En geometría , un polígono oblicuo infinito o apeirógono oblicuo es un politopo infinito de 2 dimensiones con vértices que no son todos colineales . Los polígonos oblicuo infinitos en zigzag son polígonos oblicuo infinitos de 2 dimensiones con vértices que se alternan entre dos líneas paralelas. Los polígonos helicoidales infinitos son polígonos oblicuo infinitos de 3 dimensiones con vértices en la superficie de un cilindro .
Existen polígonos oblicuos regulares infinitos en los polígonos de Petrie de los grupos de Coxeter afines e hiperbólicos . Se construyen con un solo operador como compuesto de todas las reflexiones del grupo de Coxeter.
Un apeirógono oblicuo regular en zigzag tiene simetría de grupo de friso (2*∞), D ∞d .
Los apeirógonos oblicuos en zigzag regulares existen como polígonos de Petrie de las tres teselas regulares del plano: {4,4}, {6,3} y {3,6}. Estos apeirógonos oblicuos en zigzag regulares tienen ángulos internos de 90°, 120° y 60° respectivamente, a partir de los polígonos regulares dentro de las teselas:
Un apeirógono isotoxal tiene un tipo de arista, entre dos tipos de vértices alternados. Hay un grado de libertad en el ángulo interno α. {∞ α } es el polígono dual de un apeirógono oblicuo isogonal.
Un apeirógono oblicuo isogonal alterna dos tipos de aristas con diversas simetrías de grupo Frieze . Los apeirógonos oblicuos en zigzag regulares distorsionados producen apeirógonos oblicuos en zigzag isogonales con simetría traslacional:
Otros apeirógonos oblicuos isogonales tienen aristas alternas paralelas a la dirección del friso. Estos apeirógonos oblicuos alargados e isogonales tienen simetría especular vertical en los puntos medios de las aristas paralelas a la dirección del friso:
Un apeirógono oblicuo alargado isogonal tiene dos tipos de aristas diferentes; si ambos tipos de aristas tienen la misma longitud, no se puede llamar regular porque sus dos tipos de aristas siguen siendo diferentes ("arista trans" y "arista cis"), pero se puede llamar cuasirregular.
Los apeirógonos oblicuos alargados cuasirregulares de ejemplo pueden verse como polígonos de Petrie truncados en teselas regulares truncadas del plano euclidiano:
De manera similar, se encuentran polígonos oblicuos regulares infinitos en el plano euclidiano y en el plano hiperbólico .
Los polígonos oblicuos regulares infinitos hiperbólicos también existen como polígonos de Petrie que trazan trayectorias de aristas en zigzag en todas las teselas regulares del plano hiperbólico . Y, de nuevo, como en el plano euclidiano, los polígonos oblicuos cuasirregulares infinitos hiperbólicos se pueden construir como polígonos de Petrie truncados dentro de las aristas de todas las teselas regulares truncadas del plano hiperbólico.
Un polígono helicoidal (oblicuo) infinito puede existir en tres dimensiones, donde los vértices pueden verse limitados a la superficie de un cilindro . El boceto de la derecha es una vista en perspectiva 3D de un polígono helicoidal regular infinito.
Este polígono helicoidal infinito se puede ver, en su mayoría, como construido a partir de los vértices de una pila infinita de prismas o antiprismas n -gonales uniformes , aunque en general el ángulo de torsión no está limitado a un divisor entero de 180°. Un polígono helicoidal (sesgado) infinito tiene simetría de eje helicoidal .
Una pila infinita de prismas , por ejemplo cubos, contiene un polígono helicoidal infinito a través de las diagonales de las caras cuadradas, con un ángulo de torsión de 90° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {4}.
Una pila infinita de antiprismas, por ejemplo octaedros , forma infinitos polígonos helicoidales, 3 aquí resaltados en rojo, verde y azul, cada uno con un ángulo de torsión de 60° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {6}.
Una secuencia de aristas de una hélice de Boerdijk-Coxeter puede representar polígonos helicoidales regulares infinitos con un ángulo de torsión irracional:
Una pila de prismas rectos puede generar apeirógonos helicoidales isogonales alternando aristas alrededor del eje y a lo largo del eje; por ejemplo, una pila de cubos puede generar este apeirógono helicoidal isogonal alternando aristas rojas y azules:
De manera similar, una pila alternada de prismas y antiprismas puede producir un polígono helicoidal isogonal infinito; por ejemplo, una pila triangular de prismas y antiprismas con un polígono helicoidal isogonal infinito:
También se puede construir un polígono helicoidal isogonal infinito con un ángulo de torsión irracional a partir de tetraedros truncados apilados como una hélice de Boerdijk-Coxeter , alternando dos tipos de aristas, entre pares de caras hexagonales y pares de caras triangulares:
