x_{i}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i+1},v_{i+1}}$

Los coeficientes y se derivan en ^[7] (ver la ecuación (4.6)) ${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})}$ ${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\c_{1}&=c_{4}\equiv {\frac {w_{1}}{2}},c_{2}=c_{3}\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\d_{1}&=d_{3}\equiv w_{1},d_{2}\equiv w_{0}\\\end{aligned}}}$

Todos los pasos intermedios forman un paso, lo que implica que los coeficientes suman uno: y . Tenga en cuenta que la posición y la velocidad se calculan en momentos diferentes y algunos pasos intermedios se realizan hacia atrás en el tiempo. Para ilustrar esto, damos los valores numéricos de los coeficientes: , , , ${\displaystyle \Delta t}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{1}=0.6756}$ ${\displaystyle c_{2}=-0.1756}$ ${\displaystyle c_{3}=-0.1756}$ ${\displaystyle c_{4}=0.6756.}$

Véase también

• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
• Integración simpléctica
• Integración de Euler
• Integración de Verlet
• Integración de Runge-Kutta

Referencias

1. CK Birdsall y AB Langdon, Física del plasma mediante simulaciones por computadora , McGraw-Hill Book Company, 1985, pág. 56.
2. 4.1 Dos formas de escribir el salto de rana
3. Skeel, RD, "El tamaño de paso variable desestabiliza el método Stömer/Leapfrog/Verlet", BIT Numerical Mathematics , Vol. 33, 1993, pág. 172–175.
4. Tuckerman, Mark E. (2010). Mecánica estadística: teoría y simulación molecular (1.ª edición). Oxford University Press. pp. 121–124. ISBN 9780198525264.
5. Bishop, Christopher (2006). Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático . Nueva York: Springer-Verlag . Págs. 548-554. ISBN. 978-0-387-31073-2.
6. "./Ch07.HTML".
7. Yoshida, Haruo (1990). "Construcción de integradores simplécticos de orden superior". Physics Letters A . 150 (5–7): 262–268. doi :10.1016/0375-9601(90)90092-3.

Enlaces externos

• [1], Física de la Universidad de Drexel