Arco meridiano

Distancia a lo largo de una porción de un meridiano, para uso en geodesia

En geodesia y navegación , un arco meridiano es la curva entre dos puntos de la superficie terrestre que tienen la misma longitud . El término puede referirse tanto a un segmento del meridiano como a su longitud .

El propósito de medir los arcos meridianos es determinar una figura de la Tierra . Se pueden utilizar una o más mediciones de arcos meridianos para inferir la forma del elipsoide de referencia que mejor se aproxima al geoide en la región de las mediciones. Las mediciones de arcos meridianos en varias latitudes a lo largo de muchos meridianos alrededor del mundo se pueden combinar para aproximarse a un elipsoide geocéntrico destinado a adaptarse a todo el mundo.

Las primeras determinaciones del tamaño de una Tierra esférica requerían un único arco. Los trabajos de topografía precisos que comenzaron en el siglo XIX requerían varias mediciones de arco en la región en la que se iba a realizar la topografía, lo que dio lugar a una proliferación de elipsoides de referencia en todo el mundo. Las determinaciones más recientes utilizan mediciones astrogeodésicas y métodos de geodesia satelital para determinar elipsoides de referencia, especialmente los elipsoides geocéntricos que ahora se utilizan para sistemas de coordenadas globales como WGS 84 (ver expresiones numéricas).

Historia de la medición

Las primeras estimaciones del tamaño de la Tierra se registraron en Grecia en el siglo IV a. C., y por parte de los eruditos de la Casa de la Sabiduría del califa en Bagdad en el siglo IX. El primer valor realista fue calculado por el científico alejandrino Eratóstenes alrededor del 240 a. C. Estimó que el meridiano tiene una longitud de 252.000 estadios , con un error en el valor real de entre el -2,4% y el +0,8% (asumiendo un valor para el estadio entre 155 y 160 metros). ^[1] Eratóstenes describió su técnica en un libro titulado Sobre la medida de la Tierra , que no se ha conservado. Un método similar fue utilizado por Posidonio unos 150 años después, y se calcularon resultados ligeramente mejores en 827 mediante el método de medición del arco , ^[2] atribuido al califa Al-Ma'mun . ^{[ cita requerida ]}

Tierra elipsoidal

La literatura antigua utiliza el término esferoide oblato para describir una esfera "aplastada en los polos". La literatura moderna utiliza el término elipsoide de revolución en lugar de esferoide , aunque las palabras calificativas "de revolución" suelen omitirse. Un elipsoide que no es un elipsoide de revolución se denomina elipsoide triaxial. Esferoide y elipsoide se utilizan indistintamente en este artículo, con oblato implícito si no se indica.

Siglos XVII y XVIII

Aunque se sabía desde la antigüedad clásica que la Tierra era esférica , en el siglo XVII se acumulaban pruebas de que no era una esfera perfecta. En 1672, Jean Richer encontró la primera evidencia de que la gravedad no era constante sobre la Tierra (como lo sería si la Tierra fuera una esfera); llevó un reloj de péndulo a Cayena , en la Guayana Francesa , y descubrió que perdía 2+1 ⁄ 2 minutos por día en comparación con su tasa en París . ^{[3] [4]} Esto indicó que la aceleración de la gravedad era menor en Cayena que en París. Los gravímetros de péndulo comenzaron a usarse en viajes a partes remotas del mundo y poco a poco se descubrió que la gravedad aumenta suavemente con el aumento de la latitud , siendo la aceleración gravitacional aproximadamente un 0,5% mayor en los polos geográficos que en el Ecuador .

En 1687, Isaac Newton había publicado en los Principia como prueba que la Tierra era un esferoide achatado de aplanamiento igual a ⁠1/230⁠ . ^[5] Esto fue disputado por algunos, pero no todos, los científicos franceses. Un arco meridiano de Jean Picard fue extendido a un arco más largo por Giovanni Domenico Cassini y su hijo Jacques Cassini durante el período 1684-1718. ^[6] El arco fue medido con al menos tres determinaciones de latitud, por lo que pudieron deducir curvaturas medias para las mitades norte y sur del arco, lo que permitió una determinación de la forma general. Los resultados indicaron que la Tierra era un esferoide alargado (con un radio ecuatorial menor que el radio polar). Para resolver el problema, la Academia Francesa de Ciencias (1735) emprendió expediciones a Perú ( Bouguer , Louis Godin , de La Condamine , Antonio de Ulloa , Jorge Juan ) y a Laponia ( Maupertuis , Clairaut , Camus , Le Monnier , Abbe Outhier , Anders Celsius ). Las mediciones resultantes en latitudes ecuatoriales y polares confirmaron que la Tierra se modelaba mejor mediante un esferoide achatado, lo que apoyaba a Newton. ^[6] Sin embargo, en 1743, el teorema de Clairaut había suplantado por completo el enfoque de Newton.

A finales de siglo, Jean Baptiste Joseph Delambre había vuelto a medir y ampliado el arco francés desde Dunkerque hasta el mar Mediterráneo (el arco meridiano de Delambre y Méchain ). Estaba dividido en cinco partes mediante cuatro determinaciones intermedias de latitud. Al combinar las mediciones junto con las del arco de Perú, se determinaron los parámetros de forma elipsoide y se calculó la distancia entre el Ecuador y el polo a lo largo del meridiano de París como5 130 762  toesas según lo especificado por la barra de toesas estándar en París. Definiendo esta distancia exactamente como10.000.000 m llevaron a la construcción de una nueva  barra de metro estándar como0,513 0762  toesas. ^{[6] : 22}

Siglo XIX

En el siglo XIX, muchos astrónomos y geodestas se dedicaron a estudios detallados de la curvatura de la Tierra a lo largo de diferentes arcos meridianos. Los análisis dieron como resultado una gran cantidad de elipsoides modelo, como Plessis 1817, Airy 1830, Bessel 1841 , Everest 1830 y Clarke 1866. [ ^{7] En el apartado} Elipsoide terrestre se ofrece una lista completa de elipsoides .

La milla náutica

Históricamente, una milla náutica se definía como la longitud de un minuto de arco a lo largo de un meridiano de una Tierra esférica. Un modelo elipsoide conduce a una variación de la milla náutica con la latitud. Esto se resolvió definiendo la milla náutica como exactamente 1.852 metros. Sin embargo, para todos los efectos prácticos, las distancias se miden a partir de la escala de latitud de las cartas. Como dice la Royal Yachting Association en su manual para patrones de navegación diurna : "1 (minuto) de latitud = 1 milla náutica", seguido de "Para la mayoría de los fines prácticos, la distancia se mide a partir de la escala de latitud, asumiendo que un minuto de latitud equivale a una milla náutica". ^[8]

Cálculo

En una esfera, la longitud del arco meridiano es simplemente la longitud del arco circular . En un elipsoide de revolución, para arcos meridianos cortos, su longitud se puede aproximar utilizando el radio de curvatura meridional de la Tierra y la formulación del arco circular. Para arcos más largos, la longitud se obtiene restando dos distancias meridianas , la distancia desde el ecuador hasta un punto en una latitud φ . Este es un problema importante en la teoría de las proyecciones cartográficas, en particular la proyección transversal de Mercator .

Los parámetros elipsoidales principales son a , b , f , pero en el trabajo teórico resulta útil definir parámetros adicionales, en particular la excentricidad , e , y el tercer aplanamiento, n . Sólo dos de estos parámetros son independientes y existen muchas relaciones entre ellos:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Definición

Se puede demostrar que el radio de curvatura del meridiano es igual a: ^{[9] [10]}

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},}$

La longitud de arco de un elemento infinitesimal del meridiano es dm = M ( φ ) dφ (con φ en radianes). Por lo tanto, la distancia del meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ es

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{aligned}}}$

La fórmula de la distancia es más simple cuando se escribe en términos de latitud paramétrica ,

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \,,}$

donde tan β = (1 − f )tan φ y e ′ ² = ⁠y ²/1 − y ²⁠ .

Aunque la latitud normalmente se limita al rango [− ⁠π/2⁠ , ⁠π/2⁠ ] , todas las fórmulas dadas aquí se aplican para medir la distancia alrededor de la elipse meridiana completa (incluido el antimeridiano). Por lo tanto, los rangos de φ , β y la latitud rectificadora μ no tienen restricciones.

Relación con las integrales elípticas

La integral anterior está relacionada con un caso especial de una integral elíptica incompleta de tercer tipo . En la notación del manual en línea del NIST ^[11] (Sección 19.2(ii)),

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

También puede escribirse en términos de integrales elípticas incompletas de segundo tipo (véase la Sección 19.6(iv) del manual del NIST).

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin {}^{\!2}\varphi }}}\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{aligned}}}$

El cálculo (con precisión arbitraria) de las integrales elípticas y las aproximaciones también se analizan en el manual del NIST. Estas funciones también se implementan en programas de álgebra computacional como Mathematica ^[12] y Maxima. ^[13]

Expansiones de la serie

La integral anterior puede expresarse como una serie truncada infinita desarrollando el integrando en una serie de Taylor, realizando las integrales resultantes término por término y expresando el resultado como una serie trigonométrica. En 1755, Leonhard Euler derivó una expansión en la tercera excentricidad al cuadrado. ^[14]

Expansiones en la excentricidad (mi)

Delambre en 1799 ^[15] derivó una expansión ampliamente utilizada en e ² ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{aligned}}}$

Richard Rapp ofrece una derivación detallada de este resultado. ^[16]

Expansiones en el tercer aplanamiento (norte)

Se pueden obtener series con convergencia considerablemente más rápida expandiéndolas en términos del tercer aplanamiento n en lugar de la excentricidad. Están relacionadas por

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

En 1837, Friedrich Bessel obtuvo una de esas series, ^{[17] que} Helmert simplificó , ^{[18] [19]}

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Porque n cambia de signo cuando a y b se intercambian, y porque el factor inicial ⁠1/2⁠ ( a + b ) es constante bajo este intercambio, la mitad de los términos en las expansiones de H _{2 k} se desvanecen.

La serie se puede expresar con a o b como factor inicial escribiendo, por ejemplo,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\,,}$

y expandiendo el resultado como una serie en n . Aunque esto da como resultado series que convergen más lentamente, dichas series se utilizan en la especificación para la proyección transversal de Mercator por parte de la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial ^[20] y el Servicio Geoespacial de Gran Bretaña ^[21] .

Serie en términos de la latitud paramétrica

En 1825, Bessel ^[22] derivó una expansión de la distancia del meridiano en términos de la latitud paramétrica β en relación con su trabajo sobre geodésicas .

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \right),}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Debido a que esta serie proporciona una expansión para la integral elíptica de segundo tipo, se puede utilizar para escribir la longitud del arco en términos de la latitud geodésica como

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}{\Biggl (}&B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots \\[-3mu]&\quad -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}{\Biggr )}.\end{aligned}}}$

Serie generalizada

Las series anteriores, hasta el octavo orden en excentricidad o el cuarto orden en tercer aplanamiento, proporcionan una precisión milimétrica. Con la ayuda de sistemas de álgebra simbólica, se pueden ampliar fácilmente hasta el sexto orden en tercer aplanamiento, lo que proporciona una precisión doble completa para aplicaciones terrestres.

Delambre ^[15] y Bessel ^[22] escribieron sus series de una forma que permite generalizarlas a un orden arbitrario. Los coeficientes de la serie de Bessel pueden expresarse de forma particularmente sencilla.

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

y k !! es el factorial doble , extendido a valores negativos mediante la relación de recursión: (−1)!! = 1 y (−3)!! = −1 .

Los coeficientes de la serie de Helmert pueden expresarse de manera similar y general mediante

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

Este resultado fue conjeturado por Friedrich Helmert ^[23] y demostrado por Kazushige Kawase. ^[24]

El factor extra (1 − 2 k )(1 + 2 k ) se origina a partir de la expansión adicional de que aparece en la fórmula anterior y da como resultado una convergencia más pobre de la serie en términos de φ en comparación con la de β . ${\displaystyle {\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}$

Expresiones numéricas

La serie trigonométrica dada anteriormente se puede evaluar de manera conveniente utilizando la suma de Clenshaw . Este método evita el cálculo de la mayoría de las funciones trigonométricas y permite sumar la serie de manera rápida y precisa. La técnica también se puede utilizar para evaluar la diferencia m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) manteniendo al mismo tiempo una alta precisión relativa.

Sustituyendo los valores del semieje mayor y la excentricidad del elipsoide WGS84 se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metres}}\\&=\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\sin 8\beta \right){\mbox{ metres,}}\end{aligned}}}$

donde φ ⁽ ° ⁾ = ⁠φ/1°⁠ es φ expresado en grados (y de manera similar para β ⁽ ° ⁾ ).

En el elipsoide, la distancia exacta entre los paralelos en φ ₁ y φ ₂ es m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) . Para WGS84, una expresión aproximada para la distancia Δ m entre los dos paralelos a ±0,5° del círculo en la latitud φ viene dada por

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metres.}}}$

Meridiano del cuarto

Un cuarto de meridiano o cuadrante de la Tierra.

La distancia del ecuador al polo, el cuarto meridiano (análogo al cuarto de círculo ), también conocido como cuadrante terrestre , es

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Fue parte de la definición histórica del metro y de la milla náutica , y se utilizó en la definición del hebdomómetro .

El cuarto meridiano se puede expresar en términos de la integral elíptica completa de segundo tipo ,

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

¿Dónde están la primera y segunda excentricidades ? ${\displaystyle e,e'}$

El meridiano del cuarto de hora también viene dado por la siguiente serie generalizada:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

(Para la fórmula de c ₀ , consulte la sección #Series generalizadas más arriba). Este resultado fue obtenido por primera vez por James Ivory . ^[25]

La expresión numérica para el cuarto meridiano en el elipsoide WGS84 es

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {p} }&=0.9983242984312529\ {\frac {\pi }{2}}\ a\\&=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}\end{aligned}}}$

La circunferencia de la Tierra polar es simplemente cuatro veces el cuarto del meridiano:

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

El perímetro de una elipse meridiana también se puede reescribir en forma de perímetro de círculo rectificador, C _p = 2π M _r . Por lo tanto, el radio rectificador de la Tierra es:

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

Se puede evaluar como6 367 449 .146 metros .

El problema del meridiano inverso para el elipsoide

En algunos problemas, necesitamos poder resolver el problema inverso: dado m , determinar φ . Esto se puede resolver mediante el método de Newton , iterando

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

hasta la convergencia. Una estimación inicial adecuada viene dada por φ ₀ = μ donde

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

es la latitud rectificadora . Nótese que no es necesario diferenciar la serie para m ( φ ) , ya que se puede utilizar en su lugar la fórmula para el radio de curvatura del meridiano M ( φ ) .

Alternativamente, la serie de Helmert para la distancia del meridiano se puede revertir para dar ^{[26] [27]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

De manera similar, la serie de Bessel para m en términos de β se puede revertir para dar ^[28]

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Adrien-Marie Legendre demostró que la distancia a lo largo de una geodésica en un esferoide es la misma que la distancia a lo largo del perímetro de una elipse. ^[29] Por esta razón, la expresión para m en términos de β y su inversa dada anteriormente juegan un papel clave en la solución del problema geodésico con m reemplazado por s , la distancia a lo largo de la geodésica, y β reemplazado por σ , la longitud del arco en la esfera auxiliar. ^{[22] [30]} Las series requeridas extendidas a sexto orden están dadas por Charles Karney, ^[31] Ecs. (17) y (21), con ε jugando el papel de n y τ jugando el papel de μ .

Véase también

• Historia de la geodesia
• Geodesia
• Elipsoide de referencia
• Meridiano de París (Meridiano-arco Europa Occidental-África)
• Misión geodésica francesa en Laponia
• Misión Geodésica Francesa
• Arco geodésico de Struve
• Rectificación de latitud
• Geodésicas sobre un elipsoide

Referencias

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Enlaces externos

• Cálculo en línea de arcos meridianos sobre diferentes elipsoides de referencia geodésica