En geometría , un apeirógono (del griego antiguo ἄπειρος apeiros 'infinito, sin límites' y γωνία gonia 'ángulo') o polígono infinito es un polígono con un número infinito de lados. Los apeirógonos son el caso de rango 2 de politopos infinitos . En alguna literatura, el término "apeirogono" puede referirse solo al apeirógono regular , con un grupo diedro infinito de simetrías . [1]
Dado un punto A 0 en un espacio euclidiano y una traslación S , definamos el punto A i como el punto obtenido a partir de i aplicaciones de la traslación S a A 0 , por lo que A i = S i ( A 0 ). El conjunto de vértices A i con i cualquier entero, junto con las aristas que conectan vértices adyacentes, es una secuencia de segmentos de igual longitud de una línea, y se denomina apeirógono regular según la definición de HSM Coxeter . [1]
Un apeirógono regular puede definirse como una partición de la línea euclidiana E 1 en un número infinito de segmentos de igual longitud. Generaliza el n -gono regular , que puede definirse como una partición del círculo S 1 en un número finito de segmentos de igual longitud. [2]
El pseudogono regular es una partición de la línea hiperbólica H 1 (en lugar de la línea euclidiana) en segmentos de longitud 2λ, como un análogo del apeirógono regular. [2]
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado P (cuyos elementos se denominan caras ) con propiedades que modelan las de las inclusiones de caras de politopos convexos . El rango (o dimensión) de un politopo abstracto está determinado por la longitud de las cadenas máximas ordenadas de sus caras, y un politopo abstracto de rango n se denomina n - politopo abstracto. [3] : 22–25
Para los politopos abstractos de rango 2, esto significa que: A) los elementos del conjunto parcialmente ordenado son conjuntos de vértices con vértice cero (el conjunto vacío ), un vértice, dos vértices (una arista ), o el conjunto de vértices completo (una cara bidimensional), ordenados por inclusión de conjuntos; B) cada vértice pertenece exactamente a dos aristas; C) el grafo no dirigido formado por los vértices y las aristas es conexo. [3] : 22–25 [4] : 224
Un politopo abstracto se llama apeirótopo abstracto si tiene infinitos elementos; un 2-apeirotopo abstracto se llama apeirógono abstracto . [3] : 25
Una realización de un politopo abstracto es una aplicación de sus vértices a puntos de un espacio geométrico (normalmente un espacio euclidiano ). [3] : 121 Una realización fiel es una realización tal que la aplicación de vértices es inyectiva . [3] : 122 [nota 1] Todo apeirógono geométrico es una realización del apeirógono abstracto.
El grupo diedro infinito G de simetrías de un apeirógono geométrico regular se genera mediante dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. [3] : 140–141 [4] : 231 El producto de las dos reflexiones se puede descomponer como un producto de una traslación no nula, un número finito de rotaciones y una reflexión posiblemente trivial. [3] : 141 [4] : 231
En un politopo abstracto, una bandera es una colección de una cara de cada dimensión, todas incidentes entre sí (es decir, comparables en el orden parcial); un politopo abstracto se llama regular si tiene simetrías (permutaciones de sus elementos que preservan la estructura) que llevan cualquier bandera a cualquier otra bandera. En el caso de un politopo abstracto bidimensional, esto es automáticamente cierto; las simetrías del apeirógono forman el grupo diedro infinito . [3] : 31
Una realización simétrica de un apeirógono abstracto se define como una aplicación de sus vértices a un espacio geométrico de dimensión finita (normalmente un espacio euclidiano ) tal que cada simetría del apeirógono abstracto corresponde a una isometría de las imágenes de la aplicación. [3] : 121 [4] : 225
En general, el espacio de módulos de una realización fiel de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. [3] : 127 [4] : 229–230 El cono de realización del apeirógono abstracto tiene una dimensión algebraica infinitamente incontable y no puede cerrarse en la topología euclidiana . [3] : 141 [4] : 232
La realización simétrica de cualquier polígono regular en el espacio euclidiano de dimensión mayor que 2 es reducible , lo que significa que puede hacerse como una mezcla de dos polígonos de dimensión inferior. [3] Esta caracterización de los polígonos regulares caracteriza naturalmente también a los apeirógonos regulares. Los apeirógonos discretos son el resultado de mezclar el apeirógono unidimensional con otros polígonos. [4] : 231 Dado que cada polígono es un cociente del apeirógono, la mezcla de cualquier polígono con un apeirógono produce otro apeirógono. [3]
En dos dimensiones, los apeirógonos regulares discretos son los polígonos en zigzag infinitos , [5] resultantes de la fusión del apeirógono unidimensional con el digión , representado con el símbolo de Schläfli {∞}#{2} , {∞}#{} o . [3]
En tres dimensiones, los apeirógonos regulares discretos son los polígonos helicoidales infinitos, [5] con vértices espaciados uniformemente a lo largo de una hélice . Estos son el resultado de mezclar el apeirógono unidimensional con un polígono bidimensional, {∞}#{ p / q } o . [3]
Los apeiroedros son los análogos de rango 3 de los apeirógonos, y son los análogos infinitos de los poliedros . [6] De manera más general, los n - apeirotopos o n -politopos infinitos son los análogos n -dimensionales de los apeirógonos, y son los análogos infinitos de n - politopos . [3] : 22–25
