En la mecánica celeste y las matemáticas del problema de los n cuerpos , una configuración central es un sistema de masas puntuales con la propiedad de que cada masa es arrastrada por la fuerza gravitacional combinada del sistema directamente hacia el centro de masa , con una aceleración proporcional a su distancia del centro. Las configuraciones centrales pueden estudiarse en espacios euclidianos de cualquier dimensión, aunque sólo las dimensiones uno, dos y tres son directamente relevantes para la mecánica celeste. [1] [2]
Para n masas iguales, una posible configuración central coloca las masas en los vértices de un polígono regular (formando una roseta de Klemperer ), un sólido platónico o un politopo regular en dimensiones superiores. La centralidad de la configuración se deriva de su simetría. También es posible colocar un punto adicional, de masa arbitraria, en el centro de masa del sistema sin cambiar su centralidad. [1]
Colocar tres masas en un triángulo equilátero, cuatro en los vértices de un tetraedro regular o, más generalmente, n masas en los vértices de un simplex regular produce una configuración central incluso cuando las masas no son iguales. Esta es la única configuración central de estas masas que no se encuentra en un subespacio de dimensiones inferiores. [1]
Según la ley de gravitación universal de Newton , los cuerpos colocados en reposo en una configuración central mantendrán la configuración mientras colapsan en una colisión en su centro de masa. Los sistemas de cuerpos en una configuración central bidimensional pueden orbitar de manera estable alrededor de su centro de masa, manteniendo sus posiciones relativas, con órbitas circulares alrededor del centro de masa o en órbitas elípticas con el centro de masa en un foco de la elipse. Éstas son las únicas órbitas estables posibles en el espacio tridimensional en las que el sistema de partículas siempre permanece similar a su configuración inicial. [1]
De manera más general, cualquier sistema de partículas que se muevan bajo la gravitación newtoniana y que colisionen en un solo punto en el tiempo y el espacio se aproximará a una configuración central, en el límite en que el tiempo tiende al tiempo de colisión. De manera similar, un sistema de partículas que finalmente escapan entre sí exactamente a la velocidad de escape se aproximará a una configuración central en el límite a medida que el tiempo tiende a infinito. Y cualquier sistema de partículas que se mueva bajo la gravitación newtoniana como si fuera un cuerpo rígido debe hacerlo en una configuración central. Los vórtices en la dinámica de fluidos bidimensional , como los grandes sistemas de tormentas en los océanos de la Tierra, también tienden a organizarse en configuraciones centrales. [2]
Dos configuraciones centrales se consideran equivalentes si son similares , es decir, pueden transformarse entre sí mediante alguna combinación de rotación, traslación y escala. Con esta definición de equivalencia, sólo hay una configuración de uno o dos puntos, y siempre es central.
En el caso de tres cuerpos, existen tres configuraciones centrales unidimensionales, encontradas por Leonhard Euler . La finitud del conjunto de configuraciones centrales de tres puntos fue demostrada por Joseph-Louis Lagrange en su solución al problema de los tres cuerpos ; Lagrange demostró que existe una sola configuración central no colineal, en la que los tres puntos forman los vértices de un triángulo equilátero . [2]
Cuatro puntos en cualquier dimensión tienen sólo un número finito de configuraciones centrales. El número de configuraciones en este caso es de al menos 32 y como máximo 8472, dependiendo de las masas de los puntos. [3] [4] La única configuración central convexa de cuatro masas iguales es un cuadrado. [5] La única configuración central de cuatro masas que abarca tres dimensiones es la configuración formada por los vértices de un tetraedro regular . [6]
Para un número arbitrario de puntos en una dimensión, nuevamente solo hay un número finito de soluciones, una para cada uno de los n !/2 ordenamientos lineales (hasta la inversión del orden) de los puntos en una línea. [1] [2] [7] [8]
¿Existe un número limitado de configuraciones centrales para cada colección finita de masas puntuales en cada dimensión?
Para cada conjunto de n masas puntuales y cada dimensión menor que n , existe al menos una configuración central de esa dimensión. [1] Para casi todas las n -tuplas de masas hay un número finito de configuraciones "Dziobek" que abarcan exactamente n − 2 dimensiones. [1] Es un problema no resuelto, planteado por Chazy (1918) y Wintner (1941), si siempre hay un número acotado de configuraciones centrales para cinco o más masas en dos o más dimensiones. En 1998, Stephen Smale incluyó este problema como el sexto en su lista de "problemas matemáticos para el próximo siglo". [2] [9] [10] [11] Como progreso parcial, para casi todas las 5-tuplas de masas, sólo hay un número limitado de configuraciones centrales bidimensionales de cinco puntos. [12]
Se dice que una configuración central está apilada si un subconjunto de tres o más de sus masas también forman una configuración central. Por ejemplo, esto puede ser cierto para masas iguales que forman una pirámide cuadrada , con las cuatro masas en la base de la pirámide también formando una configuración central, o para masas que forman una bipirámide triangular , con las tres masas en el triángulo central de la bipirámide. formando también una configuración central. [13]
Una configuración central de telaraña es una configuración en la que las masas se encuentran en los puntos de intersección de un conjunto de círculos concéntricos con otro conjunto de líneas, que se encuentran en el centro de los círculos con ángulos iguales. Los puntos de intersección de las líneas con un solo círculo deben estar todos ocupados por puntos de igual masa, pero las masas pueden variar de un círculo a otro. Se coloca una masa adicional (que puede ser cero) en el centro del sistema. Para cualquier número deseado de líneas, número de círculos y perfil de las masas en cada círculo concéntrico de una configuración central de telaraña, es posible encontrar una configuración central de telaraña que coincida con esos parámetros. [14] [15] De manera similar, se pueden obtener configuraciones centrales para familias de sólidos platónicos anidados , o más generalmente , órbitas teóricas de grupos de cualquier subgrupo finito del grupo ortogonal . [dieciséis]
James Clerk Maxwell sugirió que un caso especial de estas configuraciones con un círculo, un cuerpo central masivo y cuerpos mucho más livianos en puntos equidistantes del círculo podría usarse para comprender el movimiento de los anillos de Saturno. [14] [17] Saari (2015) utilizó órbitas estables generadas a partir de configuraciones centrales de telaraña con distribución de masa conocida para probar la precisión de los métodos de estimación clásicos para la distribución de masa de las galaxias. Sus resultados mostraron que estos métodos podrían ser bastante inexactos, lo que podría mostrar que se necesita menos materia oscura para predecir el movimiento galáctico de lo que predicen las teorías estándar. [14]