En mecánica celeste , una configuración central es un sistema de masas puntuales con la propiedad de que cada masa es atraída por la fuerza gravitacional combinada del sistema directamente hacia el centro de masas , con una aceleración proporcional a su distancia desde el centro. Las configuraciones centrales se estudian en problemas de n cuerpos formulados en espacios euclidianos de cualquier dimensión, aunque solo las dimensiones uno, dos y tres son directamente relevantes para la mecánica celeste en el espacio físico. [1] [2]
Para n masas iguales, una posible configuración central coloca las masas en los vértices de un polígono regular (formando una roseta de Klemperer ), un sólido platónico o un politopo regular en dimensiones superiores. La centralidad de la configuración se desprende de su simetría. También es posible colocar un punto adicional, de masa arbitraria, en el centro de masa del sistema sin cambiar su centralidad. [1]
La colocación de tres masas en un triángulo equilátero, cuatro en los vértices de un tetraedro regular o, de manera más general, n masas en los vértices de un símplex regular produce una configuración central incluso cuando las masas no son iguales. Esta es la única configuración central para estas masas que no se encuentra en un subespacio de dimensión inferior. [1]
Según la ley de gravitación universal de Newton , los cuerpos colocados en reposo en una configuración central mantendrán la configuración a medida que colapsen hasta colisionar en su centro de masas. Los sistemas de cuerpos en una configuración central bidimensional pueden orbitar de manera estable alrededor de su centro de masas, manteniendo sus posiciones relativas, con órbitas circulares alrededor del centro de masas o en órbitas elípticas con el centro de masas en un foco de la elipse. Estas son las únicas órbitas estables posibles en el espacio tridimensional en las que el sistema de partículas siempre permanece similar a su configuración inicial. [1]
En términos más generales, cualquier sistema de partículas que se mueven bajo la gravitación newtoniana y que colisionan en un único punto en el tiempo y el espacio se aproximará a una configuración central, en el límite a medida que el tiempo tiende al tiempo de colisión. De manera similar, un sistema de partículas que eventualmente escapan unas de otras exactamente a la velocidad de escape se aproximará a una configuración central en el límite a medida que el tiempo tiende al infinito. Y cualquier sistema de partículas que se mueven bajo la gravitación newtoniana como si fueran un cuerpo rígido debe hacerlo en una configuración central. Los vórtices en la dinámica de fluidos bidimensional , como los grandes sistemas de tormentas en los océanos de la Tierra, también tienden a organizarse en configuraciones centrales. [2]
Se considera que dos configuraciones centrales son equivalentes si son similares , es decir, pueden transformarse entre sí mediante alguna combinación de rotación, traslación y escala. Con esta definición de equivalencia, solo existe una configuración de uno o dos puntos, y siempre es central.
En el caso de tres cuerpos, existen tres configuraciones centrales unidimensionales, halladas por Leonhard Euler . La finitud del conjunto de configuraciones centrales de tres puntos fue demostrada por Joseph-Louis Lagrange en su solución al problema de los tres cuerpos ; Lagrange demostró que existe una única configuración central no colineal, en la que los tres puntos forman los vértices de un triángulo equilátero . [2]
Cuatro puntos en cualquier dimensión tienen sólo un número finito de configuraciones centrales. El número de configuraciones en este caso es al menos 32 y como máximo 8472, dependiendo de las masas de los puntos. [3] [4] La única configuración central convexa de cuatro masas iguales es un cuadrado. [5] La única configuración central de cuatro masas que abarca tres dimensiones es la configuración formada por los vértices de un tetraedro regular . [6]
Para un número arbitrario de puntos en una dimensión, nuevamente hay sólo un número finito de soluciones, una para cada uno de los n !/2 ordenamientos lineales (hasta la inversión del orden) de los puntos en una línea. [1] [2] [7] [8]
Para cada conjunto de n masas puntuales y cada dimensión menor que n , existe al menos una configuración central de esa dimensión. [1] Para casi todas las n -tuplas de masas hay un número finito de configuraciones "Dziobek" que abarcan exactamente n − 2 dimensiones. [1] Es un problema sin resolver, planteado por Chazy (1918) y Wintner (1941), si siempre hay un número acotado de configuraciones centrales para cinco o más masas en dos o más dimensiones. En 1998, Stephen Smale incluyó este problema como el sexto en su lista de "problemas matemáticos para el próximo siglo". [2] [9] [10] [11] Como avance parcial, para casi todas las 5-tuplas de masas, solo hay un número acotado de configuraciones centrales bidimensionales de cinco puntos. [12]
Se dice que una configuración central está apilada si un subconjunto de tres o más de sus masas también forman una configuración central. Por ejemplo, esto puede ser cierto para masas iguales que forman una pirámide cuadrada , con las cuatro masas en la base de la pirámide también formando una configuración central, o para masas que forman una bipirámide triangular , con las tres masas en el triángulo central de la bipirámide también formando una configuración central. [13]
Una configuración central de telaraña es una configuración en la que las masas se encuentran en los puntos de intersección de una colección de círculos concéntricos con otra colección de líneas, que se encuentran en el centro de los círculos con ángulos iguales. Los puntos de intersección de las líneas con un solo círculo deben estar ocupados por puntos de igual masa, pero las masas pueden variar de un círculo a otro. Se coloca una masa adicional (que puede ser cero) en el centro del sistema. Para cualquier número deseado de líneas, número de círculos y perfil de las masas en cada círculo concéntrico de una configuración central de telaraña, es posible encontrar una configuración central de telaraña que coincida con esos parámetros. [14] [15] De manera similar, se pueden obtener configuraciones centrales para familias de sólidos platónicos anidados o, más generalmente, órbitas teóricas de grupos de cualquier subgrupo finito del grupo ortogonal . [16]
James Clerk Maxwell sugirió que un caso especial de estas configuraciones con un círculo, un cuerpo central masivo y cuerpos mucho más livianos en puntos igualmente espaciados en el círculo podría usarse para comprender el movimiento de los anillos de Saturno. [14] [17] Saari (2015) usó órbitas estables generadas a partir de configuraciones centrales en forma de telaraña con distribución de masa conocida para probar la precisión de los métodos de estimación clásicos para la distribución de masa de las galaxias. Sus resultados mostraron que estos métodos podrían ser bastante inexactos, lo que potencialmente demuestra que se necesita menos materia oscura para predecir el movimiento galáctico de lo que predicen las teorías estándar. [14]