Anillo local

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , los anillos locales son ciertos anillos que son comparativamente simples y sirven para describir lo que se llama "comportamiento local", en el sentido de funciones definidas en variedades o variedades algebraicas , o de cuerpos de números algebraicos examinados en un lugar particular , o primo. El álgebra local es la rama del álgebra conmutativa que estudia los anillos locales conmutativos y sus módulos .

En la práctica, un anillo local conmutativo a menudo surge como resultado de la localización de un anillo en un ideal primo .

El concepto de anillos locales fue introducido por Wolfgang Krull en 1938 bajo el nombre de Stellenringe . ^[1] El término inglés local ring se debe a Zariski . ^[2]

Definición y primeras consecuencias

Un anillo R es un anillo local si tiene cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:

R tiene un ideal izquierdo máximo único .
R tiene un ideal derecho máximo único.
1 ≠ 0 y la suma de dos no unidades en R es una no unidad.
1 ≠ 0 y si x es cualquier elemento de R , entonces x o 1 − x es una unidad.
Si una suma finita es una unidad, entonces tiene un término que es una unidad (esto dice en particular que la suma vacía no puede ser una unidad, por lo que implica 1 ≠ 0).

Si se cumplen estas propiedades, entonces el único ideal izquierdo máximo coincide con el único ideal derecho máximo y con el radical de Jacobson del anillo . La tercera de las propiedades enumeradas anteriormente dice que el conjunto de no unidades en un anillo local forma un ideal (propio), ^[3] necesariamente contenido en el radical de Jacobson. La cuarta propiedad puede parafrasearse de la siguiente manera: un anillo R es local si y solo si no existen dos ideales propios ( principales ) (izquierdos) coprimos , donde dos ideales I ₁ , I ₂ se llaman coprimos si R = I ₁ + I ₂ .

^[4] En el caso de los anillos conmutativos , no es necesario distinguir entre ideales izquierdos, derechos y bilaterales: un anillo conmutativo es local si y solo si tiene un ideal maximal único. Antes de 1960, muchos autores exigían que un anillo local fuera noetheriano (izquierdo y derecho) , y los anillos locales (posiblemente no noetherianos) se denominaban anillos cuasilocales . En este artículo no se impone este requisito.

Un anillo local que es un dominio integral se denomina dominio local .

Ejemplos

Todos los campos (y campos sesgados ) son anillos locales, ya que {0} es el único ideal maximal en estos anillos.
El anillo es un anillo local ( $p$ primo, $n$ $\geq 1$ ). El ideal maximal único consiste en todos los múltiplos de $p$ . $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$
De manera más general, un anillo distinto de cero en el que cada elemento es una unidad o nilpotente es un anillo local.
Una clase importante de anillos locales son los anillos de valoración discretos , que son dominios ideales principales locales que no son campos.
El anillo , cuyos elementos son series infinitas donde las multiplicaciones están dadas por tales que , es local. Su único ideal maximalista está formado por todos los elementos que no son invertibles. En otras palabras, está formado por todos los elementos con término constante cero. $\mathbb {C} [[x]]$ ${\textstyle \suma _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ ${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
De manera más general, todo anillo de series de potencias formales sobre un anillo local es local; el ideal máximo consiste en aquellas series de potencias con término constante en el ideal máximo del anillo base.
De manera similar, el álgebra de números duales sobre cualquier cuerpo es local. De manera más general, si F es un anillo local y n es un entero positivo, entonces el anillo cociente F [ X ]/( X ⁿ ) es local con ideal maximalista que consiste en las clases de polinomios con término constante que pertenecen al ideal maximalista de F , ya que se puede usar una serie geométrica para invertir todos los demás polinomios módulo X ⁿ . Si F es un cuerpo, entonces los elementos de F [ X ]/( X ⁿ ) son nilpotentes o invertibles . (Los números duales sobre F corresponden al caso n = 2 .)
Los anillos cocientes distintos de cero de anillos locales son locales.
El anillo de los números racionales con denominador impar es local, su ideal máximo está constituido por las fracciones con numerador par y denominador impar. Son los números enteros localizados en 2.
De manera más general, dado cualquier anillo conmutativo R y cualquier ideal primo P de R , la localización de R en P es local; el ideal maximal es el ideal generado por P en esta localización; es decir, el ideal maximal consiste en todos los elementos a / s con a ∈ P y s ∈ R - P .

No-ejemplos

El anillo de polinomios sobre un cuerpo no es local, ya que y no son unidades, pero su suma es una unidad. ${\estilo de visualización K[x]}$ ${\estilo de visualización K}$ ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización 1-x}$
El anillo de números enteros no es local ya que tiene un ideal maximal para cada primo . $\mathbb {Z}$ ${\estilo de visualización (p)}$ ${\estilo de visualización p}$
$\mathbb {Z}$ /( pq ) , donde p y q son números primos distintos. Tanto ( p ) como ( q ) son ideales máximos aquí. $\mathbb {Z}$

Anillo de gérmenes

Para justificar el nombre "local" de estos anillos, consideramos funciones continuas de valor real definidas en algún intervalo abierto alrededor de 0 de la recta real . Solo nos interesa el comportamiento de estas funciones cerca de 0 (su "comportamiento local") y, por lo tanto, identificaremos dos funciones si coinciden en algún intervalo abierto (posiblemente muy pequeño) alrededor de 0. Esta identificación define una relación de equivalencia , y las clases de equivalencia son lo que se denominan los " gérmenes de funciones continuas de valor real en 0". Estos gérmenes se pueden sumar y multiplicar y formar un anillo conmutativo.

Para ver que este anillo de gérmenes es local, necesitamos caracterizar sus elementos invertibles. Un germen f es invertible si y sólo si f (0) ≠ 0 . La razón: si f (0) ≠ 0 , entonces por continuidad hay un intervalo abierto alrededor de 0 donde f es distinto de cero, y podemos formar la función g ( x ) = 1/ f ( x ) en este intervalo. La función g da lugar a un germen, y el producto de fg es igual a 1. (Por el contrario, si f es invertible, entonces hay algún g tal que f (0) g (0) = 1, por lo tanto f (0) ≠ 0 .)

Con esta caracterización, queda claro que la suma de dos gérmenes cualesquiera no invertibles es nuevamente no invertible, y tenemos un anillo local conmutativo. El ideal maximal de este anillo consiste precisamente en aquellos gérmenes f con f (0) = 0 .

Exactamente los mismos argumentos funcionan para el anillo de gérmenes de funciones continuas de valor real en cualquier espacio topológico en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones diferenciables en cualquier variedad diferenciable en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones racionales en cualquier variedad algebraica en un punto dado. Todos estos anillos son, por lo tanto, locales. Estos ejemplos ayudan a explicar por qué los esquemas , las generalizaciones de variedades, se definen como espacios especiales anillados localmente .

Teoría de la valoración

Los anillos locales desempeñan un papel importante en la teoría de la valoración. Por definición, un anillo de valoración de un cuerpo K es un subanillo R tal que para cada elemento distinto de cero x de K , al menos uno de x y x ⁻¹ está en R . Cualquier subanillo de este tipo será un anillo local. Por ejemplo, el anillo de números racionales con denominador impar (mencionado anteriormente) es un anillo de valoración en . $\mathbb {Q}$

Dado un cuerpo K , que puede ser o no un cuerpo de funciones , podemos buscar anillos locales en él. Si K fuera de hecho el cuerpo de funciones de una variedad algebraica V , entonces para cada punto P de V podríamos intentar definir un anillo de valoración R de funciones "definidas en" P . En los casos en que V tiene dimensión 2 o más hay una dificultad que se ve de esta manera: si F y G son funciones racionales en V con

F ( P ) = G ( P ) = 0,

La función

F / G

es una forma indeterminada en P . Considerando un ejemplo simple, como

Y / X ,

se acercó a lo largo de una línea

Y = tX ,

Se observa que el valor en P es un concepto sin una definición sencilla. Se sustituye por el uso de valoraciones.

No conmutativo

Los anillos locales no conmutativos surgen de forma natural como anillos de endomorfismo en el estudio de las descomposiciones de suma directa de módulos sobre otros anillos. En concreto, si el anillo de endomorfismo del módulo M es local, entonces M es indecomponible ; a la inversa, si el módulo M tiene una longitud finita y es indecomponible, entonces su anillo de endomorfismo es local.

Si k es un campo de característica p > 0 y G es un p -grupo finito , entonces el álgebra de grupo kG es local.

Algunos datos y definiciones

Caso conmutativo

También escribimos ( R , m ) para un anillo local conmutativo R con ideal maximalista m . Cada uno de estos anillos se convierte en un anillo topológico de manera natural si uno toma las potencias de m como una base de vecindad de 0. Esta es la topología m -ádica en R . Si ( R , m ) es un anillo local noetheriano conmutativo , entonces

\bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}

( Teorema de intersección de Krull ), y se sigue que R con la topología m -ádica es un espacio de Hausdorff . El teorema es una consecuencia del lema de Artin-Rees junto con el lema de Nakayama y, como tal, el supuesto "noetheriano" es crucial. De hecho, sea R el anillo de gérmenes de funciones infinitamente diferenciables en 0 en la recta real y m el ideal maximal . Entonces una función distinta de cero pertenece a para cualquier n , ya que esa función dividida por sigue siendo suave. ${\estilo de visualización (x)}$ $e^{-{1 \sobre x^{2}}}$ $Estilo de visualización m^{n}}$ $Estilo de visualización x^{n}}$

Como en el caso de cualquier anillo topológico, se puede preguntar si ( R , m ) es completo (como un espacio uniforme ); si no lo es, se considera su completitud , nuevamente un anillo local. Los anillos locales noetherianos completos se clasifican mediante el teorema de estructura de Cohen .

En geometría algebraica, especialmente cuando R es el anillo local de un esquema en algún punto P , R / m se denomina campo de residuos del anillo local o campo de residuos del punto P .

Si ( R , m ) y ( S , n ) son anillos locales, entonces un homomorfismo de anillo local de R a S es un homomorfismo de anillo f : R → S con la propiedad f ( m ) ⊆ n . ^[5] Estos son precisamente los homomorfismos de anillo que son continuos con respecto a las topologías dadas en R y S . Por ejemplo, considere el morfismo de anillo que envía . La preimagen de es . Otro ejemplo de un morfismo de anillo local está dado por . $\mathbb {C}[x]/(x^{3})\to \mathbb {C}[x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})$ $x\mapsto x$ $(x,y)$ $(x)$ $\mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})$

Caso general

El radical de Jacobson m de un anillo local R (que es igual al único ideal máximo izquierdo y también al único ideal máximo derecho) consiste precisamente en las no unidades del anillo; además, es el único ideal máximo bilateral de R . Sin embargo, en el caso no conmutativo, tener un único ideal máximo bilateral no es equivalente a ser local. ^[6]

Para un elemento x del anillo local R , son equivalentes:

x tiene una inversa izquierda
x tiene una inversa derecha
x es invertible
x no está en m .

Si ( R , m ) es local, entonces el anillo de factores R / m es un cuerpo sesgado . Si J ≠ R es cualquier ideal bilateral en R , entonces el anillo de factores R / J es nuevamente local, con ideal máximo m / J .

Un teorema profundo de Irving Kaplansky dice que cualquier módulo proyectivo sobre un anillo local es libre , aunque el caso en que el módulo es finitamente generado es un corolario simple del lema de Nakayama . Esto tiene una consecuencia interesante en términos de equivalencia de Morita . Es decir, si P es un módulo proyectivo finitamente generado R , entonces P es isomorfo al módulo libre R ⁿ , y por lo tanto el anillo de endomorfismos es isomorfo al anillo completo de matrices . Dado que cada anillo equivalente de Morita al anillo local R es de la forma para tal P , la conclusión es que los únicos anillos equivalentes de Morita a un anillo local R son (isomorfos a) los anillos de matrices sobre R . $\mathrm {End} _{R}(P)$ $\mathrm {M} _{n}(R)$ $\mathrm {End} _{R}(P)$

Notas

^ Krull, Wolfgang (1938). "Teoría de las dimensiones en los anillos de expansión". J. Reine Angew. Math. (en alemán). 1938 (179): 204. doi :10.1515/crll.1938.179.204. S2CID 115691729.
^ Zariski, Oscar (mayo de 1943). "Fundamentos de una teoría general de correspondencias biracionales" (PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 53 (3). American Mathematical Society: 490–542 [497]. doi : 10.2307/1990215 . JSTOR 1990215.
^ Lam (2001), pág. 295, Teoría 19.1.
^ Weisstein, Eric W. "Anillo local". mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de agosto de 2024 .
^ "Etiqueta 07BI".
^ Las matrices de 2 por 2 sobre un campo, por ejemplo, tienen un único ideal máximo {0}, pero tienen múltiples ideales máximos derechos e izquierdos.

Referencias

Lam, TY (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0.
Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . Vol. 2 (2.ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

Véase también

Enlaces externos

La filosofía detrás de los anillos locales