Anillo de cociente

Reduction of a ring by one of its ideals

En teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un anillo cociente , también conocido como anillo factorial , anillo de diferencia ^[1] o anillo de clase de residuo , es una construcción bastante similar al grupo cociente en teoría de grupos y al espacio cociente en álgebra lineal . ^{[2] [3]} Es un ejemplo específico de un cociente , visto desde el contexto general del álgebra universal . Comenzando con un anillo y un ideal bilateral en , se construye un nuevo anillo, el anillo cociente , cuyos elementos son los coconjuntos de en sujetos a operaciones y especiales. (La notación del anillo cociente siempre usa una fracción con barra "/".) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$

Los anillos de cocientes se distinguen del llamado "campo de cocientes", o campo de fracciones , de un dominio integral , así como de los "anillos de cocientes" más generales obtenidos por localización .

Construcción del anillo de cociente formal

Dado un anillo y un ideal bilateral en , podemos definir una relación de equivalencia en de la siguiente manera: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle a\sim b}$ si y solo si está en . ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle I}$

Utilizando las propiedades ideales, no es difícil comprobar que es una relación de congruencia . En el caso , decimos que y son congruentes módulo (por ejemplo, y son congruentes módulo ya que su diferencia es un elemento del ideal , los enteros pares ). La clase de equivalencia del elemento en viene dada por: ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \left[a\right]=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace }$$

Esta clase de equivalencia a veces también se escribe y se denomina "clase de residuo de módulo ". ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$

El conjunto de todas esas clases de equivalencia se denota por ; se convierte en un anillo, el anillo de factores o anillo de cocientes de módulo , si se define ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.

(Aquí hay que comprobar que estas definiciones estén bien definidas . Compárese el grupo coconjunto y el grupo cociente .) El elemento cero de es , y la identidad multiplicativa es . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}$ ${\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}$

La función de a definida por es un homomorfismo de anillo sobreyectivo , a veces llamado función cociente natural u homomorfismo canónico . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle p(a)=a+I}$

Ejemplos

• El anillo cociente es naturalmente isomorfo a , y es el anillo cero , ya que, por nuestra definición, para cualquier , tenemos que , que es igual a sí mismo. Esto se ajusta a la regla general de que cuanto mayor sea el ideal , menor será el anillo cociente . Si es un ideal propio de , es decir, , entonces no es el anillo cero. ${\displaystyle R/\lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/R}$ ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle \left[r\right]=r+R=\left\lbrace r+b:b\in R\right\rbrace }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\neq R}$ ${\displaystyle R/I}$

• Consideremos el anillo de los números enteros y el ideal de los números pares , denotado por . Entonces el anillo del cociente tiene solo dos elementos, la clase lateral que consiste en los números pares y la clase lateral que consiste en los números impares; aplicando la definición, , donde es el ideal de los números pares. Es naturalmente isomorfo al cuerpo finito con dos elementos, . Intuitivamente: si piensas en todos los números pares como , entonces cada entero es (si es par) o (si es impar y por lo tanto difiere de un número par en ). La aritmética modular es esencialmente aritmética en el anillo del cociente (que tiene elementos). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

• Ahora considere el anillo de polinomios en la variable con coeficientes reales , , y el ideal que consiste en todos los múltiplos del polinomio . El anillo del cociente es naturalmente isomorfo al campo de números complejos , con la clase jugando el papel de la unidad imaginaria . La razón es que "forzamos" , es decir , que es la propiedad definitoria de . Dado que cualquier exponente entero de debe ser o , eso significa que todos los polinomios posibles esencialmente se simplifican a la forma . (Para aclarar, el anillo del cociente es en realidad naturalmente isomorfo al campo de todos los polinomios lineales , donde las operaciones se realizan módulo . A cambio, tenemos , y esto coincide con la unidad imaginaria en el campo isomorfo de números complejos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X^{2}+1=0}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ ${\displaystyle aX+b;a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle X}$

• Generalizando el ejemplo anterior, los anillos de cocientes se utilizan a menudo para construir extensiones de campo . Supongamos que es un campo y es un polinomio irreducible en . Entonces es un campo cuyo polinomio mínimo sobre es , que contiene así como un elemento . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle L=K[X]/(f)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x=X+(f)}$

• Un ejemplo importante del ejemplo anterior es la construcción de los cuerpos finitos. Consideremos, por ejemplo, el cuerpo con tres elementos. El polinomio es irreducible sobre (ya que no tiene raíz), y podemos construir el anillo de cocientes . Este es un cuerpo con elementos, denotados por . Los otros cuerpos finitos se pueden construir de manera similar. ${\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f(X)=Xi^{2}+1}$ ${\displaystyle F_{3}}$ ${\displaystyle F_{3}[X]/(f)}$ ${\displaystyle 3^{2}=9}$ ${\displaystyle F_{9}}$

• Los anillos de coordenadas de variedades algebraicas son ejemplos importantes de anillos de cociente en geometría algebraica . Como caso simple, considere la variedad real como un subconjunto del plano real . El anillo de funciones polinómicas de valor real definidas en se puede identificar con el anillo de cociente , y este es el anillo de coordenadas de . Ahora se investiga la variedad estudiando su anillo de coordenadas. ${\displaystyle V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}-Y^{3})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

• Supóngase que es una variedad - , y es un punto de . Considérese el anillo de todas las funciones - definidas en y sea el ideal en que consiste en aquellas funciones que son idénticamente cero en algún entorno de (donde puede depender de ). Entonces el anillo cociente es el anillo de gérmenes de funciones - en en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$

• Considérese el anillo de elementos finitos de un cuerpo hiperreal . Consiste en todos los números hiperreales que difieren de un real estándar en una cantidad infinitesimal, o equivalentemente: de todos los números hiperreales para los que existe un entero estándar con . El conjunto de todos los números infinitesimales en , junto con , es un ideal en , y el anillo de cocientes es isomorfo a los números reales . El isomorfismo se induce asociando a cada elemento de la parte estándar de , es decir, el único número real que difiere de en un infinitesimal. De hecho, se obtiene el mismo resultado, es decir , si se comienza con el anillo de hiperracionales finitos (es decir, la razón de un par de hiperenteros ), véase construcción de los números reales . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n<x<n}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F/I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$

Variaciones de planos complejos

Los cocientes , , y son todos isomorfos a y resultan poco interesantes al principio. Pero observe que se denomina plano de números duales en álgebra geométrica. Consiste únicamente en binomios lineales como "restos" después de reducir un elemento de por . Esta variación de un plano complejo surge como subálgebra siempre que el álgebra contiene una línea real y un nilpotente . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle X^{2}}$

Además, el cociente del anillo se divide en y , por lo que este anillo se considera a menudo como la suma directa . Sin embargo, una variación de los números complejos se sugiere por como una raíz de , en comparación con como raíz de . Este plano de números complejos divididos normaliza la suma directa al proporcionar una base para el espacio de 2 donde la identidad del álgebra está a una distancia unitaria del cero. Con esta base, una hipérbola unitaria puede compararse con el círculo unitario del plano complejo ordinario . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=x+yj}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X^{2}-1=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X^{2}+1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\lbrace 1,j\right\rbrace }$

Cuaterniones y variaciones

Supóngase que y son dos indeterminados no conmutativos y forman el álgebra libre . Entonces los cuaterniones de Hamilton de 1843 pueden expresarse como: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle }$ $${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,\,Y^{2}+1,\,XY+YX)}$$

Si se sustituye por , entonces se obtiene el anillo de cuaterniones escindidos . La propiedad anticonmutativa implica que tiene como cuadrado: ${\displaystyle Y^{2}-1}$ ${\displaystyle Y^{2}+1}$ ${\displaystyle YX=-XY}$ ${\displaystyle XY}$ $${\displaystyle (XY)(XY)=X(YX)Y=-X(XY)Y=-(XX)(YY)=-(-1)(+1)=+1}$$

Sustituir menos por más en ambos binomios cuadráticos también da como resultado cuaterniones divididos.

Los tres tipos de bicuaterniones también pueden escribirse como cocientes mediante el uso del álgebra libre con tres indeterminados y la construcción de ideales apropiados. ${\displaystyle \mathbb {R} \langle X,Y,Z\rangle }$

Propiedades

Claramente, si es un anillo conmutativo , entonces también lo es ; lo inverso, sin embargo, no es cierto en general. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$

La función cociente natural tiene como núcleo ; puesto que el núcleo de cada homomorfismo de anillo es un ideal bilateral, podemos afirmar que los ideales bilaterales son precisamente los núcleos de los homomorfismos de anillo. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

La íntima relación entre homomorfismos de anillo, núcleos y anillos cocientes se puede resumir de la siguiente manera: los homomorfismos de anillo definidos en son esencialmente los mismos que los homomorfismos de anillo definidos en que se anulan (es decir, son cero) en . Más precisamente, dado un ideal bilateral en y un homomorfismo de anillo cuyo núcleo contiene , existe precisamente un homomorfismo de anillo con (donde es la función cociente natural). La función aquí viene dada por la regla bien definida para todos en . De hecho, esta propiedad universal se puede utilizar para definir anillos cocientes y sus funciones cocientes naturales. ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle g:R/I\to S}$ ${\displaystyle gp=f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g([a])=f(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

Como consecuencia de lo anterior, se obtiene el enunciado fundamental: todo homomorfismo de anillo induce un isomorfismo de anillo entre el anillo cociente y la imagen . (Véase también: Teorema fundamental sobre homomorfismos .) ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle R/\ker(f)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$

Los ideales de y están estrechamente relacionados: la función cociente natural proporciona una biyección entre los ideales bilaterales de que contienen y los ideales bilaterales de (lo mismo es cierto para los ideales izquierdo y derecho). Esta relación entre ideales bilaterales se extiende a una relación entre los anillos cocientes correspondientes: si es un ideal bilateral en que contiene , y escribimos para el ideal correspondiente en (es decir ), los anillos cocientes y son naturalmente isomorfos a través de la función (bien definida) . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M/I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle M/I=p(M)}$ ${\displaystyle R/M}$ ${\displaystyle (R/I)/(M/I)}$ ${\displaystyle a+M\mapsto (a+I)+M/I}$

Los siguientes hechos resultan útiles en álgebra conmutativa y geometría algebraica : para conmutativa, es un cuerpo si y solo si es un ideal maximalista , mientras que es un dominio integral si y solo si es un ideal primo . Varias afirmaciones similares relacionan las propiedades del ideal con las propiedades del anillo cociente . ${\displaystyle R\neq \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$

El teorema del resto chino establece que, si el ideal es la intersección (o equivalentemente, el producto) de ideales coprimos por pares , entonces el anillo cociente es isomorfo al producto de los anillos cocientes . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/I_{n},\;n=1,\ldots ,k}$

Para álgebras sobre un anillo

Un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo es un anillo en sí mismo. Si es un ideal en (cerrado bajo -multiplicación), entonces hereda la estructura de un álgebra sobre y es el álgebra del cociente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R}$

Véase también

• Anillo graduado asociado
• Campo de residuos
• Teorema de Goldie
• Módulo de cociente

Notas

1. Jacobson, Nathan (1984). Estructura de anillos (edición revisada). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5.
2. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
3. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.

Referencias adicionales

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe , traducido por DAR Wallace (1982) Módulos y anillos , Academic Press , página 33.
• Neal H. McCoy (1948) Anillos e ideales , §13 Anillos de clase de residuos, página 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America .
• José Rotman (1998). Teoría de Galois (2ª ed.). Saltador. págs. 21-23. ISBN 0-387-98541-7.
• BL van der Waerden (1970) Algebra , traducido por Fred Blum y John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, Nueva York. Véase el capítulo 3.5, "Ideales. Anillos de clase de residuos", págs. 47-51.

Enlaces externos

• "Anillo de cociente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ideales y anillos de factores de Abstract Algebra Online de John Beachy