Conjuntos causales

Aproximación a la gravedad cuántica utilizando el espacio-tiempo discreto

El programa de conjuntos causales es una aproximación a la gravedad cuántica . Sus principios fundamentales son que el espacio-tiempo es fundamentalmente discreto (una colección de puntos de espacio-tiempo discretos, llamados elementos del conjunto causal) y que los eventos del espacio-tiempo están relacionados por un orden parcial . Este orden parcial tiene el significado físico de las relaciones de causalidad entre eventos espacio-temporales.

Historia

Durante algunas décadas después de la formulación de la Relatividad General, la actitud hacia la geometría lorentziana se dedicó principalmente a comprender sus implicaciones físicas y no se preocupó por cuestiones teóricas. ^[1] Sin embargo, Weyl y Lorentz proporcionaron los primeros intentos de utilizar la causalidad como punto de partida. ^[2] Alfred Robb en dos libros de 1914 y 1936 sugirió un marco axiomático donde la precedencia causal desempeñaba un papel crítico. ^[1] La primera propuesta explícita de cuantificar la estructura causal del espacio-tiempo es atribuida por S. Surya ^[1] a Kronheimer y Penrose , ^[3] quienes inventaron los espacios causales para admitir estructuras que pueden ser muy diferentes de una variedad . Los espacios causales se definen axiomáticamente, considerando no sólo la precedencia causal, sino también la precedencia cronológica.

El programa de conjuntos causales se basa en un teorema ^[4] de David Malament , ampliando resultados anteriores de EC Zeeman ^[5] y Hawking , King, McCarthy. ^{[6] [1]} El teorema de Malament establece que si hay un mapa biyectivo entre dos espacios-tiempos pasados ​​y futuros que distinguen y que preserva su estructura causal , entonces el mapa es un isomorfismo conforme . El factor conforme que queda indeterminado está relacionado con el volumen de regiones en el espacio-tiempo. Este factor de volumen se puede recuperar especificando un elemento de volumen para cada punto espacio-temporal. Luego se podría encontrar el volumen de una región del espacio-tiempo contando el número de puntos en esa región.

Los conjuntos causales fueron iniciados por Rafael Sorkin, quien sigue siendo el principal defensor del programa. Ha acuñado el lema "Orden + Número = Geometría" para caracterizar el argumento anterior. El programa proporciona una teoría en la que el espacio-tiempo es fundamentalmente discreto y al mismo tiempo conserva la invariancia local de Lorentz .

Definición

Un conjunto causal (o causet ) es un conjunto con una relación de orden parcial que es ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \preceq }$

• Reflexivo : Para todos , tenemos . ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle x\preceq x}$
• Antisimétrico : Para todos , tenemos e implica . ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x=y}$
• Transitivo : Para todo , tenemos e implica . ${\displaystyle x,y,z\in C}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq z}$ ${\displaystyle x\preceq z}$
• Localmente finito : para todo , tenemos un conjunto finito. ${\displaystyle x,z\in C}$ ${\displaystyle \{y\in C|x\preceq y\preceq z\}}$

Escribiremos si y . ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x\neq y}$

El conjunto representa el conjunto de eventos del espacio-tiempo y la relación de orden representa la relación causal entre eventos (ver estructura causal para la idea análoga en una variedad de Lorentz ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \preceq }$

Aunque esta definición utiliza la convención reflexiva, podríamos haber elegido la convención irreflexiva en la que la relación de orden es irreflexiva y asimétrica .

La relación causal de una variedad de Lorentz (sin curvas causales cerradas ) satisface las tres primeras condiciones. Es la condición de finitud local la que introduce la discreción del espacio-tiempo.

Comparación con el continuo

Dado un conjunto causal, podemos preguntarnos si puede incluirse en una variedad de Lorentz . Una incrustación sería un mapa que toma elementos del conjunto causal en puntos de la variedad de modo que la relación de orden del conjunto causal coincida con el ordenamiento causal de la variedad. Sin embargo, se necesita otro criterio antes de que la incrustación sea adecuada. Si, en promedio, el número de elementos del conjunto causal mapeados en una región de la variedad es proporcional al volumen de la región, entonces se dice que la incrustación es fiel . En este caso podemos considerar que el conjunto causal es "tipo múltiple".

Una conjetura central del programa de conjuntos causales, llamada Hauptvermutung ('conjetura fundamental'), es que el mismo conjunto causal no puede integrarse fielmente en dos espacio-tiempos que no sean similares a gran escala.

Es difícil definir esta conjetura precisamente porque es difícil decidir cuándo dos espaciotiempos son "similares a gran escala". Modelar el espacio-tiempo como un conjunto causal requeriría que restringiéramos la atención a aquellos conjuntos causales que son "tipo múltiples". Dado un conjunto causal, ésta es una propiedad difícil de determinar.

Aspersión

Un gráfico de 1000 puntos esparcidos en 1+1 dimensiones.

La dificultad de determinar si un conjunto causal puede incluirse en una variedad puede abordarse desde la otra dirección. Podemos crear un conjunto causal esparciendo puntos en una variedad de Lorentz. Al esparcir puntos en proporción al volumen de las regiones del espacio-tiempo y utilizar las relaciones de orden causal en la variedad para inducir relaciones de orden entre los puntos esparcidos, podemos producir un conjunto causal que (por construcción) puede integrarse fielmente en la variedad.

Para mantener la invariancia de Lorentz, esta distribución de puntos debe realizarse aleatoriamente mediante un proceso de Poisson . Por tanto, la probabilidad de esparcir puntos en una región de volumen es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle P(n)={\frac {(\rho V)^{n}e^{-\rho V}}{n!}}}$

¿Dónde está la densidad de la aspersión? ${\displaystyle \rho }$

Asperjar puntos como una red regular no mantendría el número de puntos proporcional al volumen de la región.

Geometría

Algunas construcciones geométricas en variedades se trasladan a conjuntos causales. Al definirlos debemos recordar que debemos confiar únicamente en el conjunto causal en sí, no en ningún espacio-tiempo de fondo en el que pueda estar incrustado. Para obtener una descripción general de estas construcciones, consulte. ^[7]

Geodésicas

Un gráfico de geodésicas entre dos puntos en un conjunto causal de 180 puntos creado mediante dispersión en dimensiones 1+1

Un vínculo en un conjunto causal es un par de elementos tales que pero sin tal que . ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle z\in C}$ ${\displaystyle x\prec z\prec y}$

Una cadena es una secuencia de elementos tal que para . La longitud de una cadena es . Si todos los elementos de la cadena forman un eslabón, entonces la cadena se llama camino . ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i},x_{i+1}}$

Podemos usar esto para definir la noción de una geodésica entre dos elementos de un conjunto causal, siempre que sean comparables en orden, es decir, causalmente conectados (físicamente, esto significa que son similares al tiempo). Una geodésica entre dos elementos es una cadena que consta únicamente de eslabones tales que ${\displaystyle x\preceq y\in C}$

1. ${\displaystyle x_{0}=x}$y ${\displaystyle x_{n}=y}$
2. La longitud de la cadena, , es máxima en todas las cadenas desde hasta . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En general puede haber más de una geodésica entre dos elementos comparables.

Myrheim ^[8] sugirió por primera vez que la longitud de dicha geodésica debería ser directamente proporcional al tiempo adecuado a lo largo de una geodésica temporal que une los dos puntos del espacio-tiempo. Se han realizado pruebas de esta conjetura utilizando conjuntos causales generados a partir de aspersiones en espacios-tiempos planos. Se ha demostrado que la proporcionalidad se cumple y se conjetura que también se cumple para aspersiones en espacios-tiempos curvos.

Estimadores de dimensiones

Se ha trabajado mucho para estimar la dimensión múltiple de un conjunto causal. Se trata de algoritmos que utilizan el conjunto causal con el objetivo de dar la dimensión de la variedad en la que se puede incrustar fielmente. Los algoritmos desarrollados hasta ahora se basan en encontrar la dimensión de un espacio-tiempo de Minkowski en el que se pueda incrustar fielmente el conjunto causal.

• Dimensión de Myrheim-Meyer

Este enfoque se basa en estimar el número de cadenas de longitud presentes en un espacio-tiempo de Minkowski de dimensiones reducidas. Contar el número de cadenas de longitud en el conjunto causal permite realizar una estimación. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$

• Dimensión de escala de punto medio

Este enfoque se basa en la relación entre el tiempo propio entre dos puntos en el espacio-tiempo de Minkowski y el volumen del intervalo espacio-temporal entre ellos. Calculando la longitud máxima de la cadena (para estimar el tiempo adecuado) entre dos puntos y contando el número de elementos de modo que (para estimar el volumen del intervalo de espacio-tiempo) se pueda calcular la dimensión del espacio-tiempo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\prec z\prec y}$

Estos estimadores deberían dar la dimensión correcta para los conjuntos causales generados por aspersiones de alta densidad en el espaciotiempo bidimensional de Minkowski. Las pruebas en espacios-tiempo conformemente planos ^[9] han demostrado que estos dos métodos son precisos. ${\displaystyle d}$

Dinámica

Una tarea en curso es desarrollar la dinámica correcta para los conjuntos causales. Estos proporcionarían un conjunto de reglas que determinan qué conjuntos causales corresponden a espacios-tiempos físicamente realistas . El enfoque más popular para desarrollar la dinámica de conjuntos causales se basa en la versión de suma de historias de la mecánica cuántica . Este enfoque realizaría una "suma sobre conjuntos causales" haciendo crecer un conjunto causal un elemento a la vez. Los elementos se agregarían de acuerdo con las reglas de la mecánica cuántica y la interferencia garantizaría que un gran espacio-tiempo similar a una variedad dominara las contribuciones. El mejor modelo de dinámica en este momento es un modelo clásico en el que los elementos se suman según las probabilidades. Este modelo, debido a David Rideout y Rafael Sorkin , se conoce como dinámica clásica de crecimiento secuencial (CSG). ^[10] El modelo clásico de crecimiento secuencial es una forma de generar conjuntos causales agregando nuevos elementos uno tras otro. Se especifican reglas sobre cómo se agregan nuevos elementos y, dependiendo de los parámetros del modelo, resultan diferentes conjuntos causales.

En analogía con la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica, un enfoque para desarrollar una dinámica cuántica para conjuntos causales ha sido aplicar un principio de acción en el enfoque de suma sobre conjuntos causales. Sorkin ha propuesto un análogo discreto para el d'alembertiano , que a su vez puede usarse para definir el escalar de curvatura de Ricci y, por tanto, la acción de Benincasa-Dowker sobre un conjunto causal. ^{[11] [12]} Las simulaciones de Montecarlo han proporcionado evidencia de una fase continua en 2D utilizando la acción Benincasa-Dowker. ^[13]

Ver también

• Triangulación dinámica causal (CDT)
• estructura causal
• Relatividad general
• teoría del orden

Referencias

1. Surya, S. El enfoque del conjunto causal de la gravedad cuántica. Living Rev Relativ 22, 5 (2019), p. 7-9. https://doi.org/10.1007/s41114-019-0023-1
2. Bell JL, Korté H (2016) Hermann Weyl . En: Zalta EN (ed) La enciclopedia de filosofía de Stanford, invierno de 2016 ed. Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford [1]
3. Kronheimer E, Penrose R (1967) Sobre la estructura de los espacios causales . Proc Camb Phil Soc 63:481
4. Malament, David B. (julio de 1977). "La clase de curvas continuas en forma de tiempo determina la topología del espacio-tiempo" (PDF) . Revista de Física Matemática . 18 (7): 1399-1404. Código bibliográfico : 1977JMP....18.1399M. doi : 10.1063/1.523436.
5. EC Zeeman, La causalidad implica el grupo de Lorentz , J. Math. Física. 5: 490-493.
6. Hawking S, King A, McCarthy P (1976) Una nueva topología para el espacio-tiempo curvo que incorpora las estructuras causal, diferencial y conforme. J Matemáticas Física 17:174–181.
7. Brightwell, Graham; Gregory, Ruth (21 de enero de 1991). "Estructura del espacio-tiempo discreto aleatorio". Cartas de revisión física . 66 (3): 260–263. Código bibliográfico : 1991PhRvL..66..260B. doi : 10.1103/PhysRevLett.66.260. hdl : 2060/19900019113 . PMID  10043761. S2CID  32109929.
8. J. Myrheim, preimpresión del CERN TH-2538 (1978)
9. Reid, David D. (30 de enero de 2003). "Dimensión múltiple de un conjunto causal: pruebas en espacios-tiempos conformemente planos". Revisión física D. 67 (2): 024034. arXiv : gr-qc/0207103 . Código bibliográfico : 2003PhRvD..67b4034R. doi : 10.1103/PhysRevD.67.024034. S2CID  12748458.
10. Salida, DP; Sorkin, RD (2000). "Dinámica clásica de crecimiento secuencial para conjuntos causales". Revisión física D. 61 (2): 024002. arXiv : gr-qc/9904062 . Código bibliográfico : 1999PhRvD..61b4002R. doi : 10.1103/PhysRevD.61.024002. S2CID  14652530.
11. Sorkin, DP (20 de marzo de 2007). "¿La localidad falla en escalas de longitud intermedias?". arXiv : gr-qc/0703099 .
12. Benincasa, DMT; Dowker, F. (mayo de 2010). "La curvatura escalar de un conjunto causal". Física. Rev. Lett . 104 (18): 181301. arXiv : 1001.2725 . Código bibliográfico : 2010PhRvL.104r1301B. doi : 10.1103/PhysRevLett.104.181301. PMID  20482164. S2CID  4560654.
13. Surya, S. (julio de 2012). "Evidencia del continuo en la gravedad cuántica del conjunto causal 2D". Gravedad clásica y cuántica . 29 (13): 132001. arXiv : 1110.6244 . Código Bib : 2012CQGra..29m2001S. doi :10.1088/0264-9381/29/13/132001. S2CID  118376808.

Otras lecturas

Introducción y reseñas

• L. Bombelli. Página de referencia del conjunto causal (descripción general)
• L. Bombelli. Conjuntos causales: descripción general y estado , charla pronunciada en Quantum Gravity in the Americas III, 24 al 26 de agosto de 2006; (Introducción, descripción general)
• F. Dowker , Conjuntos causales y la estructura profunda del espacio-tiempo , arXiv:gr-qc/0508109; (Introducción)
• F. Dowker , Conjuntos causales como espacio-tiempo discreto , Física Contemporánea, vol. 47, Número 1, pág. 1-9; (Resumen, Introducción)
• F. Dowker, Introducción a los conjuntos causales y su fenomenología , Gen Relativ Gravit (2013) 45:1651–1667 doi:10.1007/s10714-013-1569-y (Resumen de investigaciones recientes)
• J. Henson, El enfoque del conjunto causal de la gravedad cuántica , arXiv:gr-qc/0601121; (Introducción, descripción general)
• DD Reid; Introducción a los conjuntos causales: una visión alternativa de la estructura del espacio-tiempo ; Revista Canadiense de Física 79, 1-16 (2001); arXiv:gr-qc/9909075; (General);
• RD Sorkin ; Glosario y bibliografía del conjunto causal (20 de noviembre de 2001); (Glosario y bibliografía);
• RD Sorkin , Conjuntos Causales: Gravedad Discreta (Notas para la Escuela de Verano de Valdivia) , en Actas de la Escuela de Verano de Valdivia, editado por A. Gomberoff y D. Marolf; arXiv:gr-qc/0309009; (Introducción, Glosario)

Cimientos

• L. Bombelli, J. Lee, D. Meyer, RD Sorkin , El espacio-tiempo como conjunto causal , Phys. Rev. Lett. 59:521-524 (1987); (Introducción, Fundamentos)
• C. Moore, comentario sobre "El espacio-tiempo como conjunto causal" , Phys. Rev. Lett. 60, 655 (1988); (Cimientos)
• L. Bombelli, J. Lee, D. Meyer, RD Sorkin , Bombelli et al. Responder , Phys. Rev. Lett. 60, 656 (1988); (Cimientos)
• A. Einstein , Carta a HS Joachim , 14 de agosto de 1954; Ítem ​​13-453 citado en J. Stachel, "Einstein and the Quantum: Fifty Years of Struggle", en From Quarks to Quasars, Philosophical Problems of Modern Physics, editado por RG Colodny (U. Pittsburgh Press, 1986), páginas 380- 381; (Histórico)
• D. Finkelstein , Código espacio-temporal , Phys. Rev. 184:1261 (1969); (Cimientos)
• D. Finkelstein , Redes causales "superconductoras" , Int. J. Th. Phys. 27:473 (1988); (Cimientos)
• G. Hemion, Una teoría cuántica del espacio y el tiempo ; Encontró. Física. 10 (1980), pág. 819 (Propuesta similar)
• J. Myrheim, Geometría estadística , preimpresión del CERN TH-2538 (1978); (Fundamentos, Histórico)
• B. Riemann , Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen , Las obras completas de B. Riemann (Dover NY 1953); (Histórico)
• RD Sorkin ; Un sustituto finitario de la topología continua , Int. J. Theor. Física. 30 7: 923-947 (1991); (Fundacional)
• RD Sorkin , ¿Un orden discreto subyace al espacio-tiempo y su métrica? , Actas de la Tercera Conferencia Canadiense sobre Relatividad General y Astrofísica Relativista, (Victoria, Canadá, mayo de 1989), editado por A. Coley, F. Cooperstock, B.Tupper, págs. 82–86, (World Scientific, 1990) ; (Introducción)
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• RD Sorkin , Espacio-tiempo y conjuntos causales Archivado el 30 de septiembre de 2013 en Wayback Machine , Relatividad y Gravitación: Clásica y Cuántica, (Actas de la Conferencia SILARG VII, celebrada en Cocoyoc, México, diciembre de 1990), páginas 150-173, ( World Scientific, Singapur, 1991), JC D'Olivo, E. Nahmad-Achar, M.Rosenbaum, MP Ryan, LF Urrutia y F. Zertuche (eds.); (Introducción)
• RD Sorkin , Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity , Charla pronunciada en la conferencia titulada "Direcciones en la Relatividad General", celebrada en College Park, Maryland, mayo de 1993, Int. J. Th. Física. 36: 2759–2781 (1997); arXiv:gr-qc/9706002; (Filosófico, Introducción)
• G.'t Hooft , Gravedad cuántica: un problema fundamental y algunas ideas radicales , Recent Developments in Gravitation (Actas del Instituto de Verano Cargese de 1978) editado por M. Levy y S. Deser (Plenum, 1979); (Introducción, Fundamentos, Histórico)
• EC Zeeman , La causalidad implica el grupo de Lorentz , J. Math. Física. 5: 490-493; (Histórico, Fundaciones)

Tesis doctorales

• L. Bombelli, Espacio-tiempo como conjunto causal , tesis doctoral ( Universidad de Syracuse , 1987); (Introducción, Cinemática)
• AR Daughton; La recuperación de la localidad para conjuntos causales y temas relacionados ; Tesis doctoral ( Universidad de Syracuse , 1993); (Localidad)
• D. Dou, Conjuntos causales, una posible interpretación de la entropía del agujero negro y temas relacionados ; Tesis doctoral ( SISSA , Trieste, 1999); arXiv:gr-qc/0106024 (Entropía de agujero negro)
• S. Johnston, Campos cuánticos en conjuntos causales , tesis doctoral ( Imperial College London , 2010) arXiv:1010.5514 (Teoría de campos cuánticos)
• DA Meyer, La dimensión de los conjuntos causales , tesis doctoral ( MIT , 1988); (Teoría de las dimensiones)
• L. Philpott, Fenomenología del conjunto causal , tesis doctoral ( Imperial College London , 2010); arXiv:1009.1593 (Desvíos, Fenomenología)
• Salida de DP; Dinámica de Conjuntos Causales ; Tesis doctoral ( Universidad de Syracuse 2001); arXiv:gr-qc/0212064; (Cosmología, Dinámica)
• RB Salgado; Hacia una dinámica cuántica para conjuntos causales ; Tesis doctoral ( Universidad de Syracuse 2008); (Teoría de campos escalares, Teoría de la medida cuántica)
• R. Sverdlov; Teoría cuántica de campos y gravedad en conjuntos causales ; Tesis doctoral ( Universidad de Michigan 2009); arXiv: 0905.2263 (Teoría cuántica de campos y gravedad)

Negociaciones

• Joe Henson, Una invitación a los conjuntos causales ; Charla pronunciada en Perimeter Institute , 14 de septiembre de 2010, Waterloo ON (Introducción)
• F. Dowker , Fenomenología del conjunto causal ; Charla pronunciada en Loops 05, 10 a 14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Swerves)
• S. Johnston; Propagadores de partículas del espacio-tiempo discreto ; Charla impartida en Perimeter Institute el 14 de abril de 2008 (Teoría cuántica de campos)
• DA Meyer; Charla impartida en el taller de Santa Fe 1997: Conjuntos causales y diagramas de Feynman ; Presentado en "Nuevas direcciones en gravedad cuántica simplicial" del 28 de julio al 8 de agosto de 1997; (Diagramas de Feynman, Dinámica Cuántica)
• Salida de DP; Hipersuperficies espaciales en cosmología de conjuntos causales ; Charla pronunciada en Loops 05, 10-14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Hipersuperficies espaciales, Dinámica)
• J. Scargle, Prueba de teorías de la gravedad cuántica con GLAST ; Charla dada en el Instituto de Física de Partículas de Santa Cruz, 24 de abril de 2007. (Invariancia de Lorentz, Fenomenología)
• RD Sorkin ; Dos charlas impartidas en el taller de Santa Fe de 1997: Una revisión del enfoque del conjunto causal para la gravedad cuántica y ' ; Presentado en "Nuevas direcciones en gravedad cuántica simplicial" del 28 de julio al 8 de agosto de 1997
• RD Sorkin ; ¿La gravedad cuántica da lugar a una no localidad observable? ; Charla pronunciada en Instituto Perimetral 17/01/2007 (d'Alembertian, Localidad)
• RD Sorkin , Algunas ideas sobre la gravedad cuántica derivadas del trabajo sobre conjuntos causales ; Charla pronunciada en Loops 05, 10 a 14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (descripción general)
• RD Sorkin ¿Es un orden causal de pasado finito la base interna del espacio-tiempo? Charla impartida en Instituto Perimetral 09/07/2005
• S. Surya, Recuperando la topología del espacio-tiempo a partir de un causet ; Charla pronunciada en Loops 05, 10 a 14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Topología)
• R. Sverdlov; Introducción de campos bosónicos en la teoría de conjuntos causales ; Charla impartida en Perimeter Institute 19/02/2008 (Teoría cuántica de campos)

multiplicidad

• L. Bombelli, DA Meyer; El origen de la geometría lorentziana ; Física. Letón. 141:226-228 (1989); (Multiplicidad)
• L. Bombelli, RD Sorkin , ¿Cuándo se acercan dos métricas de Lorentz? , General Relativity and Gravitation, actas de la 12ª Conferencia Internacional sobre Relatividad General y Gravitación, celebrada del 2 al 8 de julio de 1989 en Boulder, Colorado, EE. UU., bajo los auspicios de la Sociedad Internacional sobre Relatividad General y Gravitación, 1989, pág. 220; (Cercanía de las variedades de Lorentz)
• L. Bombelli, Conjuntos causales y la cercanía de las variedades de Lorentz , Relatividad en general: actas de la Relativity Meeting "93, celebrada del 7 al 10 de septiembre de 1993, en Salas, Asturias, España. Editado por J. Diaz Alonso, M. Lorente Páramo ISBN 2-86332-168-4 Publicado por Editions Frontieres, 91192 Gif-sur-Yvette Cedex, Francia, 1994, p. 
• L. Bombelli, Geometría estadística de Lorentz y cercanía de las variedades de Lorentz , J. Math. Phys.41:6944-6958 (2000); arXiv:gr-qc/0002053 (Cercanía de las variedades lorentzianas, Manifoldness)
• AR Daughton, Una investigación del caso simétrico de cuándo los conjuntos causales pueden incrustarse en variedades , Clase. Quantum Grav.15(11):3427-3434 (noviembre de 1998) (Multiplicidad)
• J. Henson, Construcción de un intervalo del espacio de Minkowski a partir de un conjunto causal , Clase. Gravedad cuántica. 23 (2006) L29-L35; arXiv:gr-qc/0601069; (Límite continuo, Aspersión)
• S. Major, DP Rideout, S. Surya, Sobre la recuperación de la topología continua de un conjunto causal , J.Math.Phys.48:032501, 2007; arXiv:gr-qc/0604124 (Topología continua)
• S. Major, DP Rideout, S. Surya; Hipersuperficies espaciales en cosmología de conjuntos causales ; Clase. Gravedad cuántica. 23 (2006) 4743-4752; arXiv:gr-qc/0506133v2; (Observables, topología continua)
• S. Major, DP Rideout, S. Surya, Homología estable como indicador de variedad en la teoría de conjuntos causales , arXiv:0902.0434 (Topología y homología del continuo)
• DA Meyer, La dimensión de los conjuntos causales I: Dimensión de Minkowski , preimpresión de la Universidad de Syracuse (1988); (Teoría de las dimensiones)
• DA Meyer, La dimensión de los conjuntos causales II: dimensión de Hausdorff , preimpresión de la Universidad de Syracuse (1988); (Teoría de las dimensiones)
• DA Meyer, La contención esférica y la dimensión Minkowski de órdenes parciales , Orden 10: 227-237 (1993); (Teoría de las dimensiones)
• J. Noldus, Una nueva topología en el espacio de métricas de Lorentz en una variedad fija , Clase. Cuant. Grav 19: 6075-6107 (2002); (Cercanía de las variedades de Lorentz)
• J. Noldus, Una noción de distancia de Lorentzian Gromov-Hausdorff , Clase. Gravedad cuántica. 21, 839-850, (2004); (Cercanía de las variedades de Lorentz)
• DD Reid, Dimensión múltiple de un conjunto causal: pruebas en espacios-tiempos conformemente planos , Phys. Rev. D67 (2003) 024034; arXiv:gr-qc/0207103v2 (Teoría de las dimensiones)
• S. Surya, Topología de conjuntos causales ; arXiv:0712.1648

Geometría

• E. Bachmat; Espacio-tiempo discreto y sus aplicaciones ; arXiv:gr-qc/0702140; (Geodésicas, Anticadenas)
• G. Brightwell, R. Gregorio; La estructura del espacio-tiempo discreto aleatorio ; Física. Rev. Lett. 66:260-263 (1991); (Longitud geodésica)
• GW Gibbons , SN Solodukhin; La geometría de los pequeños diamantes causales arXiv:hep-th/0703098 (intervalos causales)
• SW Hawking , AR King, PJ McCarthy; Una nueva topología para el espacio-tiempo curvo que incorpora las estructuras causal, diferencial y conforme ; J. Matemáticas. Física. 17 2:174-181 (1976); (Geometría, Estructura Causal )
• S. Él, DP Rideout; Un conjunto causal de agujero negro ; arXiv:0811.4235 (Estructura causal del espacio-tiempo de Schwarzschild, Sprinklings)
• R. Ilie, GB Thompson, DD Reid; Un estudio numérico de la correspondencia entre caminos en un conjunto causal y geodésicas en el continuo ; Clase 2006. Gravedad cuántica. 23 3275-3285 arXiv:gr-qc/0512073 (longitud geodésica)
• AV Levichev; Prescribir la geometría conforme de una variedad de Lorentz mediante su estructura causal ; Matemáticas soviéticas. Dokl. 35:452-455, (1987); (Geometría, Estructura Causal )
• Malament, David B. (julio de 1977). "La clase de curvas continuas en forma de tiempo determina la topología del espacio-tiempo". Revista de Física Matemática . 18 (7): 1399-1404. Código bibliográfico : 1977JMP....18.1399M. doi : 10.1063/1.523436.
• DP Rideout, P. Wallden; Distancia espacial del orden causal discreto ; arXiv:0810.1768 (Distancias espaciales)

Predicción constante cosmológica

• M. Ahmed, S. Dodelson, PB Greene, RD Sorkin , lambda siempre presente ; Física. Rev. D69, 103523, (2004) arXiv:astro-ph/0209274v1; (Constante cosmológica)
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enlaces externos

• El enfoque de conjuntos causales para la gravedad cuántica: un artículo de revisión de Joe Henson sobre conjuntos causales
• El espacio-tiempo como conjunto causal: uno de los primeros artículos de Luca Bombelli, Joohan Lee, David Meyer y Rafael D. Sorkin
• Geometría a partir del orden: conjuntos causales - artículo no técnico de Rafael D. Sorkin en Einstein Online
• Tema de enfoque: El enfoque del conjunto causal de la gravedad cuántica Classical and Quantum Gravity vol. 35, 2018