Aproximaciones de π

Varying methods used to calculate pi

Gráfico que muestra la evolución histórica de la precisión de los registros de aproximaciones numéricas a pi, medidas en decimales (representadas en una escala logarítmica; el tiempo anterior a 1400 no se muestra a escala)

Las aproximaciones para la constante matemática pi ( π ) en la historia de las matemáticas alcanzaron una precisión de 0,04% del valor real antes del comienzo de la era común . En las matemáticas chinas , esto se mejoró hasta alcanzar aproximaciones correctas que corresponden a unos siete dígitos decimales en el siglo V.

No se produjeron más avances hasta el siglo XIV, cuando Madhava de Sangamagrama desarrolló aproximaciones correctas hasta once y luego trece dígitos. Jamshīd al-Kāshī logró los dieciséis dígitos a continuación. Los primeros matemáticos modernos alcanzaron una precisión de 35 dígitos a principios del siglo XVII ( Ludolph van Ceulen ), y 126 dígitos a principios del siglo XIX ( Juri Vega ), superando la precisión requerida para cualquier aplicación concebible fuera de las matemáticas puras.

El récord de aproximación manual de π lo ostenta William Shanks , que calculó 527 decimales correctamente en 1853. ^[1] Desde mediados del siglo XX, la aproximación de π ha sido tarea de ordenadores digitales electrónicos (para una explicación completa, véase Cronología del cálculo de π ). El 28 de junio de 2024, el equipo de StorageReview Lab estableció el récord actual con el y-cruncher de Alexander Yee con 202 billones (2,02×10 ¹⁴ ) dígitos. ^[2]

Historia temprana

Las aproximaciones más conocidas a π, que datan de antes de la era común , tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en las matemáticas chinas , en particular a mediados del primer milenio, hasta una precisión de siete decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.

Algunos egiptólogos ^[3] han afirmado que los antiguos egipcios utilizaban una aproximación de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (aproximadamente un 0,04 % demasiado alta) desde tiempos tan tempranos como el Imperio Antiguo . ^[4] Esta afirmación ha sido recibida con escepticismo. ^{[5] [6]}

Las matemáticas babilónicas solían aproximar π a 3, suficiente para los proyectos arquitectónicos de la época (notablemente también reflejado en la descripción del Templo de Salomón en la Biblia hebrea ). ^[7] Los babilonios eran conscientes de que esto era una aproximación, y una tablilla matemática babilónica antigua excavada cerca de Susa en 1936 (datada entre los siglos XIX y XVII a.C.) da una mejor aproximación de π como 25 ⁄ 8 = 3,125, aproximadamente un 0,528% por debajo del valor exacto. ^{[8] [9] [10] [11]}

Casi al mismo tiempo, el Papiro Matemático egipcio Rhind (datado en el Segundo Período Intermedio , c. 1600 a. C., aunque se afirma que es una copia de un texto más antiguo, del Reino Medio ) implica una aproximación de π como 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (precisión del 0,6 por ciento) calculando el área de un círculo mediante aproximación con el octógono . ^{[5] [12]}

Los cálculos astronómicos del Shatapatha Brahmana (c. siglo VI a. C.) utilizan una aproximación fraccionaria de 339 ⁄ 108 ≈ 3,139 . ^​​[13]

El Mahabharata (500 a. C. – 300 d. C.) ofrece una aproximación de 3, en las proporciones ofrecidas en los versos del Bhishma Parva : 6.12.40–45. ^[14]

...

La Luna, según se ha transmitido de memoria, tiene once mil yojanas de diámetro. Su círculo periférico resulta ser de treinta y tres mil yojanas cuando se calcula.
...
El Sol tiene ocho mil yojanas y otras dos mil yojanas de diámetro. De ahí que su círculo periférico sea igual a treinta mil yojanas.

...

—  "versos: 6.12.40–45, Bhishma Parva del Mahabharata "

En el siglo III a. C., Arquímedes demostró las desigualdades agudas 223 ⁄ 71  <  π  <  22 ⁄ 7 , mediante 96-gonos regulares (precisiones de 2·10 ⁻⁴ y 4·10 ⁻⁴ , respectivamente). ^[15]

En el siglo II d. C., Ptolomeo utilizó el valor 377 ⁄ 120 , la primera aproximación conocida con una precisión de tres decimales (precisión 2·10 ⁻⁵ ). ^[16] Es igual a que tiene una precisión de dos dígitos sexagesimales . ${\displaystyle 3+8/60+30/60^{2},}$

El matemático chino Liu Hui en el año 263 d. C. calculó que π estaba entre3.141 024 y3.142 708 inscribiendo un 96-gono y un 192-gono; el promedio de estos dos valores es3,141 866 (precisión 9·10 ⁻⁵ ). También sugirió que 3,14 era una aproximación suficientemente buena para fines prácticos. También se le ha atribuido con frecuencia un resultado posterior y más preciso, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (precisión 2·10 ⁻⁶ ), aunque algunos académicos creen en cambio que esto se debe al matemático chino posterior (siglo V) Zu Chongzhi . ^[17] Se sabe que Zu Chongzhi calculó que π estaba entre 3,1415926 y 3,1415927, lo que era correcto hasta siete decimales. También dio otras dos aproximaciones de π : π ≈ 22 ⁄ 7 y π ≈ 355 ⁄ 113 , que no son tan precisas como su resultado decimal. La última fracción es la mejor aproximación racional posible de π utilizando menos de cinco dígitos decimales en el numerador y el denominador. Los resultados de Zu Chongzhi superan la precisión alcanzada en las matemáticas helenísticas y permanecerían sin mejoras durante casi un milenio.

En la India de la era Gupta (siglo VI), el matemático Aryabhata , en su tratado astronómico Āryabhaṭīya , afirmó:

Sumar 4 a 100, multiplicar por 8 y sumar 62.000. Esto es "aproximadamente" la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000.

—  Aryabhatiya

Aproximando π a cuatro decimales: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, ^{[18] [19] [20]} Aryabhata afirmó que su resultado "aproximadamente" ( āsanna "aproximarse") dio la circunferencia de un círculo. Su comentarista del siglo XV Nilakantha Somayaji ( escuela de astronomía y matemáticas de Kerala ) ha argumentado que la palabra significa no solo que se trata de una aproximación, sino que el valor es inconmensurable (irracional) . ^[21]

Edad media

No se produjeron más avances hasta casi un milenio después, hasta el siglo XIV, cuando el matemático y astrónomo indio Madhava de Sangamagrama , fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , encontró la serie de Maclaurin para la arcotangente, y luego dos series infinitas para π . ^{[22] [23] [24]} Una de ellas se conoce ahora como la serie de Madhava-Leibniz , basada en ${\displaystyle \pi =4\arctan(1):}$

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

El otro se basó en ${\displaystyle \pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Comparación de la convergencia de dos series de Madhava (la que tiene √ 12 en azul oscuro) y varias series infinitas históricas para π . S _n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subgráfico subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para ver detalles)

Utilizó los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π correcta hasta 11 decimales como3.141 592 653 59 .

También mejoró la fórmula basada en arctan(1) incluyendo una corrección:

${\displaystyle \pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

No se sabe cómo llegó a esta corrección. ^[23] Con esto encontró una aproximación de π con 13 decimales de precisión cuando  n  = 75.

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astrónomo y matemático persa , calculó correctamente la parte fraccionaria de 2 π con 9 dígitos sexagesimales en 1424, ^[25] y la tradujo a 16 dígitos decimales ^[26] después del punto decimal:

${\displaystyle 2\pi \approx 6.2831853071795864,}$

que da 16 dígitos correctos para π después del punto decimal:

${\displaystyle \pi \approx 3.1415926535897932}$

Logró este nivel de precisión calculando el perímetro de un polígono regular con 3 × 2 ²⁸ lados. ^[27]

Siglos XVI al XIX

En la segunda mitad del siglo XVI, el matemático francés François Viète descubrió un producto infinito que convergía en π conocido como fórmula de Viète .

El matemático germano-holandés Ludolph van Ceulen ( circa 1600) calculó los primeros 35 decimales de π con un ^2,62 -gono. Estaba tan orgulloso de este logro que los hizo inscribir en su lápida . ^[28]

En Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demostró que el perímetro del polígono inscrito converge a la circunferencia dos veces más rápido que el perímetro del polígono circunscrito correspondiente. Esto fue demostrado por Christiaan Huygens en 1654. Snellius fue capaz de obtener siete dígitos de π a partir de un polígono de 96 lados . ^[29]

En 1656, John Wallis publicó el producto Wallis :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots }$

En 1706, John Machin utilizó la serie de Gregory (la serie de Taylor para la arcotangente ) y la identidad para calcular 100 dígitos de π (véase § Fórmula similar a Machin a continuación). ^{[30] [31]} En 1719, Thomas de Lagny utilizó una identidad similar para calcular 127 dígitos (de los cuales 112 eran correctos). En 1789, el matemático esloveno Jurij Vega mejoró la fórmula de John Machin para calcular los primeros 140 dígitos, de los cuales los primeros 126 eran correctos. ^[32] En 1841, William Rutherford calculó 208 dígitos, de los cuales los primeros 152 eran correctos. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$

La magnitud de tal precisión (152 decimales) se puede poner en contexto por el hecho de que la circunferencia del objeto más grande conocido, el universo observable, se puede calcular a partir de su diámetro (93  mil millones de años luz ) con una precisión de menos de una longitud de Planck (en1,6162 × 10 ⁻³⁵  metros , la unidad de longitud más corta que se espera que sea directamente medible) utilizando π expresado con solo 62 decimales. ^[33]

El matemático aficionado inglés William Shanks calculó π con 530 decimales en enero de 1853, de las cuales las primeras 527 eran correctas (las últimas probablemente eran incorrectas debido a errores de redondeo). ^{[1] [34]} Posteriormente amplió su cálculo a 607 decimales en abril de 1853, ^[35] pero un error introducido justo en el decimal 530 hizo que el resto de su cálculo fuera erróneo; debido a la naturaleza de la fórmula de Machin, el error se propagó de nuevo al decimal 528, dejando solo los primeros 527 dígitos correctos una vez más. ^[1] Veinte años después, Shanks amplió su cálculo a 707 decimales en abril de 1873. ^[36] Debido a que se trataba de una expansión de su cálculo anterior, la mayoría de los nuevos dígitos también eran incorrectos. ^[1] Se decía que Shanks calculaba nuevos dígitos toda la mañana y luego pasaba toda la tarde revisando su trabajo de la mañana. Esta fue la expansión más larga de π hasta la llegada de la computadora digital electrónica tres cuartos de siglo después. ^[37]

Siglos XX y XXI

En 1910, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de π que convergen rápidamente , entre ellas

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

que calcula ocho decimales más de π con cada término de la serie. Sus series son ahora la base de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π . Evaluar solo el primer término arroja un valor correcto hasta siete decimales:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273}$

Véase la serie Ramanujan–Sato .

Desde mediados del siglo XX, todas las mejoras en el cálculo de π se han realizado con la ayuda de calculadoras o computadoras .

En 1944-45, DF Ferguson, con la ayuda de una calculadora mecánica de escritorio , descubrió que William Shanks había cometido un error en el decimal 528 y que todos los dígitos siguientes eran incorrectos. ^{[34] [38]}

En los primeros años de la computadora, una expansión de π a100 000 decimales ^{[39] : 78} fue calculado por el matemático de Maryland Daniel Shanks (sin relación con el mencionado William Shanks) y su equipo en el Laboratorio de Investigación Naval de los Estados Unidos en Washington, DC En 1961, Shanks y su equipo utilizaron dos series de potencias diferentes para calcular los dígitos de π . Para uno, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente alto, y para el otro, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente bajo. Y por lo tanto, siempre que las dos series produjeran los mismos dígitos, había una confianza muy alta en que eran correctos. Los primeros 100,265 dígitos de π se publicaron en 1962. ^{[39] : 80–99} Los autores describieron lo que se necesitaría para calcular π a 1 millón de decimales y concluyeron que la tarea estaba más allá de la tecnología de ese día, pero sería posible en cinco a siete años. ^{[39] : 78}

En 1989, los hermanos Chudnovsky calcularon π hasta más de mil millones de decimales en la supercomputadora IBM 3090 utilizando la siguiente variación de la serie infinita de π de Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.}$

Desde entonces, todos los récords se han logrado utilizando el algoritmo Chudnovsky . En 1999, Yasumasa Kanada y su equipo de la Universidad de Tokio calcularon π con más de 200 mil millones de decimales en la supercomputadora HITACHI SR8000/MPP (128 nodos) utilizando otra variación de la serie infinita de π de Ramanujan . En noviembre de 2002, Yasumasa Kanada y un equipo de otras 9 personas utilizaron la Hitachi SR8000 , una supercomputadora de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, para calcular π con aproximadamente 1,24 billones de dígitos en alrededor de 600 horas (25  días). ^[40]

Registros recientes

1. En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer más que duplicó el récord anterior al calcular π en aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.
2. En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó una computadora personal para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π . Los cálculos se realizaron en base 2 (binario) y luego el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación tomaron un total de 131 días. ^[41]
3. En agosto de 2010, Shigeru Kondo utilizó el y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π . Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero lo más significativo es que se realizó en una computadora hogareña construida por Kondo. ^[42] El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tardaron 64 y 66 horas respectivamente. ^[43]
4. En octubre de 2011, Shigeru Kondo rompió su propio récord al calcular diez billones (10 ¹³ ) y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con mejor hardware. ^{[44] [45]}
5. En diciembre de 2013, Kondo rompió su propio récord por segunda vez cuando calculó 12,1 billones de dígitos de π . ^[46]
6. En octubre de 2014, Sandon Van Ness, con el seudónimo "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π . ^[47]
7. En noviembre de 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22 459 157 718 361 ( π ^e  × 10 ¹² )). ^[48] El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, ^[47] la limitación para una mayor expansión fue principalmente el espacio de almacenamiento. ^[46]
8. En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao, empleada de Google , calculó 31,4 billones de dígitos de pi (aproximadamente 10 π ) utilizando un y-cruncher y máquinas de Google Cloud . Esto tardó 121 días en completarse. ^[49]
9. En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos a lo largo de 303 días. ^{[50] [51]}
10. El 14 de agosto de 2021, un equipo (DAViS) de la Universidad de Ciencias Aplicadas de los Grisones anunció la finalización del cálculo de π a 62,8 (aproximadamente 20 π ) billones de dígitos. ^{[52] [53]}
11. El 8 de junio de 2022, Emma Haruka Iwao anunció en el blog de Google Cloud el cálculo de 100 billones (10 ¹⁴ ) de dígitos de π durante 158 días utilizando el y-cruncher de Alexander Yee . ^[54]
12. El 14 de marzo de 2024, Jordan Ranous, Kevin O'Brien y Brian Beeler calcularon π hasta 105 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. ^[55]
13. El 28 de junio de 2024, el equipo de StorageReview calculó π hasta 202 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. ^[56]

Aproximaciones prácticas

Dependiendo del propósito de un cálculo, π se puede aproximar usando fracciones para facilitar el cálculo. Las aproximaciones más notables son 22 ⁄ 7 ( error relativo de aproximadamente 4·10 ⁻⁴ ) y 355 ⁄ 113 (error relativo de aproximadamente 8·10 ⁻⁸ ). ^{[57] [58] [59]} En matemáticas chinas, las fracciones 22/7 y 355/113 se conocen como Yuelü (约率; yuēlǜ ; 'razón aproximada') y Milü (密率; mìlǜ ; 'razón cercana').

"Definiciones" no matemáticas deπ

De cierta importancia son los textos legales o históricos que supuestamente "definen π " como si tuviera algún valor racional, como el " Proyecto de ley Pi de Indiana " de 1897, que establecía que "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro" (lo que implicaría " π = 3,2 ") y un pasaje de la Biblia hebrea que implica que π = 3 .

Proyecto de ley de Indiana

El llamado "proyecto de ley Indiana Pi" de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor de Pi". En realidad, el proyecto de ley trataba de una supuesta solución al problema de la " cuadratura geométrica del círculo ". ^[60]

El proyecto de ley casi fue aprobado por la Asamblea General de Indiana en los EE. UU., y se ha afirmado que implica varios valores diferentes para π , aunque lo más cercano a afirmar explícitamente uno es la redacción "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro", lo que haría que π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , una discrepancia de casi el 2 por ciento. Un profesor de matemáticas que estaba presente el día en que el proyecto de ley se presentó para su consideración en el Senado, después de que hubiera sido aprobado en la Cámara, ayudó a detener la aprobación del proyecto de ley en su segunda lectura, después de lo cual la asamblea lo ridiculizó por completo antes de posponerlo indefinidamente .

Valor bíblico imputado

A veces se afirma ^{[ ¿quién? ]} que la Biblia hebrea implica que " π es igual a tres", basándose en un pasaje en 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4:2 que da medidas para la palangana redonda ubicada frente al Templo en Jerusalén con un diámetro de 10 codos y una circunferencia de 30 codos.

La cuestión se discute en el Talmud y en la literatura rabínica . ^[61] Entre las muchas explicaciones y comentarios están los siguientes:

• El rabino Nehemías explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría , ca. 150 d.C.) diciendo que el diámetro se medía desde el borde exterior mientras que la circunferencia se medía a lo largo del borde interior . Esta interpretación implica un borde de aproximadamente 0,225 codos (o, suponiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4 pulgadas), o un y un tercio de " palmos " de espesor (cf. NRSV y NRSV).
• Maimónides afirma (hacia el año 1168 d. C.) que π solo se puede conocer de forma aproximada, por lo que el valor 3 se consideró suficientemente preciso para fines religiosos. Algunos consideran que esta es la primera afirmación de que π es irracional ^[62] .

Todavía hay cierto debate sobre este pasaje en la erudición bíblica. ^{[ verificación fallida ] [63] [64]} Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o labio ensanchado) que se extiende hacia afuera desde el cuenco mismo por varias pulgadas para que coincida con la descripción dada en NRSV ^[65] En los versículos siguientes, el borde se describe como "de un palmo menor de espesor; y su borde estaba labrado como el borde de una copa, como la flor de un lirio: recibía y contenía tres mil batos" NRSV, lo que sugiere una forma que se puede abarcar con una cuerda más corta que la longitud total del borde, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té .

Desarrollo de fórmulas eficientes

Aproximación de un polígono a un círculo

Arquímedes, en su Medición de un círculo , creó el primer algoritmo para el cálculo de π basado en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito. Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se determinan fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares de dos veces más lados que están inscritos y circunscritos en el mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que hoy se describiría de la siguiente manera: Sean p _k y P _k los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos en el mismo círculo, respectivamente. Entonces,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

Arquímedes utiliza esto para calcular sucesivamente P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ y p ₉₆ . ^[66] Utilizando estos últimos valores obtiene

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

No se sabe por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados; sólo hace falta paciencia para ampliar los cálculos. Heron informa en su Métrica (alrededor del año 60 d. C.) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. ^[67]

Arquímedes no utiliza trigonometría en este cálculo y la dificultad de aplicar el método reside en obtener buenas aproximaciones para las raíces cuadradas involucradas. La trigonometría, en forma de tabla de longitudes de cuerdas en un círculo, probablemente fue utilizada por Claudio Ptolomeo de Alejandría para obtener el valor de π dado en el Almagesto (circa 150 d.C.). ^[68]

Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se lograron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica de Willebrord Snell (1621) obtiene mejores límites a partir de un par de límites obtenidos a partir del método de polígonos. Por lo tanto, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. ^[69] La fórmula de Viète , publicada por François Viète en 1593, fue derivada por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyo número de lados son potencias de dos. ^[70]

El último gran intento de calcular π con este método lo llevó a cabo Grienberger en 1630, quien calculó 39 decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. ^[69]

Fórmula similar a la de Machin

Para cálculos rápidos, se pueden utilizar fórmulas como la de Machin :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

Junto con la expansión de la serie de Taylor de la función arctan ( x ). Esta fórmula se verifica más fácilmente utilizando coordenadas polares de números complejos , lo que produce:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

(( x ),( y ) = {239, 13 ² } es una solución de la ecuación de Pell x ²  − 2 y ² = −1.)

Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas de tipo Machin . La fórmula particular de Machin se utilizó hasta bien entrada la era informática para calcular números récord de dígitos de π , ^[39] pero más recientemente también se han utilizado otras fórmulas similares.

Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula similar a la de Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π : ^[39]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

y utilizaron otra fórmula parecida a la de Machin,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

como un cheque.

El récord de diciembre de 2002 de Yasumasa Kanada, de la Universidad de Tokio, se situaba en 1.241.100.000.000 de dígitos. Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas similares a las de Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

1982.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Stormer (1896).

Otras fórmulas clásicas

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

Liu Hui (ver también la fórmula de Viète ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}}$

Madhava :

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Transformación de convergencia de Newton /Euler: ^[71]

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}}$

donde m!! es el factorial doble , el producto de los números enteros positivos hasta m con la misma paridad .

Euler :

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

(Evaluado utilizando la serie anterior para arctan. )

Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

David Chudnovsky y Grigory Chudnovsky :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

El trabajo de Ramanujan es la base del algoritmo de Chudnovsky , el algoritmo más rápido utilizado, a partir del cambio de milenio, para calcular π .

Algoritmos modernos

Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan normalmente con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein . Este último, descubierto en 1985 por Jonathan y Peter Borwein , converge extremadamente rápido:

Para y ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

donde , la secuencia converge cuárticamente a π , dando alrededor de 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. Aunque la serie de Chudnovsky es solo convergente lineal, el algoritmo de Chudnovsky podría ser más rápido que los algoritmos iterativos en la práctica; eso depende de factores tecnológicos como los tamaños de memoria y los tiempos de acceso . ^[72] Para romper récords mundiales, los algoritmos iterativos se usan con menos frecuencia que el algoritmo de Chudnovsky ya que consumen mucha memoria. ${\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}}$ ${\displaystyle 1/a_{k}}$

El primer millón de dígitos de π y 1 ⁄ π están disponibles en el Proyecto Gutenberg . ^{[73] [74]} Un récord de cálculo anterior (diciembre de 2002) realizado por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio se situó en 1,24 billones de dígitos, que se calcularon en septiembre de 2002 en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que realiza 2 billones de operaciones por segundo, casi el doble de las que realizaba la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de dígitos). Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas similares a las de Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ ( Kikuo Takano  (1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ ( F. C. M. Størmer  (1896)).

Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no tienen ninguna utilidad práctica, excepto para probar nuevas supercomputadoras. ^{[75] Propiedades como la} normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.

Aproximaciones diversas

Históricamente, se utilizaba la base 60 para los cálculos. En esta base, π se puede aproximar a ocho cifras significativas (decimales) con el número 3;8,29,44 ₆₀ , que es

${\displaystyle 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}}$

y π : ${\displaystyle \approxeq 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {30}{60^{2}}}-{\frac {30}{74^{3}}}+{\frac {555}{55^{6}}}+{\frac {1105}{86^{8}}}=3.141592653589793237...}$

Esta aproximación nos muestra la exactitud de los primeros 18 dígitos de Pi.

Además, se pueden utilizar las siguientes expresiones para estimar π :

• Preciso hasta tres dígitos:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.143^{+}}$

• Preciso hasta tres dígitos:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}}$

Karl Popper conjeturó que Platón conocía esta expresión, que creía que era exactamente π y que esto es responsable de parte de la confianza de Platón en la omnicompetencia de la geometría matemática, y de la repetida discusión de Platón sobre triángulos rectángulos especiales que son isósceles o mitades de triángulos equiláteros .

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}}$

• Preciso hasta cuatro dígitos:

${\displaystyle 1+e-\gamma =3.1410^{+},}$¿Dónde está la base del logaritmo natural y es la constante de Euler? ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}$^[76]

${\displaystyle {\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\ 2^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\ 8^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}=3.14142\ 1^{+}}$

• Preciso hasta cuatro dígitos (o cinco cifras significativas):

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}}$^[77]

• una aproximación de Ramanujan , precisa hasta 4 dígitos (o cinco cifras significativas):

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}$

• Preciso hasta cinco dígitos:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}}$^[78]

• Precisión de seis dígitos:

${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}}$[1]

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}}$^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle 4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}}$^{[79] [80]}

• Preciso hasta siete dígitos:

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}}$

${\displaystyle {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}=3.14159\ 27^{+}}$- inversa del primer término de la serie de Ramanujan.

${\displaystyle \left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}}$^[81]

• Preciso hasta ocho dígitos:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}}$

${\displaystyle {\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt[{1234}]{2}}{\sqrt[{1068}]{2}}}{10}}=3.14159\ 268^{+}}$

${\displaystyle {\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}}$^[82]

Este es el caso que no se puede obtener a partir de la aproximación de Ramanujan (22). ^[83]

• Preciso hasta nueve dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

This is from Ramanujan, who claimed the Goddess of Namagiri appeared to him in a dream and told him the true value of π.^[83]

• accurate to ten digits:

${\displaystyle {\sqrt[{15}]{28658146}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• accurate to ten digits:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• accurate to ten digits (or eleven significant figures):

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$

This curious approximation follows the observation that the 193rd power of 1/π yields the sequence 1122211125... Replacing 5 by 2 completes the symmetry without reducing the correct digits of π, while inserting a central decimal point remarkably fixes the accompanying magnitude at 10¹⁰⁰.^[84]

• accurate to eleven digits:

${\displaystyle {\sqrt[{18}]{888582403}}=3.14159\ 26535\ 8^{+}}$

• accurate to twelve digits:

${\displaystyle {\sqrt[{20}]{8769956796}}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

• accurate to 12 decimal places:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

This is obtained from the Chudnovsky series (truncate the series (1.4)^[85] at the first term and let E₆(τ₁₆₃)²/E₄(τ₁₆₃)³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• accurate to 16 digits:

${\displaystyle {\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}}$ - inverse of sum of first two terms of Ramanujan series.

${\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}}$

• accurate to 18 digits:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}}$

This is the approximation (22) in Ramanujan's paper^[83] with n = 253.

• accurate to 19 digits:

${\displaystyle {\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}}$ - improved inverse of sum of first two terms of Ramanujan series.

• accurate to 24 digits:

${\displaystyle {\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}}$ - inverse of sum of first three terms of Ramanujan series.

• accurate to 25 decimal places:

${\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}}$

This is derived from Ramanujan's class invariant g₁₀₀ = 2^5/8/(5^1/4 − 1).^[83]

• accurate to 30 decimal places:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

Derived from the closeness of Ramanujan constant to the integer 640320³+744. This does not admit obvious generalizations in the integers,^{[clarification needed]} because there are only finitely many Heegner numbers and negative discriminants d with class number h(−d) = 1, and d = 163 is the largest one in absolute value.

• accurate to 52 decimal places:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

Like the one above, a consequence of the j-invariant. Among negative discriminants with class number 2, this d the largest in absolute value.

• accurate to 52 decimal places:

${\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}}$

This is derived from Ramanujan's class invariant G₃₈₅.^[83]

• accurate to 161 decimal places:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

where u is a product of four simple quartic units,

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

and,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

Based on one found by Daniel Shanks. Similar to the previous two, but this time is a quotient of a modular form, namely the Dedekind eta function, and where the argument involves ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}}$. The discriminant d = 3502 has h(−d) = 16.

• accurate to 256 digits:

${\displaystyle {\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...}$

${\displaystyle ...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}}$ - improved inverse of sum of the first nineteen terms of Chudnovsky series.

• The continued fraction representation of π can be used to generate successive best rational approximations. These approximations are the best possible rational approximations of π relative to the size of their denominators. Here is a list of the first thirteen of these:^[86][87]

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

Of these, ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ is the only fraction in this sequence that gives more exact digits of π (i.e. 7) than the number of digits needed to approximate it (i.e. 6). The accuracy can be improved by using other fractions with larger numerators and denominators, but, for most such fractions, more digits are required in the approximation than correct significant figures achieved in the result.^[88]

Summing a circle's area

Numerical approximation of π: as points are randomly scattered inside the unit square, some fall within the unit circle. The fraction of points inside the circle approaches π/4 as points are added.

Pi can be obtained from a circle if its radius and area are known using the relationship:

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

If a circle with radius r is drawn with its center at the point (0, 0), any point whose distance from the origin is less than r will fall inside the circle. The Pythagorean theorem gives the distance from any point (x, y) to the center:

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Mathematical "graph paper" is formed by imagining a 1×1 square centered around each cell (x, y), where x and y are integers between −r and r. Squares whose center resides inside or exactly on the border of the circle can then be counted by testing whether, for each cell (x, y),

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.}$

The total number of cells satisfying that condition thus approximates the area of the circle, which then can be used to calculate an approximation of π. Closer approximations can be produced by using larger values of r.

Mathematically, this formula can be written:

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}}$

In other words, begin by choosing a value for r. Consider all cells (x, y) in which both x and y are integers between −r and r. Starting at 0, add 1 for each cell whose distance to the origin (0,0) is less than or equal to r. When finished, divide the sum, representing the area of a circle of radius r, by r² to find the approximation of π. For example, if r is 5, then the cells considered are:

This circle as it would be drawn on a Cartesian coordinate graph. The cells (±3, ±4) and (±4, ±3) are labeled.

The 12 cells (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) are exactly on the circle, and 69 cells are completely inside, so the approximate area is 81, and π is calculated to be approximately 3.24 because 81⁄5² = 3.24. Results for some values of r are shown in the table below:

For related results see The circle problem: number of points (x,y) in square lattice with x^2 + y^2 <= n.

Similarly, the more complex approximations of π given below involve repeated calculations of some sort, yielding closer and closer approximations with increasing numbers of calculations.

Continued fractions

Besides its simple continued fraction representation [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...], which displays no discernible pattern, π has many generalized continued fraction representations generated by a simple rule, including these two.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$

The remainder of the Madhava–Leibniz series can be expressed as generalized continued fraction as follows.^[79]

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )}$

Note that Madhava's correction term is

${\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}}$.

The well-known values 22⁄7 and 355⁄113 are respectively the second and fourth continued fraction approximations to π. (Other representations are available at The Wolfram Functions Site.)

Trigonometry

Gregory–Leibniz series

The Gregory–Leibniz series

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)}$

is the power series for arctan(x) specialized to x = 1. It converges too slowly to be of practical interest. However, the power series converges much faster for smaller values of ${\displaystyle x}$, which leads to formulae where ${\displaystyle \pi }$ arises as the sum of small angles with rational tangents, known as Machin-like formulae.

Arctangent

Knowing that 4 arctan 1 = π, the formula can be simplified to get:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}}$

with a convergence such that each additional 10 terms yields at least three more digits.

${\displaystyle \pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)}$

This series is the basis for a decimal spigot algorithm by Rabinowitz and Wagon.^[89]

Another formula for ${\displaystyle \pi }$ involving arctangent function is given by

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,}$

where ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ such that ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$. Approximations can be made by using, for example, the rapidly convergent Euler formula^[90]

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.}$

Alternatively, the following simple expansion series of the arctangent function can be used

${\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},}$

where

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}}$

to approximate ${\displaystyle \pi }$ with even more rapid convergence. Convergence in this arctangent formula for ${\displaystyle \pi }$ improves as integer ${\displaystyle k}$ increases.

The constant ${\displaystyle \pi }$ can also be expressed by infinite sum of arctangent functions as

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

and

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

where ${\displaystyle F_{n}}$ is the n-th Fibonacci number. However, these two formulae for ${\displaystyle \pi }$ are much slower in convergence because of set of arctangent functions that are involved in computation.

Arcsine

Observing an equilateral triangle and noting that

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}}$

yields

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}}$

with a convergence such that each additional five terms yields at least three more digits.

Digit extraction methods

The Bailey–Borwein–Plouffe formula (BBP) for calculating π was discovered in 1995 by Simon Plouffe. Using base 16 math, the formula can compute any particular digit of π—returning the hexadecimal value of the digit—without having to compute the intervening digits (digit extraction).^[91]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

In 1996, Simon Plouffe derived an algorithm to extract the nth decimal digit of π (using base 10 math to extract a base 10 digit), and which can do so with an improved speed of O(n³(log n)³) time. The algorithm requires virtually no memory for the storage of an array or matrix so the one-millionth digit of π can be computed using a pocket calculator.^[92] However, it would be quite tedious and impractical to do so.

${\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}}$

The calculation speed of Plouffe's formula was improved to O(n²) by Fabrice Bellard, who derived an alternative formula (albeit only in base 2 math) for computing π.^[93]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Efficient methods

Many other expressions for π were developed and published by Indian mathematician Srinivasa Ramanujan. He worked with mathematician Godfrey Harold Hardy in England for a number of years.

Extremely long decimal expansions of π are typically computed with the Gauss–Legendre algorithm and Borwein's algorithm; the Salamin–Brent algorithm, which was invented in 1976, has also been used.

In 1997, David H. Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe published a paper (Bailey, 1997) on a new formula for π as an infinite series:

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

This formula permits one to fairly readily compute the kth binary or hexadecimal digit of π, without having to compute the preceding k − 1 digits. Bailey's website^[94] contains the derivation as well as implementations in various programming languages. The PiHex project computed 64 bits around the quadrillionth bit of π (which turns out to be 0).

Fabrice Bellard further improved on BBP with his formula:^[95]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Other formulae that have been used to compute estimates of π include:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Newton.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Srinivasa Ramanujan.

This converges extraordinarily rapidly. Ramanujan's work is the basis for the fastest algorithms used, as of the turn of the millennium, to calculate π.

In 1988, David Chudnovsky and Gregory Chudnovsky found an even faster-converging series (the Chudnovsky algorithm):

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$.

The speed of various algorithms for computing pi to n correct digits is shown below in descending order of asymptotic complexity. M(n) is the complexity of the multiplication algorithm employed.

Projects

Pi Hex

Pi Hex was a project to compute three specific binary digits of π using a distributed network of several hundred computers. In 2000, after two years, the project finished computing the five trillionth (5*10¹²), the forty trillionth, and the quadrillionth (10¹⁵) bits. All three of them turned out to be 0.

Software for calculating π

Over the years, several programs have been written for calculating π to many digits on personal computers.

General purpose

Most computer algebra systems can calculate π and other common mathematical constants to any desired precision.

Functions for calculating π are also included in many general libraries for arbitrary-precision arithmetic, for instance Class Library for Numbers, MPFR and SymPy.

Special purpose

Programs designed for calculating π may have better performance than general-purpose mathematical software. They typically implement checkpointing and efficient disk swapping to facilitate extremely long-running and memory-expensive computations.

• TachusPi by Fabrice Bellard^[96] is the program used by himself to compute world record number of digits of pi in 2009.
• y-cruncher by Alexander Yee^[47] is the program which every world record holder since Shigeru Kondo in 2010 has used to compute world record numbers of digits. y-cruncher can also be used to calculate other constants and holds world records for several of them.
• PiFast by Xavier Gourdon was the fastest program for Microsoft Windows in 2003. According to its author, it can compute one million digits in 3.5 seconds on a 2.4 GHz Pentium 4.^[97] PiFast can also compute other irrational numbers like e and √2. It can also work at lesser efficiency with very little memory (down to a few tens of megabytes to compute well over a billion (10⁹) digits). This tool is a popular benchmark in the overclocking community. PiFast 4.4 is available from Stu's Pi page. PiFast 4.3 is available from Gourdon's page.
• QuickPi by Steve Pagliarulo for Windows is faster than PiFast for runs of under 400 million digits. Version 4.5 is available on Stu's Pi Page below. Like PiFast, QuickPi can also compute other irrational numbers like e, √2, and √3. The software may be obtained from the Pi-Hacks Yahoo! forum, or from Stu's Pi page.
• Super PI by Kanada Laboratory^[98] in the University of Tokyo is the program for Microsoft Windows for runs from 16,000 to 33,550,000 digits. It can compute one million digits in 40 minutes, two million digits in 90 minutes and four million digits in 220 minutes on a Pentium 90 MHz. Super PI version 1.9 is available from Super PI 1.9 page.

See also

• Diophantine approximation
• Milü
• Madhava's correction term
• Pi is 3

Notes

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    "Add four to one hundred, multiply by eight and then add sixty-two thousand. The result is approximately the circumference of a circle of diameter twenty thousand. By this rule the relation of the circumference to diameter is given."

    In other words, (4 + 100) × 8 + 62000 is the circumference of a circle with diameter 20000. This provides a value of π ≈ 62832⁄20000 = 3.1416,Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Third ed.). New York: W.H. Freeman and Company. p. 70.
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    ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
    3.14159, &c. = π. This Series (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. John Machin; and by means thereof, Van Ceulen's Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.

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