Aproximaciones de π

Varying methods used to calculate pi

Gráfico que muestra la evolución histórica de la precisión de los registros de aproximaciones numéricas a pi, medidas en decimales (representadas en una escala logarítmica; el tiempo anterior a 1400 no se muestra a escala)

Las aproximaciones para la constante matemática pi ( π ) en la historia de las matemáticas alcanzaron una precisión de 0,04% del valor real antes del comienzo de la era común . En las matemáticas chinas , esto se mejoró hasta alcanzar aproximaciones correctas que corresponden a unos siete dígitos decimales en el siglo V.

No se produjeron más avances hasta el siglo XIV, cuando Madhava de Sangamagrama desarrolló aproximaciones correctas hasta once y luego trece dígitos. Jamshīd al-Kāshī logró los dieciséis dígitos a continuación. Los primeros matemáticos modernos alcanzaron una precisión de 35 dígitos a principios del siglo XVII ( Ludolph van Ceulen ), y 126 dígitos a principios del siglo XIX ( Juri Vega ), superando la precisión requerida para cualquier aplicación concebible fuera de las matemáticas puras.

El récord de aproximación manual de π lo ostenta William Shanks , que calculó 527 decimales correctamente en 1853. ^[1] Desde mediados del siglo XX, la aproximación de π ha sido tarea de ordenadores digitales electrónicos (para una explicación completa, véase Cronología del cálculo de π ). El 28 de junio de 2024, el equipo de StorageReview Lab estableció el récord actual con el y-cruncher de Alexander Yee con 202 billones (2,02×10 ¹⁴ ) dígitos. ^[2]

Historia temprana

Las aproximaciones más conocidas a π, que datan de antes de la era común , tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en las matemáticas chinas , en particular a mediados del primer milenio, hasta una precisión de siete decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.

Algunos egiptólogos ^[3] han afirmado que los antiguos egipcios utilizaban una aproximación de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (aproximadamente un 0,04 % demasiado alta) desde tiempos tan tempranos como el Imperio Antiguo . ^[4] Esta afirmación ha sido recibida con escepticismo. ^{[5] [6]}

Las matemáticas babilónicas solían aproximar π a 3, suficiente para los proyectos arquitectónicos de la época (notablemente también reflejado en la descripción del Templo de Salomón en la Biblia hebrea ). ^[7] Los babilonios eran conscientes de que esto era una aproximación, y una tablilla matemática babilónica antigua excavada cerca de Susa en 1936 (datada entre los siglos XIX y XVII a.C.) da una mejor aproximación de π como 25 ⁄ 8 = 3,125, aproximadamente un 0,528% por debajo del valor exacto. ^{[8] [9] [10] [11]}

Casi al mismo tiempo, el Papiro Matemático egipcio Rhind (datado en el Segundo Período Intermedio , c. 1600 a. C., aunque se afirma que es una copia de un texto más antiguo, del Reino Medio ) implica una aproximación de π como 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (precisión del 0,6 por ciento) calculando el área de un círculo mediante aproximación con el octógono . ^{[5] [12]}

Los cálculos astronómicos del Shatapatha Brahmana (c. siglo VI a. C.) utilizan una aproximación fraccionaria de 339 ⁄ 108 ≈ 3,139 . ^​​[13]

El Mahabharata (500 a. C. – 300 d. C.) ofrece una aproximación de 3, en las proporciones ofrecidas en los versos del Bhishma Parva : 6.12.40–45. ^[14]

...

La Luna, según se ha transmitido de memoria, tiene once mil yojanas de diámetro. Su círculo periférico resulta ser de treinta y tres mil yojanas cuando se calcula.
...
El Sol tiene ocho mil yojanas y otras dos mil yojanas de diámetro. De ahí que su círculo periférico sea igual a treinta mil yojanas.

...

—  "versos: 6.12.40–45, Bhishma Parva del Mahabharata "

En el siglo III a. C., Arquímedes demostró las desigualdades agudas 223 ⁄ 71  <  π  <  22 ⁄ 7 , mediante 96-gonos regulares (precisiones de 2·10 ⁻⁴ y 4·10 ⁻⁴ , respectivamente). ^[15]

En el siglo II d. C., Ptolomeo utilizó el valor 377 ⁄ 120 , la primera aproximación conocida con una precisión de tres decimales (precisión 2·10 ⁻⁵ ). ^[16] Es igual a que es preciso hasta dos dígitos sexagesimales . ${\displaystyle 3+8/60+30/60^{2},}$

El matemático chino Liu Hui en el año 263 d. C. calculó que π estaba entre3.141 024 y3.142 708 inscribiendo un 96-gono y un 192-gono; el promedio de estos dos valores es3,141 866 (precisión 9·10 ⁻⁵ ). También sugirió que 3,14 era una aproximación suficientemente buena para fines prácticos. También se le ha atribuido con frecuencia un resultado posterior y más preciso, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (precisión 2·10 ⁻⁶ ), aunque algunos académicos creen en cambio que esto se debe al matemático chino posterior (siglo V) Zu Chongzhi . ^[17] Se sabe que Zu Chongzhi calculó que π estaba entre 3,1415926 y 3,1415927, lo que era correcto hasta siete decimales. También dio otras dos aproximaciones de π : π ≈ 22 ⁄ 7 y π ≈ 355 ⁄ 113 , que no son tan precisas como su resultado decimal. La última fracción es la mejor aproximación racional posible de π utilizando menos de cinco dígitos decimales en el numerador y el denominador. Los resultados de Zu Chongzhi superan la precisión alcanzada en las matemáticas helenísticas y permanecerían sin mejoras durante casi un milenio.

En la India de la era Gupta (siglo VI), el matemático Aryabhata , en su tratado astronómico Āryabhaṭīya afirmó:

Sumar 4 a 100, multiplicar por 8 y sumar 62.000. Esto es "aproximadamente" la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000.

—  Aryabhatiya

Aproximando π a cuatro decimales: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, ^{[18] [19] [20]} Aryabhata afirmó que su resultado "aproximadamente" ( āsanna "aproximarse") dio la circunferencia de un círculo. Su comentarista del siglo XV Nilakantha Somayaji ( escuela de astronomía y matemáticas de Kerala ) ha argumentado que la palabra significa no solo que se trata de una aproximación, sino que el valor es inconmensurable (irracional) . ^[21]

Edad media

No se produjeron más avances hasta casi un milenio después, hasta el siglo XIV, cuando el matemático y astrónomo indio Madhava de Sangamagrama , fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , encontró la serie de Maclaurin para la arcotangente, y luego dos series infinitas para π . ^{[22] [23] [24]} Una de ellas se conoce ahora como la serie de Madhava-Leibniz , basada en ${\displaystyle \pi =4\arctan(1):}$

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

El otro se basó en ${\displaystyle \pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Comparación de la convergencia de dos series de Madhava (la que tiene √ 12 en azul oscuro) y varias series infinitas históricas para π . S _n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subgráfico subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para ver detalles)

Utilizó los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π correcta hasta 11 decimales como3.141 592 653 59 .

También mejoró la fórmula basada en arctan(1) incluyendo una corrección:

${\displaystyle \pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

No se sabe cómo llegó a esta corrección. ^[23] Con esto encontró una aproximación de π con 13 decimales de precisión cuando  n  = 75.

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astrónomo y matemático persa , calculó correctamente la parte fraccionaria de 2 π con 9 dígitos sexagesimales en 1424, ^[25] y la tradujo a 16 dígitos decimales ^[26] después del punto decimal:

${\displaystyle 2\pi \approx 6.2831853071795864,}$

que da 16 dígitos correctos para π después del punto decimal:

${\displaystyle \pi \approx 3.1415926535897932}$

Logró este nivel de precisión calculando el perímetro de un polígono regular con 3 × 2 ²⁸ lados. ^[27]

Siglos XVI al XIX

En la segunda mitad del siglo XVI, el matemático francés François Viète descubrió un producto infinito que convergía en π conocido como fórmula de Viète .

El matemático germano-holandés Ludolph van Ceulen ( circa 1600) calculó los primeros 35 decimales de π con un ^2,62 -gono. Estaba tan orgulloso de este logro que los hizo inscribir en su lápida . ^[28]

En Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demostró que el perímetro del polígono inscrito converge a la circunferencia dos veces más rápido que el perímetro del polígono circunscrito correspondiente. Esto fue demostrado por Christiaan Huygens en 1654. Snellius fue capaz de obtener siete dígitos de π a partir de un polígono de 96 lados . ^[29]

En 1656, John Wallis publicó el producto Wallis :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots }$

En 1706, John Machin utilizó la serie de Gregory (la serie de Taylor para la arcotangente ) y la identidad para calcular 100 dígitos de π (véase § Fórmula similar a Machin a continuación). ^{[30] [31]} En 1719, Thomas de Lagny utilizó una identidad similar para calcular 127 dígitos (de los cuales 112 eran correctos). En 1789, el matemático esloveno Jurij Vega mejoró la fórmula de John Machin para calcular los primeros 140 dígitos, de los cuales los primeros 126 eran correctos. ^[32] En 1841, William Rutherford calculó 208 dígitos, de los cuales los primeros 152 eran correctos. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$

La magnitud de tal precisión (152 decimales) se puede poner en contexto por el hecho de que la circunferencia del objeto más grande conocido, el universo observable, se puede calcular a partir de su diámetro (93  mil millones de años luz ) con una precisión de menos de una longitud de Planck (en1,6162 × 10 ⁻³⁵  metros , la unidad de longitud más corta que se espera que sea directamente medible) utilizando π expresado con solo 62 decimales. ^[33]

El matemático aficionado inglés William Shanks calculó π con 530 decimales en enero de 1853, de las cuales las primeras 527 eran correctas (las últimas probablemente incorrectas debido a errores de redondeo). ^{[1] [34]} Posteriormente amplió su cálculo a 607 decimales en abril de 1853, ^[35] pero un error introducido justo en el decimal 530 hizo que el resto de su cálculo fuera erróneo; debido a la naturaleza de la fórmula de Machin, el error se propagó de nuevo al decimal 528, dejando solo los primeros 527 dígitos correctos una vez más. ^[1] Veinte años después, Shanks amplió su cálculo a 707 decimales en abril de 1873. ^[36] Debido a que se trataba de una expansión de su cálculo anterior, la mayoría de los nuevos dígitos también eran incorrectos. ^[1] Se decía que Shanks calculaba nuevos dígitos toda la mañana y luego pasaba toda la tarde revisando su trabajo de la mañana. Esta fue la expansión más larga de π hasta la llegada de la computadora digital electrónica tres cuartos de siglo después. ^[37]

Siglos XX y XXI

En 1910, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de π que convergen rápidamente , entre ellas

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

que calcula ocho decimales más de π con cada término de la serie. Sus series son ahora la base de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π . Evaluar solo el primer término da un valor correcto hasta siete decimales:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273}$

Véase la serie Ramanujan–Sato .

Desde mediados del siglo XX, todas las mejoras en el cálculo de π se han realizado con la ayuda de calculadoras o computadoras .

En 1944-45, DF Ferguson, con la ayuda de una calculadora mecánica de escritorio , descubrió que William Shanks había cometido un error en el decimal 528 y que todos los dígitos siguientes eran incorrectos. ^{[34] [38]}

En los primeros años de la computadora, una expansión de π a100 000 decimales ^{[39] : 78} fue calculado por el matemático de Maryland Daniel Shanks (sin relación con el mencionado William Shanks) y su equipo en el Laboratorio de Investigación Naval de los Estados Unidos en Washington, DC En 1961, Shanks y su equipo utilizaron dos series de potencias diferentes para calcular los dígitos de π . Para uno, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente alto, y para el otro, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente bajo. Y por lo tanto, siempre que las dos series produjeran los mismos dígitos, había una confianza muy alta en que eran correctos. Los primeros 100,265 dígitos de π se publicaron en 1962. ^{[39] : 80–99} Los autores describieron lo que se necesitaría para calcular π a 1 millón de decimales y concluyeron que la tarea estaba más allá de la tecnología de ese día, pero sería posible en cinco a siete años. ^{[39] : 78}

En 1989, los hermanos Chudnovsky calcularon π hasta más de mil millones de decimales en la supercomputadora IBM 3090 utilizando la siguiente variación de la serie infinita de π de Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.}$

Desde entonces, todos los récords se han logrado utilizando el algoritmo Chudnovsky . En 1999, Yasumasa Kanada y su equipo de la Universidad de Tokio calcularon π con más de 200 mil millones de decimales en la supercomputadora HITACHI SR8000/MPP (128 nodos) utilizando otra variación de la serie infinita de π de Ramanujan . En noviembre de 2002, Yasumasa Kanada y un equipo de otras 9 personas utilizaron la Hitachi SR8000 , una supercomputadora de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, para calcular π con aproximadamente 1,24 billones de dígitos en alrededor de 600 horas (25  días). ^[40]

Registros recientes

1. En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer más que duplicó el récord anterior al calcular π en aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.
2. En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó una computadora personal para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π . Los cálculos se realizaron en base 2 (binario) y luego el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación tomaron un total de 131 días. ^[41]
3. En agosto de 2010, Shigeru Kondo utilizó el y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π . Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero lo más significativo es que se realizó en una computadora hogareña construida por Kondo. ^[42] El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tardaron 64 y 66 horas respectivamente. ^[43]
4. En octubre de 2011, Shigeru Kondo rompió su propio récord al calcular diez billones (10 ¹³ ) y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con mejor hardware. ^{[44] [45]}
5. En diciembre de 2013, Kondo rompió su propio récord por segunda vez cuando calculó 12,1 billones de dígitos de π . ^[46]
6. En octubre de 2014, Sandon Van Ness, con el seudónimo "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π . ^[47]
7. En noviembre de 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22 459 157 718 361 ( π ^e  × 10 ¹² )). ^[48] El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, ^[47] la limitación para una mayor expansión fue principalmente el espacio de almacenamiento. ^[46]
8. En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao, empleada de Google , calculó 31,4 billones de dígitos de pi (aproximadamente 10 π ) utilizando máquinas de Google Cloud y y-cruncher . Esto tardó 121 días en completarse. ^[49]
9. En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos a lo largo de 303 días. ^{[50] [51]}
10. El 14 de agosto de 2021, un equipo (DAViS) de la Universidad de Ciencias Aplicadas de los Grisones anunció la finalización del cálculo de π a 62,8 (aproximadamente 20 π ) billones de dígitos. ^{[52] [53]}
11. El 8 de junio de 2022, Emma Haruka Iwao anunció en el blog de Google Cloud el cálculo de 100 billones (10 ¹⁴ ) de dígitos de π durante 158 días utilizando el y-cruncher de Alexander Yee . ^[54]
12. El 14 de marzo de 2024, Jordan Ranous, Kevin O'Brien y Brian Beeler calcularon π hasta 105 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. ^[55]
13. El 28 de junio de 2024, el equipo de StorageReview calculó π hasta 202 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. ^[56]

Aproximaciones prácticas

Dependiendo del propósito de un cálculo, π se puede aproximar usando fracciones para facilitar el cálculo. Las aproximaciones más notables son 22 ⁄ 7 ( error relativo de aproximadamente 4·10 ⁻⁴ ) y 355 ⁄ 113 (error relativo de aproximadamente 8·10 ⁻⁸ ). ^{[57] [58] [59]} En matemáticas chinas, las fracciones 22/7 y 355/113 se conocen como Yuelü (约率; yuēlǜ ; 'razón aproximada') y Milü (密率; mìlǜ ; 'razón cercana').

"Definiciones" no matemáticas deπ

De cierta importancia son los textos legales o históricos que supuestamente "definen π " como si tuviera algún valor racional, como el " Proyecto de ley Pi de Indiana " de 1897, que establecía que "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro" (lo que implicaría " π = 3,2 ") y un pasaje de la Biblia hebrea que implica que π = 3 .

Proyecto de ley de Indiana

El llamado "proyecto de ley Indiana Pi" de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor de Pi". En realidad, el proyecto de ley trataba de una supuesta solución al problema de la " cuadratura geométrica del círculo ". ^[60]

El proyecto de ley casi fue aprobado por la Asamblea General de Indiana en los EE. UU., y se ha afirmado que implica varios valores diferentes para π , aunque lo más cercano a afirmar explícitamente uno es la redacción "la relación entre el diámetro y la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro", lo que haría que π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , una discrepancia de casi el 2 por ciento. Un profesor de matemáticas que estaba presente el día en que el proyecto de ley se presentó para su consideración en el Senado, después de que hubiera sido aprobado en la Cámara, ayudó a detener la aprobación del proyecto de ley en su segunda lectura, después de lo cual la asamblea lo ridiculizó por completo antes de posponerlo indefinidamente .

Valor bíblico imputado

A veces se afirma ^{[ ¿quién? ]} que la Biblia hebrea implica que " π es igual a tres", basándose en un pasaje en 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4:2 que da medidas para la palangana redonda ubicada frente al Templo en Jerusalén con un diámetro de 10 codos y una circunferencia de 30 codos.

La cuestión se discute en el Talmud y en la literatura rabínica . ^[61] Entre las muchas explicaciones y comentarios están los siguientes:

• El rabino Nehemías explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría , ca. 150 d. C.) diciendo que el diámetro se medía desde el borde exterior mientras que la circunferencia se medía a lo largo del borde interior . Esta interpretación implica un borde de aproximadamente 0,225 codos (o, suponiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4 pulgadas), o un y un tercio de " mangos " de espesor (cf. NRSV y NRSV).
• Maimónides afirma (hacia el año 1168 d. C.) que π solo se puede conocer de forma aproximada, por lo que el valor 3 se consideró suficientemente preciso para fines religiosos. Algunos consideran que esta es la primera afirmación de que π es irracional ^[62] .

Todavía hay cierto debate sobre este pasaje en la erudición bíblica. ^{[ verificación fallida ] [63] [64]} Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o labio ensanchado) que se extiende hacia afuera desde el cuenco mismo por varias pulgadas para que coincida con la descripción dada en NRSV ^[65] En los versículos siguientes, el borde se describe como "de un palmo de espesor; y su borde estaba labrado como el borde de una copa, como la flor de un lirio: recibió y contuvo tres mil batos" NRSV, lo que sugiere una forma que se puede abarcar con una cuerda más corta que la longitud total del borde, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té .

Desarrollo de fórmulas eficientes

Aproximación de un polígono a un círculo

Arquímedes, en su Medición de un círculo , creó el primer algoritmo para el cálculo de π basado en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito. Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se determinan fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares de dos veces más lados que están inscritos y circunscritos en el mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que hoy se describiría de la siguiente manera: Sean p _k y P _k los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos en el mismo círculo, respectivamente. Entonces,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

Arquímedes utiliza esto para calcular sucesivamente P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ y p ₉₆ . ^[66] Utilizando estos últimos valores obtiene

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

No se sabe por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados; sólo hace falta paciencia para ampliar los cálculos. Heron informa en su Métrica (alrededor del año 60 d. C.) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. ^[67]

Arquímedes no utiliza trigonometría en este cálculo y la dificultad de aplicar el método reside en obtener buenas aproximaciones para las raíces cuadradas involucradas. La trigonometría, en forma de tabla de longitudes de cuerdas en un círculo, probablemente fue utilizada por Claudio Ptolomeo de Alejandría para obtener el valor de π dado en el Almagesto (circa 150 d.C.). ^[68]

Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se lograron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica de Willebrord Snell (1621) obtiene mejores límites a partir de un par de límites obtenidos a partir del método de polígonos. Por lo tanto, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. ^[69] La fórmula de Viète , publicada por François Viète en 1593, fue derivada por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyo número de lados son potencias de dos. ^[70]

El último gran intento de calcular π con este método lo llevó a cabo Grienberger en 1630, quien calculó 39 decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. ^[69]

Fórmula similar a la de Machin

Para cálculos rápidos, se pueden utilizar fórmulas como la de Machin :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

Junto con la expansión de la serie de Taylor de la función arctan ( x ). Esta fórmula se verifica más fácilmente utilizando coordenadas polares de números complejos , lo que produce:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

(( x ),( y ) = {239, 13 ² } es una solución de la ecuación de Pell x ²  − 2 y ² = −1.)

Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas de tipo Machin . La fórmula particular de Machin se utilizó hasta bien entrada la era informática para calcular números récord de dígitos de π ^[39] , pero más recientemente también se han utilizado otras fórmulas similares.

Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula similar a la de Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π : ^[39]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

y utilizaron otra fórmula parecida a la de Machin,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

como un cheque.

El récord de diciembre de 2002 de Yasumasa Kanada, de la Universidad de Tokio, se situaba en 1.241.100.000.000 de dígitos. Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas similares a las de Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

1982.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Stormer (1896).

Otras fórmulas clásicas

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

Liu Hui (ver también la fórmula de Viète ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}}$

Madhava :

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Transformación de convergencia de Newton /Euler: ^[71]

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}}$

donde m!! es el factorial doble , el producto de los números enteros positivos hasta m con la misma paridad .

Euler :

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

(Evaluado utilizando la serie anterior para arctan. )

Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

David Chudnovsky y Grigory Chudnovsky :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

El trabajo de Ramanujan es la base del algoritmo de Chudnovsky , el algoritmo más rápido utilizado, a partir del cambio de milenio, para calcular π .

Algoritmos modernos

Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan normalmente con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein . Este último, descubierto en 1985 por Jonathan y Peter Borwein , converge extremadamente rápido:

Para y ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

donde , la secuencia converge cuárticamente a π , dando alrededor de 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. Aunque la serie de Chudnovsky es solo convergente lineal, el algoritmo de Chudnovsky podría ser más rápido que los algoritmos iterativos en la práctica; eso depende de factores tecnológicos como los tamaños de memoria y los tiempos de acceso . ^[72] Para romper récords mundiales, los algoritmos iterativos se usan con menos frecuencia que el algoritmo de Chudnovsky ya que consumen mucha memoria. ${\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}}$ ${\displaystyle 1/a_{k}}$

El primer millón de dígitos de π y 1 ⁄ π están disponibles en el Proyecto Gutenberg . ^{[73] [74]} Un récord de cálculo anterior (diciembre de 2002) realizado por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio se situó en 1,24 billones de dígitos, que se calcularon en septiembre de 2002 en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que realiza 2 billones de operaciones por segundo, casi el doble de las que realizó la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de dígitos). Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas similares a las de Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ ( Kikuo Takano  (1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ ( F. C. M. Størmer  (1896)).

Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no tienen ninguna utilidad práctica, excepto para probar nuevas supercomputadoras. ^{[75] Propiedades como la} normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.

Aproximaciones diversas

Históricamente, se utilizaba la base 60 para los cálculos. En esta base, π se puede aproximar a ocho cifras significativas (decimales) con el número 3;8,29,44 ₆₀ , que es

${\displaystyle 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}}$

y π : ${\displaystyle \approxeq 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {30}{60^{2}}}-{\frac {30}{74^{3}}}+{\frac {555}{55^{6}}}+{\frac {1105}{86^{8}}}=3.141592653589793237...}$

Esta aproximación nos muestra el número exacto de los primeros 18 dígitos de Pi.

Además, se pueden utilizar las siguientes expresiones para estimar π :

• Preciso hasta tres dígitos:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.143^{+}}$

• Preciso hasta tres dígitos:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}}$

Karl Popper conjeturó que Platón conocía esta expresión, que creía que era exactamente π y que esto es responsable de parte de la confianza de Platón en la omnicompetencia de la geometría matemática, y de la repetida discusión de Platón sobre triángulos rectángulos especiales que son isósceles o mitades de triángulos equiláteros .

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}}$

• Preciso hasta cuatro dígitos:

${\displaystyle 1+e-\gamma =3.1410^{+},}$¿Dónde está la base del logaritmo natural y es la constante de Euler? ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}$^[76]

${\displaystyle {\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\ 2^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\ 8^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}=3.14142\ 1^{+}}$

• Preciso hasta cuatro dígitos (o cinco cifras significativas):

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}}$^[77]

• una aproximación de Ramanujan , precisa hasta 4 dígitos (o cinco cifras significativas):

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}$

• Preciso hasta cinco dígitos:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}}$^[78]

• Precisión de seis dígitos:

${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}}$ ^[79]

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}}$^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle 4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}}$^{[80] [81]}

• Preciso hasta siete dígitos:

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}}$

${\displaystyle {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}=3.14159\ 27^{+}}$- inversa del primer término de la serie de Ramanujan.

${\displaystyle \left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}}$^[82]

• Preciso hasta ocho dígitos:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}}$

${\displaystyle {\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt[{1234}]{2}}{\sqrt[{1068}]{2}}}{10}}=3.14159\ 268^{+}}$

${\displaystyle {\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}}$^[83]

Este es el caso que no se puede obtener a partir de la aproximación de Ramanujan (22). ^[84]

• Preciso hasta nueve dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

Esto proviene de Ramanujan , quien afirmó que la Diosa de Namagiri se le apareció en un sueño y le dijo el verdadero valor de π . ^[84]

• Preciso hasta diez dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{15}]{28658146}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• Preciso hasta diez dígitos:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• Preciso hasta diez dígitos (u once cifras significativas):

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$

Esta curiosa aproximación sigue la observación de que la potencia 193 de 1/ π produce la secuencia 1122211125... Reemplazar 5 por 2 completa la simetría sin reducir los dígitos correctos de π , mientras que insertar un punto decimal central fija notablemente la magnitud que lo acompaña en 10 ¹⁰⁰ . ^[85]

• Preciso hasta once dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{18}]{888582403}}=3.14159\ 26535\ 8^{+}}$

• Preciso hasta doce dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{20}]{8769956796}}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

• Preciso hasta 12 decimales:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

Esto se obtiene a partir de la serie de Chudnovsky (trunca la serie (1.4) ^[86] en el primer término y deja E ₆ ( τ ₁₆₃ ) ² / E ₄ ( τ ₁₆₃ ) ³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• Precisión de 16 dígitos:

${\displaystyle {\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}}$- inversa de la suma de los dos primeros términos de la serie de Ramanujan.

${\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}}$

• Precisión de 18 dígitos:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}}$

Esta es la aproximación (22) en el artículo de Ramanujan ^[84] con n = 253.

• Precisión de 19 dígitos:

${\displaystyle {\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}}$- inversa mejorada de la suma de los dos primeros términos de la serie de Ramanujan.

• Precisión de 24 dígitos:

${\displaystyle {\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}}$- inversa de la suma de los tres primeros términos de la serie de Ramanujan.

• Preciso hasta 25 decimales:

${\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}}$

Esto se deriva del invariante de clase de Ramanujan g ₁₀₀ = 2 ^5/8 /(5 ^1/4  − 1) . ^[84]

• Preciso hasta 30 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

Derivado de la proximidad de la constante de Ramanujan al entero 640320 ³ +744. Esto no admite generalizaciones obvias en los enteros, ^{[ aclaración necesaria ]} porque solo hay un número finito de números de Heegner y discriminantes negativos d con número de clase h (− d ) = 1, y d = 163 es el más grande en valor absoluto .

• Preciso hasta 52 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

Al igual que el anterior, una consecuencia del j-invariante . Entre los discriminantes negativos con número de clase 2, este d es el más grande en valor absoluto.

• Preciso hasta 52 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}}$

Esto se deriva del invariante de clase G ₃₈₅ de Ramanujan . ^[84]

• Preciso hasta 161 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

donde u es un producto de cuatro unidades cuárticas simples,

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

y,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

Basado en uno encontrado por Daniel Shanks . Similar a los dos anteriores, pero esta vez es un cociente de una forma modular , es decir, la función eta de Dedekind , y donde el argumento implica . El discriminante d = 3502 tiene h (− d ) = 16. ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}}$

• Precisión de 256 dígitos:

${\displaystyle {\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...}$

${\displaystyle ...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}}$- inversa mejorada de la suma de los primeros diecinueve términos de la serie de Chudnovsky.

• La representación de π en fracción continua se puede utilizar para generar sucesivas mejores aproximaciones racionales . Estas aproximaciones son las mejores aproximaciones racionales posibles de π en relación con el tamaño de sus denominadores. A continuación se incluye una lista de las primeras trece de ellas: ^{[87] [88]}

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

De estas, es la única fracción en esta secuencia que da más dígitos exactos de π (es decir, 7) que el número de dígitos necesarios para aproximarlo (es decir, 6). La precisión se puede mejorar utilizando otras fracciones con numeradores y denominadores más grandes, pero, para la mayoría de estas fracciones, se requieren más dígitos en la aproximación que cifras significativas correctas logradas en el resultado. ^[89] ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$

Sumar el área de un círculo

Aproximación numérica de π : como los puntos se encuentran dispersos aleatoriamente dentro del cuadrado unitario, algunos caen dentro del círculo unitario. La fracción de puntos dentro del círculo se acerca a π/4 a medida que se suman puntos.

Pi se puede obtener de un círculo si se conocen su radio y área utilizando la relación:

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Si se dibuja un círculo de radio r con centro en el punto (0, 0), cualquier punto cuya distancia desde el origen sea menor que r quedará dentro del círculo. El teorema de Pitágoras da la distancia desde cualquier punto ( x ,  y ) al centro:

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

El "papel cuadriculado" matemático se forma imaginando un cuadrado de 1×1 centrado alrededor de cada celda ( x ,  y ), donde x e y son números enteros entre − r y r . Los cuadrados cuyo centro se encuentra dentro o exactamente en el borde del círculo se pueden contar comprobando si, para cada celda ( x ,  y ),

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.}$

El número total de células que satisfacen esa condición se aproxima al área del círculo, que luego se puede utilizar para calcular una aproximación de π . Se pueden producir aproximaciones más precisas utilizando valores mayores de r .

Matemáticamente, esta fórmula se puede escribir:

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}}$

En otras palabras, comience eligiendo un valor para r . Considere todas las celdas ( x ,  y ) en las que tanto x como y son números enteros entre − r y r . Comenzando en 0, agregue 1 por cada celda cuya distancia al origen (0,0) sea menor o igual a r . Cuando termine, divida la suma, que representa el área de un círculo de radio r , por r ² para encontrar la aproximación de π . Por ejemplo, si r es 5, entonces las celdas consideradas son:

Este círculo tal como se dibujaría en un gráfico de coordenadas cartesianas . Las celdas (±3, ±4) y (±4, ±3) están etiquetadas.

Las 12 celdas (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) están exactamente en el círculo, y 69 celdas están completamente dentro de , por lo que el área aproximada es 81, y se calcula que π es aproximadamente 3,24 porque 81 ⁄ 5 ² = 3,24. Los resultados para algunos valores de r se muestran en la siguiente tabla:

Para obtener resultados relacionados, consulte El problema del círculo: número de puntos (x,y) en una red cuadrada con x^2 + y^2 <= n.

De manera similar, las aproximaciones más complejas de π que se dan a continuación implican cálculos repetidos de algún tipo, lo que produce aproximaciones cada vez más cercanas con un número creciente de cálculos.

Fracciones continuas

Además de su representación de fracción continua simple [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,  ...], que no muestra un patrón discernible, π tiene muchas representaciones de fracción continua generalizadas generadas por una regla simple, incluidas estas dos.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$

El resto de la serie Madhava-Leibniz se puede expresar como fracción continua generalizada de la siguiente manera. ^[80]

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )}$

Tenga en cuenta que el término de corrección de Madhava es

${\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}}$.

Los valores conocidos 22 ⁄ 7 y 355 ⁄ 113 son respectivamente la segunda y cuarta aproximaciones de fracción continua de π. (Otras representaciones están disponibles en el sitio de funciones Wolfram).

Trigonometría

Serie de Gregory-Leibniz

La serie de Gregory-Leibniz

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)}$

es la serie de potencias para arctan (x) especializada en x  = 1. Converge demasiado lentamente para ser de interés práctico. Sin embargo, la serie de potencias converge mucho más rápido para valores más pequeños de , lo que conduce a fórmulas donde surge como la suma de ángulos pequeños con tangentes racionales, conocidas como fórmulas de tipo Machin . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$

Arcotangente

Sabiendo que 4 arctan 1 = π , la fórmula se puede simplificar para obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}}$

con una convergencia tal que cada 10 términos adicionales producen al menos tres dígitos más.

${\displaystyle \pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)}$

Esta serie es la base de un algoritmo de espiga decimal de Rabinowitz y Wagon. ^[90]

Otra fórmula para involucrar la función arcotangente está dada por ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,}$

donde tal que . Se pueden hacer aproximaciones utilizando, por ejemplo, la fórmula de Euler de convergencia rápida ^[91] ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.}$

Alternativamente, se puede utilizar la siguiente serie de expansión simple de la función arcotangente

${\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}}$

para aproximarse con una convergencia aún más rápida. La convergencia en esta fórmula de arcotangente para mejora a medida que aumenta el número entero. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k}$

La constante también se puede expresar mediante la suma infinita de funciones arcotangentes como ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

y

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

donde es el n -ésimo número de Fibonacci . Sin embargo, estas dos fórmulas para convergen mucho más lentamente debido al conjunto de funciones arcotangentes que intervienen en el cálculo. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$

Arcoseno

Observando un triángulo equilátero y notando que

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}}$

rendimientos

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}}$

con una convergencia tal que cada cinco términos adicionales producen al menos tres dígitos más.

Métodos de extracción de dígitos

La fórmula Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) para calcular π fue descubierta en 1995 por Simon Plouffe. Mediante el uso de la matemática de base 16 , la fórmula puede calcular cualquier dígito particular de π (devolviendo el valor hexadecimal del dígito) sin tener que calcular los dígitos intermedios (extracción de dígitos). ^[92]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

En 1996, Simon Plouffe derivó un algoritmo para extraer el n- ésimo dígito decimal de π (usando  matemáticas de base 10 para extraer un  dígito de base 10), y que puede hacerlo con una velocidad mejorada de O ( n ³ (log n ) ³ ) tiempo. El algoritmo prácticamente no requiere memoria para el almacenamiento de una matriz, por lo que el dígito un millonésimo de π se puede calcular usando una calculadora de bolsillo. ^[93] Sin embargo, sería bastante tedioso y poco práctico hacerlo.

${\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}}$

La velocidad de cálculo de la fórmula de Plouffe fue mejorada a O ( n ² ) por Fabrice Bellard , quien derivó una fórmula alternativa (aunque sólo en  matemática base 2) para calcular π . ^[94]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Métodos eficientes

El matemático indio Srinivasa Ramanujan desarrolló y publicó muchas otras expresiones para π . Trabajó con el matemático Godfrey Harold Hardy en Inglaterra durante varios años.

Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan normalmente con el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein ; también se ha utilizado el algoritmo de Salamin-Brent , inventado en 1976.

En 1997, David H. Bailey , Peter Borwein y Simon Plouffe publicaron un artículo (Bailey, 1997) sobre una nueva fórmula para π como una serie infinita :

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

Esta fórmula permite calcular con bastante facilidad el k -ésimo dígito binario o hexadecimal de π , sin tener que calcular los k  − 1 dígitos anteriores. El sitio web de Bailey ^[95] contiene la derivación, así como las implementaciones en varios lenguajes de programación . El proyecto PiHex calculó 64 bits alrededor del bit cuatrillón de π (que resulta ser 0).

Fabrice Bellard mejoró aún más el BBP con su fórmula : ^[96]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

1. Newton .

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Srinivasa Ramanujan .

Esta convergencia es extraordinariamente rápida. El trabajo de Ramanujan es la base de los algoritmos más rápidos utilizados, a partir del cambio de milenio, para calcular π .

En 1988, David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky encontraron una serie con convergencia aún más rápida (el algoritmo de Chudnovsky ):

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$.

A continuación se muestra la velocidad de varios algoritmos para calcular de pi a n dígitos correctos en orden descendente de complejidad asintótica. M(n) es la complejidad del algoritmo de multiplicación empleado.

Proyectos

Pi hexadecimal

Pi Hex fue un proyecto para calcular tres dígitos binarios específicos de π utilizando una red distribuida de varios cientos de computadoras. En 2000, después de dos años, el proyecto terminó de calcular los cinco billonésimos (5*10 ¹² ), los cuadragésimos billonésimos y los cuatrillónésimos (10 ¹⁵ ) bits. Los tres resultaron ser 0.

Software para calcularπ

A lo largo de los años, se han escrito varios programas para calcular π con muchos dígitos en computadoras personales .

Propósito general

La mayoría de los sistemas de álgebra computacional pueden calcular π y otras constantes matemáticas comunes con cualquier precisión deseada.

Las funciones para calcular π también están incluidas en muchas bibliotecas generales para aritmética de precisión arbitraria , por ejemplo, Class Library for Numbers , MPFR y SymPy .

Propósito especial

Los programas diseñados para calcular π pueden tener un mejor rendimiento que el software matemático de uso general. Por lo general, implementan puntos de control e intercambio eficiente de discos para facilitar cálculos de ejecución extremadamente prolongada y que consumen mucha memoria.

• TachusPi de Fabrice Bellard ^[97] es el programa utilizado por él mismo para calcular el número récord mundial de dígitos de Pi en 2009.
• y -cruncherde Alexander Yee^[47]es el programa que todos los poseedores de récords mundiales desde Shigeru Kondo en 2010 han utilizado para calcular números récord mundiales de dígitos.y-cruncher también se puede utilizar para calcular otras constantes y posee récords mundiales para varias de ellas.
• PiFast de Xavier Gourdon fue el programa más rápido para Microsoft Windows en 2003. Según su autor, puede calcular un millón de dígitos en 3,5 segundos en un Pentium 4 de 2,4 GHz . ^[98] PiFast también puede calcular otros números irracionales como e y √ 2 . También puede funcionar con menor eficiencia con muy poca memoria (hasta unas pocas decenas de megabytes para calcular más de mil millones (10 ⁹ ) dígitos). Esta herramienta es un punto de referencia popular en la comunidad de overclocking . PiFast 4.4 está disponible en la página de Pi de Stu. PiFast 4.3 está disponible en la página de Gourdon.
• QuickPi de Steve Pagliarulo para Windows es más rápido que PiFast para ejecuciones de menos de 400 millones de dígitos. La versión 4.5 está disponible en la página de Pi de Stu que aparece a continuación. Al igual que PiFast, QuickPi también puede calcular otros números irracionales como e , √ 2 y √ 3. El software se puede obtener en el foro de Pi-Hacks Yahoo! o en la página de Pi de Stu.
• Super PI del Laboratorio Kanada ^[99] de la Universidad de Tokio es un programa para Microsoft Windows que funciona con entre 16.000 y 33.550.000 dígitos. Puede calcular un millón de dígitos en 40 minutos, dos millones de dígitos en 90 minutos y cuatro millones de dígitos en 220 minutos en un Pentium de 90 MHz. La versión 1.9 de Super PI está disponible en la página de Super PI 1.9.

Véase también

• Aproximación diofántica
• Milü
• Término de corrección de Madhava
• Pi es 3

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    chaturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāśaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vr̥ttapariṇahaḥ .

    "Suma cuatro a cien, multiplica por ocho y luego suma sesenta y dos mil. El resultado es aproximadamente la circunferencia de un círculo de diámetro veinte mil. Con esta regla se obtiene la relación entre la circunferencia y el diámetro."

    En otras palabras, (4 + 100) × 8 + 62000 es la circunferencia de un círculo con diámetro 20000. Esto proporciona un valor de π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Tercera ed.). Nueva York: WH Freeman and Company . p. 70.
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    ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
    

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