Seguridad asintótica en gravedad cuántica

Intenta encontrar una teoría consistente de la gravedad cuántica

La seguridad asintótica (a veces también denominada renormalizabilidad no perturbativa ) es un concepto de la teoría cuántica de campos que tiene como objetivo encontrar una teoría cuántica consistente y predictiva del campo gravitacional . Su ingrediente clave es un punto fijo no trivial del flujo del grupo de renormalización de la teoría que controla el comportamiento de las constantes de acoplamiento en el régimen ultravioleta (UV) y hace que las cantidades físicas estén a salvo de divergencias. Aunque originalmente fue propuesta por Steven Weinberg para encontrar una teoría de la gravedad cuántica , la idea de un punto fijo no trivial que proporcione una posible terminación UV se puede aplicar también a otras teorías de campo, en particular a las perturbativamente no renormalizables . En este sentido, es similar a la trivialidad cuántica .

La esencia de la seguridad asintótica es la observación de que los puntos fijos del grupo de renormalización no trivial se pueden utilizar para generalizar el procedimiento de renormalización perturbativa . En una teoría asintóticamente segura, los acoplamientos no necesitan ser pequeños o tender a cero en el límite de alta energía, sino que tienden a valores finitos: se acercan a un punto fijo UV no trivial . Por lo tanto, la evolución de las constantes de acoplamiento, es decir, su dependencia de escala descrita por el grupo de renormalización (RG), es especial en su límite UV, en el sentido de que todas sus combinaciones adimensionales siguen siendo finitas. Esto es suficiente para evitar divergencias no físicas, por ejemplo en amplitudes de dispersión . El requisito de un punto fijo UV restringe la forma de la acción desnuda y los valores de las constantes de acoplamiento desnudas, que se convierten en predicciones del programa de seguridad asintótico en lugar de entradas.

En cuanto a la gravedad, el procedimiento estándar de renormalización perturbativa falla ya que la constante de Newton , el parámetro de expansión relevante, tiene una dimensión de masa negativa, lo que hace que la relatividad general sea perturbativamente no renormalizable. Esto ha impulsado la búsqueda de marcos no perturbativos que describan la gravedad cuántica, incluida la seguridad asintótica que, a diferencia de otros enfoques, se caracteriza por el uso de métodos de la teoría cuántica de campos, sin depender, sin embargo, de técnicas perturbativas. En la actualidad, se acumulan pruebas de un punto fijo adecuado para la seguridad asintótica, aunque todavía falta una prueba rigurosa de su existencia.

Motivación

La gravedad, en el nivel clásico, se describe mediante las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein . Estas ecuaciones combinan la geometría del espacio-tiempo codificada en la métrica con el contenido de materia comprendido en el tensor de energía-momento . La naturaleza cuántica de la materia ha sido probada experimentalmente; por ejemplo, la electrodinámica cuántica es actualmente una de las teorías de la física confirmadas con mayor precisión. Por esta razón también parece plausible la cuantificación de la gravedad. Desafortunadamente, la cuantificación no se puede realizar de la forma estándar (renormalización perturbativa): ya una simple consideración de conteo de potencia señala la no renormalizabilidad perturbativa, ya que la dimensión de masa de la constante de Newton es . El problema ocurre de la siguiente manera. Según el punto de vista tradicional, la renormalización se implementa mediante la introducción de contratérminos que deberían cancelar expresiones divergentes que aparecen en integrales de bucle . Sin embargo, al aplicar este método a la gravedad, los contratérminos necesarios para eliminar todas las divergencias proliferan hasta alcanzar un número infinito. Como esto conduce inevitablemente a un número infinito de parámetros libres que se pueden medir en los experimentos, es poco probable que el programa tenga poder predictivo más allá de su uso como teoría efectiva de baja energía . ${\displaystyle \textstyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\,T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle -2}$

Resulta que las primeras divergencias en la cuantificación de la relatividad general, que no pueden ser absorbidas consistentemente en contratérminos (es decir, sin necesidad de introducir nuevos parámetros), aparecen ya en el nivel de un bucle en presencia de campos de materia. ^[1] A nivel de dos bucles, las divergencias problemáticas surgen incluso en la gravedad pura. ^[2] Para superar esta dificultad conceptual se requirió el desarrollo de técnicas no perturbativas, proporcionando varias teorías candidatas de la gravedad cuántica . Durante mucho tiempo, la opinión predominante ha sido que el concepto mismo de la teoría cuántica de campos –aunque notablemente exitoso en el caso de las otras interacciones fundamentales– está condenado al fracaso para la gravedad. Por el contrario, la idea de seguridad asintótica conserva los campos cuánticos como campo teórico y, en cambio, abandona únicamente el programa tradicional de renormalización perturbativa.

Historia

Después de haber descubierto la no renormalizabilidad perturbativa de la gravedad, los físicos intentaron emplear técnicas alternativas para solucionar el problema de la divergencia, por ejemplo teorías de resumen o extendidas con campos de materia y simetrías adecuados, todas las cuales tienen sus propios inconvenientes. En 1976, Steven Weinberg propuso una versión generalizada de la condición de renormalización, basada en un punto fijo no trivial del flujo subyacente del grupo de renormalización (RG) para la gravedad. ^[3] Esto se llamó seguridad asintótica. ^{[4] [5]} La idea de una finalización UV mediante un punto fijo no trivial de los grupos de renormalización había sido propuesta anteriormente por Kenneth G. Wilson y Giorgio Parisi en la teoría de campos escalares ^{[6] [7]} (ver también Trivialidad cuántica ). La aplicabilidad a teorías perturbativamente no renormalizables se demostró explícitamente por primera vez para el modelo sigma no lineal ^[8] y para una variante del modelo de Gross-Neveu . ^[9]

En cuanto a la gravedad, los primeros estudios sobre este nuevo concepto se realizaron en dimensiones espacio-temporales a finales de los años setenta. Exactamente en dos dimensiones existe una teoría de la gravedad pura que es renormalizable según el antiguo punto de vista. (Para que la acción de Einstein-Hilbert sea adimensional, la constante de Newton debe tener dimensión de masa cero). Para las perturbaciones pequeñas pero finitas, la teoría sigue siendo aplicable, y se puede expandir la función beta ( -función) que describe el grupo de renormalización en ejecución de la acción de Newton. constante como una serie de potencias en . De hecho, con este espíritu fue posible demostrar que presenta un punto fijo no trivial. ^[4] ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle \textstyle {1 \over 16\pi G}\int \mathrm {d} ^{2}x{\sqrt {g}}\,R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Sin embargo, no estaba claro cómo hacer una continuación desde las dimensiones hasta que los cálculos se basaban en la pequeñez del parámetro de expansión . Los métodos computacionales para un tratamiento no perturbativo aún no estaban disponibles en ese momento. Por este motivo, durante algunos años se dejó de lado la idea de la seguridad asintótica en la gravedad cuántica. Sólo a principios de los años 90 se revisaron aspectos de la gravedad dimensional en varios trabajos, pero aún no se continuó con la dimensión cuatro. ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle 2+\epsilon }$

En cuanto a los cálculos más allá de la teoría de la perturbación, la situación mejoró con la llegada de nuevos métodos de grupos de renormalización funcional , en particular la llamada acción promedio efectiva (una versión de la acción efectiva dependiente de la escala ). Introducido en 1993 por Christof Wetterich y Tim R. Morris para las teorías escalares, ^{[10] [11]} y por Martin Reuter y Christof Wetterich para las teorías de calibre generales (en el espacio plano euclidiano), ^[12] es similar a una acción wilsoniana ( gruesa ). energía libre granulada ) ^[6] y aunque se argumenta que difieren en un nivel más profundo, ^[13] de hecho está relacionado por una transformada de Legendre. ^[11] La dependencia de la escala de corte de este funcional se rige por una ecuación de flujo funcional que, a diferencia de intentos anteriores, también se puede aplicar fácilmente en presencia de simetrías de calibre locales.

En 1996, Martin Reuter construyó una acción promedio efectiva similar y la ecuación de flujo asociada para el campo gravitacional. ^[14] Cumple con el requisito de independencia del fondo , uno de los principios fundamentales de la gravedad cuántica. Este trabajo puede considerarse un avance esencial en los estudios asintóticos relacionados con la seguridad sobre la gravedad cuántica, ya que proporciona la posibilidad de cálculos no perturbativos para dimensiones espacio-temporales arbitrarias. Se demostró que al menos para el truncamiento de Einstein-Hilbert, el ansatz más simple para la acción promedio efectiva, de hecho está presente un punto fijo no trivial.

Estos resultados marcan el punto de partida de muchos cálculos posteriores. Dado que en el trabajo pionero de Martin Reuter no estaba claro en qué medida los resultados dependían del truncamiento considerado por ansatz, el siguiente paso obvio consistió en ampliar el truncamiento. Este proceso fue iniciado por Roberto Percacci y colaboradores, a partir de la inclusión de campos de materia. ^[15] Hasta el momento, muchos trabajos diferentes de una comunidad en continuo crecimiento – incluyendo, por ejemplo, - y truncamientos al cuadrado del tensor de Weyl – han confirmado de forma independiente que el escenario de seguridad asintótico es realmente posible: se demostró la existencia de un punto fijo no trivial dentro de cada truncamiento estudiado hasta el momento. ^[16] Aunque todavía falta una prueba final, cada vez hay más pruebas de que el programa de seguridad asintótica puede conducir en última instancia a una teoría cuántica de la gravedad consistente y predictiva dentro del marco general de la teoría cuántica de campos . ${\displaystyle f(R)}$

Ideas principales

Espacio teórico

Las trayectorias del grupo de renormalización fluyen en el espacio teórico, parametrizado por infinitas constantes de acoplamiento. Por convención, las flechas del campo vectorial (y la de la trayectoria verde) apuntan desde las escalas UV a IR. El conjunto de acciones que se encuentran dentro del espacio teórico y son arrastradas hacia el punto fijo bajo el flujo inverso de RG (es decir, en la dirección opuesta a las flechas) se denomina superficie crítica UV. La hipótesis de seguridad asintótica es que una trayectoria sólo puede realizarse en la naturaleza si está contenida en la superficie crítica UV, ya que sólo entonces tiene un límite de energía alto y de buen comportamiento (trayectorias naranja, azul y magenta, a modo de ejemplo). Las trayectorias fuera de esta superficie escapan al espacio teórico porque desarrollan divergencias inaceptables en el UV, mientras que al ir a escalas más bajas se acercan a la superficie crítica del UV. Esta situación está representada por la trayectoria verde que se encuentra sobre la superficie y se aleja de ella para aumentar la escala RG (opuesto a la flecha verde). ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

El programa de seguridad asintótica adopta un punto de vista wilsoniano moderno sobre la teoría cuántica de campos. Aquí los datos de entrada básicos que deben fijarse al principio son, en primer lugar, los tipos de campos cuánticos que contienen los grados de libertad de la teoría y, en segundo lugar, las simetrías subyacentes . Para cualquier teoría considerada, estos datos determinan la etapa en la que tiene lugar la dinámica de grupo de renormalización, el llamado espacio teórico. Consta de todos los funcionales de acción posibles en función de los campos seleccionados y respetando los principios de simetría prescritos. Cada punto en este espacio teórico representa, por tanto, una acción posible. A menudo se puede pensar que el espacio está abarcado por todos los monomios de campo adecuados. En este sentido , cualquier acción en el espacio teórico es una combinación lineal de monomios de campo, donde los coeficientes correspondientes son las constantes de acoplamiento . (Aquí se supone que todos los acoplamientos son adimensionales. Los acoplamientos siempre se pueden hacer adimensionales multiplicando con una potencia adecuada de la escala RG). ${\displaystyle \{g_{\alpha }\}}$

Flujo del grupo de renormalización

El grupo de renormalización (RG) describe el cambio de un sistema físico debido al suavizado o promediado de detalles microscópicos cuando se pasa a una resolución más baja. Esto pone en juego una noción de dependencia de escala para las funciones de acción de interés. Las transformaciones infinitesimales de RG asignan acciones a las cercanas, dando lugar a un campo vectorial en el espacio teórico. La dependencia de escala de una acción está codificada en una "ejecución" de las constantes de acoplamiento que parametrizan esta acción, con la escala RG . Esto da lugar a una trayectoria en el espacio teórico (trayectoria RG), que describe la evolución de una acción funcional con respecto a la escala. Cuál de todas las trayectorias posibles se realiza en la naturaleza debe determinarse mediante mediciones. ${\displaystyle \{g_{\alpha }\}\equiv \{g_{\alpha }(k)\}}$ ${\displaystyle k}$

Tomando el límite de UV

La construcción de una teoría cuántica de campos equivale a encontrar una trayectoria RG que se extiende infinitamente en el sentido de que la acción funcional descrita por se comporta bien para todos los valores del parámetro de escala de momento , incluidos el límite infrarrojo y el límite ultravioleta (UV). . La seguridad asintótica es una forma de abordar este último límite. Su requisito fundamental es la existencia de un punto fijo del flujo de RG. Por definición, este es un punto en el espacio teórico donde se detiene la ejecución de todos los acoplamientos o, en otras palabras, un cero de todas las funciones beta : para todos . Además, ese punto fijo debe tener al menos una dirección atractiva para los rayos UV. Esto asegura que haya una o más trayectorias RG que lleguen al punto fijo para aumentar la escala. El conjunto de todos los puntos en el espacio teórico que son "atraídos" hacia el punto fijo UV al pasar a escalas mayores se denomina superficie crítica UV . Por tanto, la superficie crítica de UV consta de todas aquellas trayectorias que están a salvo de divergencias de UV en el sentido de que todos los acoplamientos se aproximan a valores de punto fijo finitos como . La hipótesis clave que subyace a la seguridad asintótica es que sólo las trayectorias que discurren completamente dentro de la superficie crítica UV de un punto fijo apropiado pueden extenderse infinitamente y así definir una teoría cuántica de campos fundamental. Es obvio que tales trayectorias se comportan bien en el límite UV ya que la existencia de un punto fijo les permite "permanecer en un punto" durante un "tiempo" RG infinitamente largo. ${\displaystyle \{g_{\alpha }(k)\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\rightarrow 0}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \{g_{\alpha }^{*}\}}$ ${\displaystyle \beta _{\gamma }(\{g_{\alpha }^{*}\})=0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

Respecto al punto fijo, las direcciones que atraen a los rayos UV se denominan relevantes y las que repelen a los rayos UV, irrelevantes, ya que los campos de escala correspondientes aumentan y disminuyen respectivamente cuando se reduce la escala. Por lo tanto, la dimensionalidad de la superficie crítica UV es igual al número de acoplamientos relevantes. Por tanto, una teoría asintóticamente segura es tanto más predictiva cuanto menor sea la dimensionalidad de la superficie crítica UV correspondiente.

Por ejemplo, si la superficie crítica UV tiene una dimensión finita, es suficiente realizar sólo mediciones para identificar de forma única la trayectoria RG de la naturaleza. Una vez que se miden los acoplamientos relevantes, el requisito de seguridad asintótica fija todos los demás acoplamientos, ya que estos últimos deben ajustarse de tal manera que la trayectoria RG se encuentre dentro de la superficie crítica UV. En este espíritu, la teoría es altamente predictiva, ya que un número finito de mediciones fijan una infinidad de parámetros. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

A diferencia de otros enfoques, aquí no se necesita como aportación una simple acción que debería promoverse hasta convertirse en una teoría cuántica. Son el espacio teórico y las ecuaciones de flujo RG los que determinan los posibles puntos fijos de UV. Dado que dicho punto fijo, a su vez, corresponde a una acción simple, se puede considerar la acción simple como una predicción en el programa de seguridad asintótico. Esto puede considerarse como una estrategia de búsqueda sistemática entre teorías que ya son "cuánticas", que identifica las "islas" de teorías físicamente aceptables en el "mar" de teorías inaceptables plagadas de singularidades de corta distancia.

Puntos fijos gaussianos y no gaussianos

Un punto fijo se llama gaussiano si corresponde a una teoría libre. Sus exponentes críticos concuerdan con las dimensiones de masa canónicas de los operadores correspondientes, que generalmente equivalen a los valores triviales de punto fijo para todos los acoplamientos esenciales . Por tanto, la teoría de la perturbación estándar es aplicable sólo en las proximidades de un punto fijo gaussiano. En este sentido, la seguridad asintótica en el punto fijo gaussiano es equivalente a la renormalizabilidad perturbativa más la libertad asintótica . Sin embargo, debido a los argumentos presentados en las secciones introductorias, esta posibilidad queda descartada por motivos de gravedad. ${\displaystyle g_{\alpha }^{*}=0}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$

Por el contrario, un punto fijo no trivial, es decir, un punto fijo cuyos exponentes críticos difieren de los canónicos, se denomina no gaussiano . Por lo general, esto requiere al menos un elemento esencial . Es este punto fijo no gaussiano el que proporciona un posible escenario para la gravedad cuántica. Hasta el momento, los estudios sobre este tema se han centrado principalmente en establecer su existencia. ${\displaystyle g_{\alpha }^{*}\neq 0}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$

Gravedad cuántica de Einstein (QEG)

Gravedad cuántica de Einstein (QEG) es el nombre genérico para cualquier teoría cuántica de la gravedad de campo que (independientemente de su acción desnuda ) toma la métrica del espacio-tiempo como variable dinámica del campo y cuya simetría está dada por la invariancia del difeomorfismo . Esto fija el espacio teórico y un flujo RG de la acción media efectiva definida sobre él, pero no señala a priori ninguna acción específica funcional. Sin embargo, la ecuación de flujo determina un campo vectorial en ese espacio teórico que puede investigarse. Si muestra un punto fijo no gaussiano a través del cual se puede medir el límite UV de forma "asintóticamente segura", este punto adquiere el estado de acción simple.

Gravedad cuadrática cuántica (QQG)

Una realización específica de QEG es la gravedad cuadrática cuántica (QQG). Esta es una extensión cuántica de la relatividad general obtenida sumando todos los términos locales de curvatura cuadrática al Lagrangiano de Einstein-Hilbert. ^{[17] [18]} QQG, además de ser renormalizable, también se ha demostrado que presenta un punto fijo UV ^[19] (incluso en presencia de sectores de materia realistas). ^[20] Por lo tanto, puede considerarse como una realización concreta de la seguridad asintótica.

Implementación a través de la acción media efectiva

Ecuación exacta del grupo de renormalización funcional

La herramienta principal para investigar el flujo gravitacional de RG con respecto a la escala de energía en el nivel no perturbativo es la acción promedio efectiva de la gravedad. ^[14] Es la versión dependiente de la escala de la acción efectiva donde en el campo integral funcional subyacente se suprimen los modos con momentos covariantes a continuación, mientras que solo los restantes se integran. Para un espacio teórico dado, sea y denote el conjunto de campos dinámicos y de fondo, respectivamente. Luego satisface la siguiente ecuación funcional RG de tipo Wetterich-Morris (FRGE): ^{[10] [11]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle k\partial _{k}\Gamma _{k}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}={\frac {1}{2}}\,{\mbox{STr}}{\Big [}{\big (}\Gamma _{k}^{(2)}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}+{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\big )}^{-1}k\partial _{k}{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\Big ]}.}$

Aquí está la segunda derivada funcional de con respecto a los campos cuánticos en posición fija . El operador de supresión de modo proporciona un término de masa dependiente para fluctuaciones con momentos covariantes y desaparece para . Su aparición en el numerador y denominador hace que la supertraza tanto en infrarrojo como en UV sea finita, alcanzando su punto máximo en los momentos . La FRGE es una ecuación exacta sin aproximaciones perturbativas. Dada una condición inicial, determina para todas las escalas de forma única. ${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\bar {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{2}\ll k^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}\gg k^{2}}$ ${\displaystyle ({\mbox{STr}})}$ ${\displaystyle p^{2}\approx k^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

Las soluciones del FRGE interpolan entre la acción desnuda (microscópica) en y la acción efectiva en . Pueden visualizarse como trayectorias en el espacio teórico subyacente. Tenga en cuenta que el FRGE en sí es independiente de la acción básica. En el caso de una teoría asintóticamente segura, la acción desnuda está determinada por el funcional de punto fijo . ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \Gamma [\Phi ]=\Gamma _{k=0}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}=\Phi {\big ]}}$ ${\displaystyle k\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Gamma _{*}=\Gamma _{k\rightarrow \infty }}$

Truncamientos del espacio de teoría.

Supongamos que hay un conjunto de funcionales básicos que abarcan el espacio teórico bajo consideración, de modo que cualquier funcional de acción, es decir, cualquier punto de este espacio teórico, puede escribirse como una combinación lineal de los 's. Entonces las soluciones del FRGE tienen expansiones de la forma ${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{\infty }g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}].}$

Insertando esta expansión en el FRGE y expandiendo la traza en su lado derecho para extraer las funciones beta , se obtiene la ecuación RG exacta en forma de componentes: . Junto con las condiciones iniciales correspondientes, estas ecuaciones fijan la evolución de los acoplamientos en funcionamiento y, por tanto, la determinan por completo. Como se puede ver, la FRGE da lugar a un sistema de infinitas ecuaciones diferenciales acopladas, ya que hay infinitos acoplamientos y las funciones pueden depender de todos ellos. Esto hace que sea muy difícil resolver el sistema en general. ${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},g_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle g_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle \beta }$

Una posible salida es restringir el análisis a un subespacio de dimensión finita como una aproximación del espacio teórico completo. En otras palabras, tal truncamiento del espacio teórico establece todos los acoplamientos excepto un número finito en cero, considerando solo la base reducida con . Esto equivale al ansatz ${\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}$ ${\displaystyle \alpha =1,\cdots ,N}$

${\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{N}g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}],}$

lo que lleva a un sistema de un número finito de ecuaciones diferenciales acopladas, que ahora se pueden resolver empleando técnicas analíticas o numéricas. ${\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},\cdots ,g_{N})}$

Claramente se debe elegir un truncamiento que incorpore tantas características del flujo exacto como sea posible. Aunque es una aproximación, el flujo truncado aún exhibe el carácter no perturbativo del FRGE, y las funciones pueden contener contribuciones de todas las potencias de los acoplamientos. ${\displaystyle \beta }$

Evidencia de ecuaciones de flujo truncadas

Diagrama de flujo QEG para el truncamiento de Einstein-Hilbert. Las flechas apuntan desde las escalas UV a IR. El color de fondo oscuro indica una región de flujo rápido, en regiones de fondo claro el flujo es lento o incluso nulo. El último caso incluye una vecindad del punto fijo gaussiano en el origen y el NGFP en el centro de las flechas en espiral, respectivamente. La trayectoria cruzada tangente a las flechas verdes conecta el punto fijo no gaussiano con el punto fijo gaussiano y desempeña el papel de una separatriz .

Truncamiento de Einstein-Hilbert

Como se describió en la sección anterior, el FRGE se presta a una construcción sistemática de aproximaciones no perturbativas a las funciones beta gravitacionales al proyectar el flujo exacto de RG en subespacios abarcados por un ansatz adecuado para . En su forma más simple, tal ansatz viene dado por la acción de Einstein-Hilbert donde la constante de Newton y la constante cosmológica dependen de la escala RG . Sea y denote la métrica dinámica y de fondo, respectivamente. Luego lee, para una dimensión espacio-temporal arbitraria , ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle G_{k}}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Gamma _{k}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}]={\frac {1}{16\pi G_{k}}}\int {\text{d}}^{d}x\,{\sqrt {g}}\,{\big (}-R(g)+2\Lambda _{k}{\big )}+\Gamma _{k}^{\text{gf}}[g,{\bar {g}}]+\Gamma _{k}^{\text{gh}}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}].}$

Retrato de fase del truncamiento de Einstein-Hilbert. Se muestran las trayectorias de RG correspondientes al diagrama de flujo del lado izquierdo. (Obtenido por primera vez en Ref. ^[21] )

Aquí está la curvatura escalar construida a partir de la métrica . Además, denota la acción de fijación del indicador y la acción fantasma con los campos fantasma y . ${\displaystyle R(g)}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gf}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gh}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\bar {\xi }}}$

Las funciones correspondientes , que describen la evolución de la constante adimensional de Newton y la constante cosmológica adimensional , se han derivado por primera vez en la referencia ^[14] para cualquier valor de la dimensionalidad del espacio-tiempo, incluidos los casos de dimensiones inferiores y superiores . En particular, en dimensiones dan lugar al diagrama de flujo RG que se muestra en el lado izquierdo. El resultado más importante es la existencia de un punto fijo no gaussiano adecuado para la seguridad asintótica. Es atractivo para los rayos UV tanto en dirección como en dirección. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle g_{k}=k^{d-2}G_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}=k^{-2}\Lambda _{k}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \lambda }$

Este punto fijo está relacionado con el que se encuentra en las dimensiones mediante métodos perturbativos en el sentido de que se recupera en el enfoque no perturbativo presentado aquí insertando en las funciones - y expandiendo en potencias de . ^[14] Dado que se demostró que las funciones existen y se calcularon explícitamente para cualquier valor real, es decir, no necesariamente entero, de , aquí no se incluye ninguna continuación analítica. El punto fijo en dimensiones también es un resultado directo de las ecuaciones de flujo no perturbativo y, a diferencia de los intentos anteriores, no se requiere extrapolación. ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle d=2+\epsilon }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Truncamientos extendidos

Posteriormente, se ha confirmado la existencia del punto fijo encontrado dentro del truncamiento de Einstein - Hilbert en subespacios de complejidad sucesivamente creciente. El siguiente paso en este desarrollo fue la inclusión de un término - en el truncamiento ansatz. ^[22] Esto se ha ampliado aún más teniendo en cuenta polinomios de la curvatura escalar (los llamados -truncamientos), ^[23] y el cuadrado del tensor de curvatura de Weyl . ^{[24] [25]} Además, las teorías f(R) han sido investigadas en la Aproximación de Potencial Local encontrando puntos fijos no perturbativos en apoyo del escenario de Seguridad Asintótica, lo que lleva al llamado punto fijo de Benedetti-Caravelli (BC). En tal formulación BC, la ecuación diferencial para el escalar de Ricci R está excesivamente restringida, pero algunas de estas restricciones pueden eliminarse mediante la resolución de singularidades móviles. ^{[26] [27]} ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(R)}$

Además, se ha investigado el impacto de diversos tipos de campos de materia. ^[15] También los cálculos basados ​​en una acción promedio efectiva invariante de reparametrización de campo parecen recuperar el punto fijo crucial. ^[28] En combinación, estos resultados constituyen una fuerte evidencia de que la gravedad en cuatro dimensiones es una teoría de campo cuántico renormalizable no perturbativamente, de hecho con una superficie crítica UV de dimensionalidad reducida, coordinada por solo unos pocos acoplamientos relevantes. ^[16]

Estructura microscópica del espacio-tiempo.

Los resultados de investigaciones asintóticas relacionadas con la seguridad indican que los espacios-tiempos efectivos de QEG tienen propiedades similares a las de los fractales en escalas microscópicas. Es posible determinar, por ejemplo, su dimensión espectral y argumentar que sufren una reducción dimensional de 4 dimensiones en distancias macroscópicas a 2 dimensiones microscópicamente. ^{[29] [30]} En este contexto, podría ser posible establecer la conexión con otros enfoques de la gravedad cuántica, por ejemplo, con triangulaciones dinámicas causales , y comparar los resultados. ^[31]

Aplicaciones de la física

Las consecuencias fenomenológicas del escenario de seguridad asintótico se han investigado en muchas áreas de la física gravitacional. Como ejemplo, la seguridad asintótica en combinación con el modelo estándar permite una afirmación sobre la masa del bosón de Higgs y el valor de la constante de estructura fina . ^[32] Además, proporciona posibles explicaciones para fenómenos particulares en cosmología y astrofísica , relacionados con los agujeros negros o la inflación , por ejemplo. ^[32] Estos diferentes estudios aprovechan la posibilidad de que el requisito de seguridad asintótica pueda dar lugar a nuevas predicciones y conclusiones para los modelos considerados, a menudo sin depender de suposiciones adicionales, posiblemente no observadas.

Crítica

Algunos investigadores argumentaron que las implementaciones actuales del programa de seguridad asintótica para la gravedad tienen características no físicas, como el funcionamiento de la constante de Newton. ^[33] Otros argumentaron que el concepto mismo de seguridad asintótica es un nombre inapropiado, ya que sugiere una característica novedosa en comparación con el paradigma Wilsoniano RG, mientras que no existe ninguna (al menos en el contexto de la teoría cuántica de campos, donde también se usa este término). . ^[34]

Ver también

• Portal de física

• Libertad asintótica
• Triangulación dinámica causal.
• Conjuntos causales
• Fenómenos críticos
• Gravedad cuántica euclidiana
• cosmología fractal
• Grupo de renormalización funcional.
• Gravedad cuántica de bucle
• Renormalización perturbativa
• escala de planck
• Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura.
• Cálculo regular
• Gravedad cuántica
• Grupo de renormalización
• Punto fijo ultravioleta

Referencias

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9. Gawędzki, Krzysztof; Kupiainen, Antti (1985). "Renormalizar lo no renormalizable". Cartas de revisión física . 55 (4): 363–365. Código bibliográfico : 1985PhRvL..55..363G. doi :10.1103/PhysRevLett.55.363. PMID  10032331.
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13. Véase, por ejemplo, el artículo de revisión de Berges, Tetradis y Wetterich (2002) en Lecturas adicionales.
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30. Lauscher, Oliver; Reuters, Martín (2005). "Estructura fractal del espacio-tiempo en gravedad asintóticamente segura". Revista de Física de Altas Energías . 2005 (10): 050. arXiv : hep-th/0508202 . Código Bib : 2005JHEP...10..050L. doi :10.1088/1126-6708/2005/10/050. S2CID  14396108.
31. Para obtener una reseña, consulte Lecturas adicionales: Reuters; Saueressig (2012)
32. Ver el artículo principal Aplicaciones físicas de la gravedad asintóticamente segura y las referencias allí contenidas.
33. Donoghue, John F. (11 de marzo de 2020). "Una crítica del programa de seguridad asintótica". Fronteras en Física . 8 : 56. arXiv : 1911.02967 . Código Bib : 2020FrP.....8...56D. doi : 10.3389/fphy.2020.00056 . ISSN  2296-424X. S2CID  207847938.
34. Asrat, Meseret (2018). "Comentarios sobre la seguridad asintótica en teorías de calibre supersimétricas N = 1 de cuatro dimensiones". arXiv : 1805.11543 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )

Lectura adicional

• Niedermaier, Max; Reuters, Martín (2006). "El escenario de seguridad asintótica en gravedad cuántica". Vivir Rev. Relativ . 9 (1): 5. Código Bib : 2006LRR.....9....5N. doi : 10.12942/lrr-2006-5 . PMC  5256001 . PMID  28179875.
• Percacci, Roberto (2009). "Seguridad asintótica". En Oriti, D. (ed.). Enfoques de la gravedad cuántica: hacia una nueva comprensión del espacio, el tiempo y la materia . Prensa de la Universidad de Cambridge . arXiv : 0709.3851 . Código Bib : 2007arXiv0709.3851P.
• Berges, Jürgen; Tetradis, Nicolás; Wetterich, Christof (2002). "Flujo de renormalización no perturbativo en teoría cuántica de campos y física estadística". Informes de Física . 363 (4–6): 223–386. arXiv : hep-ph/0005122 . Código Bib : 2002PhR...363..223B. doi :10.1016/S0370-1573(01)00098-9. S2CID  119033356.
• Reuters, Martín; Saueressig, Frank (2012). "Gravedad cuántica de Einstein". Nuevo J. Phys . 14 (5): 055022. arXiv : 1202.2274 . Código bibliográfico : 2012NJPh...14e5022R. doi :10.1088/1367-2630/14/5/055022. S2CID  119205964.
• Bonanno, Alfio; Saueressig, Frank (2017). "Cosmología asintóticamente segura: un informe de estado". Cuentas Rendus Physique . 18 (3–4): 254. arXiv : 1702.04137 . Código Bib : 2017CRPhy..18..254B. doi :10.1016/j.crhy.2017.02.002. S2CID  119045691.
• Litim, Daniel (2011). "Grupo de renormalización y escala de Planck". Transacciones filosóficas de la Royal Society A. 69 (1946): 2759–2778. arXiv : 1102.4624 . Código Bib : 2011RSPTA.369.2759L. doi :10.1098/rsta.2011.0103. PMID  21646277. S2CID  8888965.
• Nagy, Sándor (2012). "Conferencias sobre renormalización y seguridad asintótica". Anales de Física . 350 : 310–346. arXiv : 1211.4151 . Código Bib : 2014AnPhy.350..310N. doi :10.1016/j.aop.2014.07.027. S2CID  119183995.

Enlaces externos

• Preguntas frecuentes sobre seguridad asintótica: una colección de preguntas y respuestas sobre seguridad asintótica y una lista completa de referencias.
• Seguridad asintótica en la gravedad cuántica: un artículo de Scholarpedia sobre el mismo tema con más detalles sobre la acción gravitacional efectiva promedio.
• La teoría cuántica de campos: ¿efectiva o fundamental? – Una charla de Steven Weinberg en el CERN el 7 de julio de 2009.
• Seguridad Asintótica - 30 Años Después – Todas las charlas del taller realizado en el Perimeter Institute del 5 al 8 de noviembre de 2009.
• Cuatro rutas radicales hacia una teoría del todo: un artículo de Amanda Gefter sobre la gravedad cuántica, publicado en 2008 en New Scientist (Physics & Math).
• "Weinberg "Vivir con infinitos" - Conferencia Källén 2009". YouTube . Andrea Idini. 14 de enero de 2022.(De 1:11:28 a 1:18:10 en el video, Weinberg ofrece una breve discusión sobre la seguridad asintótica. Vea también la respuesta de Weinberg a la pregunta de Cecilia Jarlskog al final de la conferencia. La conferencia de Källén de 2009 se grabó en 13 de febrero de 2009.)