Supertraza

En la teoría de superálgebras , si A es una superálgebra conmutativa , V es un supermódulo A recto libre y T es un endomorfismo de V a sí mismo, entonces la supertraza de T , str( T ), se define mediante el siguiente diagrama de trazas :

Más concretamente, si escribimos T en forma de matriz de bloques después de la descomposición en subespacios pares e impares de la siguiente manera,

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}}$

entonces la supertraza

str( T ) = la traza ordinaria de T ₀₀ − la traza ordinaria de T ₁₁ .

Demostremos que la supertraza no depende de una base. Supongamos que e ₁ , ..., e _p son los vectores base pares y e _{p +1} , ..., e _{p + q} son los vectores base impares. Entonces, los componentes de T , que son elementos de A , se definen como

${\displaystyle T(\mathbf {e} _{j})=\mathbf {e} _{i}T_{j}^{i}.\,}$

La gradación de T ⁱ _j es la suma de las gradaciones de T , e _i , e _j mod 2.

Un cambio de base a e _1' , ..., e _p' , e _{( p +1)'} , ..., e _{( p + q )'} viene dado por la supermatriz

${\displaystyle \mathbf {e} _{i'}=\mathbf {e} _{i}A_{i'}^{i}}$

y la supermatriz inversa

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i'}(A^{-1})_{i}^{i'},\,}$

donde por supuesto, AA ⁻¹ = A ⁻¹ A = 1 (la identidad).

Ahora podemos comprobar explícitamente que la supertraza es independiente de la base. En el caso en que T sea par, tenemos

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(|i'|+|j|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^{i'}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

En el caso donde T es impar, tenemos

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(1+|j|+|k|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

La traza ordinaria no es independiente de la base, por lo que la traza apropiada para usar en la configuración graduada Z ₂ es la supertraza.

La supertraza satisface la propiedad

${\displaystyle \operatorname {str} (T_{1}T_{2})=(-1)^{|T_{1}||T_{2}|}\operatorname {str} (T_{2}T_{1})}$

para todo T ₁ , T ₂ en Fin( V ). En particular, la supertraza de un superconmutador es cero.

De hecho, se puede definir una supertraza de manera más general para cualquier superálgebra asociativa E sobre una superálgebra conmutativa A como una función lineal tr: E -> A que se desvanece en los superconmutadores. ^[1] Una supertraza de este tipo no está definida de manera única; siempre puede al menos ser modificada por la multiplicación por un elemento de A.

Aplicaciones de la física

En las teorías de campos cuánticos supersimétricos, en las que la integral de acción es invariante bajo un conjunto de transformaciones de simetría (conocidas como transformaciones de supersimetría) cuyas álgebras son superálgebras, la supertraza tiene una variedad de aplicaciones. En tal contexto, la supertraza de la matriz de masa para la teoría puede escribirse como una suma sobre los espines de las trazas de las matrices de masa para partículas de diferente espín: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {str} [M^{2}]=\sum _{s}(-1)^{2s}(2s+1)\operatorname {tr} [m_{s}^{2}].}$

En teorías libres de anomalías, donde sólo aparecen términos renormalizables en el superpotencial, se puede demostrar que la supertraza anterior desaparece, incluso cuando la supersimetría se rompe espontáneamente.

La contribución al potencial efectivo que surge en un bucle (a veces denominado potencial de Coleman-Weinberg ^[3] ) también se puede escribir en términos de una supertraza. Si es la matriz de masas para una teoría dada, el potencial de un bucle se puede escribir como ${\displaystyle M}$

${\displaystyle V_{eff}^{1-loop}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {str} {\bigg [}M^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {tr} {\bigg [}m_{B}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{B}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}-m_{F}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{F}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}}$

donde y son las respectivas matrices de masa a nivel de árbol para los grados de libertad bosónicos y fermiónicos separados en la teoría y es una escala de corte. ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{F}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Véase también

• Bereziniano

Referencias

1. N. Berline, E. Getzler, M. Vergne, Heat Kernels y Dirac Operadores , Springer-Verlag, 1992, ISBN  0-387-53340-0 , p. 39.
2. Martin, Stephen P. (1998). "Una introducción a la supersimetría". Perspectivas sobre la supersimetría. World Scientific. págs. 1–98. arXiv : hep-ph/9709356 . doi :10.1142/9789812839657_0001. ISBN . 978-981-02-3553-6. ISSN  1793-1339.
3. Coleman, Sidney; Weinberg, Erick (15 de marzo de 1973). "Correcciones radiativas como origen de la ruptura espontánea de la simetría". Physical Review D . 7 (6). American Physical Society (APS): 1888–1910. arXiv : hep-th/0507214 . doi :10.1103/physrevd.7.1888. ISSN  0556-2821.