Separatriz (matemáticas)

En matemáticas , una separatriz es el límite que separa dos modos de comportamiento en una ecuación diferencial . ^[1]

Ejemplos

Péndulo sencillo

Considere la ecuación diferencial que describe el movimiento de un péndulo simple :

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

donde denota la longitud del péndulo, la aceleración gravitacional y el ángulo entre el péndulo y la vertical hacia abajo. En este sistema existe una cantidad conservada H (el hamiltoniano ), que viene dada por ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

Con esto definido, se puede trazar una curva de H constante en el espacio de fase del sistema. El espacio de fase es un gráfico a lo largo del eje horizontal y en el eje vertical; vea la miniatura a la derecha. El tipo de curva resultante depende del valor de H. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

El espacio de fases del péndulo simple.

Si entonces no existe ninguna curva (porque debe ser imaginaria ). ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$

Entonces , la curva será una curva cerrada simple que es casi circular para H pequeña y adquiere forma de "ojo" cuando H se acerca al límite superior. Estas curvas corresponden al péndulo que oscila periódicamente de un lado a otro. ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$

Si entonces la curva es abierta, esto corresponde a que el péndulo oscila constantemente en círculos completos. ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}<H}$

En este sistema la separatriz es la curva que corresponde a . Separa (de ahí el nombre) el espacio de fase en dos áreas distintas, cada una con un tipo distinto de movimiento. La región dentro de la separatriz tiene todas esas curvas del espacio de fase que corresponden al péndulo que oscila hacia adelante y hacia atrás, mientras que la región fuera de la separatriz tiene todas las curvas del espacio de fase que corresponden al péndulo que gira continuamente a través de círculos planos verticales. ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$

Modelo FitzHugh-Nagumo

Cuando , podemos ver fácilmente la separatriz y las dos cuencas de atracción resolviendo las trayectorias hacia atrás en el tiempo. ${\displaystyle b=2,I_{ext}=3.5}$

En el modelo de FitzHugh-Nagumo , cuando la nula lineal atraviesa la nula cúbica en las ramas izquierda, media y derecha una vez cada una, el sistema tiene una separatriz. Las trayectorias a la izquierda de la separatriz convergen al equilibrio estable de la izquierda, y lo mismo ocurre con la derecha. La propia separatriz es el colector estable para el punto de silla en el medio. Los detalles se encuentran en la página.

La separatriz es claramente visible resolviendo numéricamente las trayectorias hacia atrás en el tiempo . Dado que al resolver las trayectorias hacia adelante en el tiempo, las trayectorias divergen de la separatriz, al resolver hacia atrás en el tiempo, las trayectorias convergen hacia la separatriz.

Referencias

1. Blanchard, Paul, Ecuaciones diferenciales , 4ª ed., 2012, Brooks/Cole, Boston, MA, pág. 469.

• Logan, J. David, Matemáticas Aplicadas , 3ª Ed., 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, Nueva Jersey, pág. sesenta y cinco.

enlaces externos

• Separatriz de MathWorld .