En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un subgrupo H de un grupo G puede usarse para descomponer el conjunto subyacente de G en subconjuntos disjuntos de igual tamaño llamados clases laterales . Hay clases laterales izquierdas y clases laterales derechas . Las clases laterales (tanto izquierdas como derechas) tienen el mismo número de elementos ( cardinalidad ) que H. Además, H en sí es tanto una clase lateral izquierda como una clase lateral derecha. El número de clases laterales izquierdas de H en G es igual al número de clases laterales derechas de H en G. Este valor común se llama índice de H en G y generalmente se denota por [ G : H ] .
Las clases laterales son una herramienta básica en el estudio de grupos; por ejemplo, juegan un papel central en el teorema de Lagrange que establece que para cualquier grupo finito G , el número de elementos de cada subgrupo H de G divide el número de elementos de G . Las clases laterales de un tipo particular de subgrupo (un subgrupo normal ) se pueden usar como elementos de otro grupo llamado grupo cociente o grupo factorial . Las clases laterales también aparecen en otras áreas de las matemáticas como los espacios vectoriales y los códigos de corrección de errores .
Sea H un subgrupo del grupo G cuya operación se escribe multiplicativamente (la yuxtaposición denota la operación de grupo). Dado un elemento g de G , las clases laterales izquierdas de H en G son los conjuntos obtenidos al multiplicar cada elemento de H por un elemento fijo g de G (donde g es el factor izquierdo). En símbolos, estos son,
Los coconjuntos derechos se definen de manera similar, excepto que el elemento g ahora es un factor derecho, es decir,
Como g varía a través del grupo, parecería que se generarían muchas clases laterales (derechas o izquierdas). Sin embargo, resulta que dos clases laterales izquierdas cualesquiera (o dos clases laterales derechas, respectivamente) son disjuntas o son idénticas como conjuntos. [1]
Si la operación de grupo se escribe de forma aditiva, como suele ser el caso cuando el grupo es abeliano , la notación utilizada cambia a g + H o H + g , respectivamente.
El símbolo G / H se utiliza a veces para el conjunto de clases laterales (izquierdas) { gH : g un elemento de G } (véase más abajo una extensión a clases laterales derechas y clases laterales dobles). Sin embargo, algunos autores (incluidos Dummit & Foote y Rotman) reservan esta notación específicamente para representar el grupo cociente formado a partir de las clases laterales en el caso en que H sea un subgrupo normal de G.
Sea G el grupo diedro de orden seis . Sus elementos pueden representarse por { I , a , a 2 , b , ab , a 2 b } . En este grupo, a 3 = b 2 = I y ba = a 2 b . Esta información es suficiente para completar toda la tabla de Cayley :
Sea T el subgrupo { I , b } . Las clases laterales izquierdas (distintas) de T son:
Dado que todos los elementos de G ya han aparecido en una de estas clases laterales, la generación de más clases laterales no puede dar lugar a nuevas clases laterales; cualquier clase lateral nueva tendría que tener un elemento en común con una de estas clases laterales y, por lo tanto, sería idéntica a una de estas clases laterales. Por ejemplo, abT = { ab , a } = aT .
Los coconjuntos derechos de T son:
En este ejemplo, a excepción de T , ninguna clase lateral izquierda es también una clase lateral derecha.
Sea H el subgrupo { I , a , a 2 } . Las clases laterales izquierdas de H son IH = H y bH = { b , ba , ba 2 } . Las clases laterales derechas de H son HI = H y Hb = { b , ab , a 2 b } = { b , ba 2 , ba } . En este caso, cada clase lateral izquierda de H es también una clase lateral derecha de H . [2]
Sea H un subgrupo de un grupo G y supongamos que g 1 , g 2 ∈ G . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: [3]
La disyunción de clases laterales no idénticas es resultado del hecho de que si x pertenece a gH entonces gH = xH . Porque si x ∈ gH entonces debe existir una a ∈ H tal que ga = x . Por lo tanto xH = ( ga ) H = g ( aH ) . Además, dado que H es un grupo, la multiplicación por la izquierda por a es una biyección, y aH = H .
Por lo tanto, cada elemento de G pertenece exactamente a una clase lateral izquierda del subgrupo H , [1] y H es en sí mismo una clase lateral izquierda (y la que contiene la identidad). [2]
Dos elementos que están en la misma clase lateral izquierda también proporcionan una relación de equivalencia natural . Defina dos elementos de G , x e y , como equivalentes con respecto al subgrupo H si xH = yH (o equivalentemente si x −1 y pertenece a H ). Las clases de equivalencia de esta relación son las clases laterales izquierdas de H. [ 4] Como con cualquier conjunto de clases de equivalencia, forman una partición del conjunto subyacente. Un representante de clase lateral es un representante en el sentido de clase de equivalencia. Un conjunto de representantes de todas las clases laterales se llama transversal . Hay otros tipos de relaciones de equivalencia en un grupo, como la conjugación, que forman clases diferentes que no tienen las propiedades discutidas aquí.
Se aplican afirmaciones similares a los coconjuntos derechos.
Si G es un grupo abeliano , entonces g + H = H + g para cada subgrupo H de G y cada elemento g de G. Para grupos generales, dado un elemento g y un subgrupo H de un grupo G , la clase lateral derecha de H con respecto a g es también la clase lateral izquierda del subgrupo conjugado g −1 Hg con respecto a g , es decir, Hg = g ( g −1 Hg ) .
Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal de G si y solo si para todos los elementos g de G las clases laterales izquierda y derecha correspondientes son iguales, es decir, gN = Ng . Este es el caso del subgrupo H en el primer ejemplo anterior. Además, las clases laterales de N en G forman un grupo llamado grupo cociente o grupo factorial G / N .
Si H no es normal en G , entonces sus clases laterales izquierdas son diferentes de sus clases laterales derechas. Es decir, hay una a en G tal que ningún elemento b satisface aH = Hb . Esto significa que la partición de G en las clases laterales izquierdas de H es una partición diferente a la partición de G en clases laterales derechas de H . Esto se ilustra con el subgrupo T en el primer ejemplo anterior. ( Algunas clases laterales pueden coincidir. Por ejemplo, si a está en el centro de G , entonces aH = Ha .)
Por otra parte, si el subgrupo N es normal el conjunto de todas las clases laterales forma un grupo llamado grupo cociente G / N con la operación ∗ definida por ( aN ) ∗ ( bN ) = abN . Como cada clase lateral derecha es una clase lateral izquierda, no hay necesidad de distinguir "clases laterales izquierdas" de "clases laterales derechas".
Cada clase lateral izquierda o derecha de H tiene el mismo número de elementos (o cardinalidad en el caso de una H infinita ) que H misma. Además, el número de clases laterales izquierdas es igual al número de clases laterales derechas y se conoce como el índice de H en G , escrito como [ G : H ] . El teorema de Lagrange nos permite calcular el índice en el caso en que G y H sean finitos: Esta ecuación se puede generalizar al caso en que los grupos sean infinitos.
Sea G el grupo aditivo de los números enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) y H el subgrupo (3 Z , +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +) . Entonces las clases laterales de H en G son los tres conjuntos 3 Z , 3 Z + 1 y 3 Z + 2 , donde 3 Z + a = {..., −6 + a , −3 + a , a , 3 + a , 6 + a , ...} . Estos tres conjuntos particionan el conjunto Z , por lo que no hay otras clases laterales derechas de H . Debido a la conmutividad de la adición H + 1 = 1 + H y H + 2 = 2 + H . Es decir, cada clase lateral izquierda de H es también una clase lateral derecha, por lo que H es un subgrupo normal. [5] (El mismo argumento muestra que cada subgrupo de un grupo abeliano es normal. [6] )
Este ejemplo puede generalizarse. Sea G nuevamente el grupo aditivo de los enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) , y ahora sea H el subgrupo ( m Z , +) = ({..., −2 m , − m , 0, m , 2 m , ...}, +) , donde m es un entero positivo. Entonces las clases laterales de H en G son los m conjuntos m Z , m Z + 1 , ..., m Z + ( m − 1) , donde m Z + a = {..., −2 m + a , − m + a , a , m + a , 2 m + a , ...} . No hay más de m clases laterales, porque m Z + m = m ( Z + 1) = m Z . La clase colateral ( m Z + a , +) es la clase de congruencia de un módulo m . [7] El subgrupo m Z es normal en Z , y por lo tanto, puede usarse para formar el grupo cociente Z / m Z el grupo de números enteros módulo m .
Otro ejemplo de una clase lateral proviene de la teoría de espacios vectoriales . Los elementos (vectores) de un espacio vectorial forman un grupo abeliano bajo la adición de vectores . Los subespacios del espacio vectorial son subgrupos de este grupo. Para un espacio vectorial V , un subespacio W y un vector fijo a en V , los conjuntos se denominan subespacios afines y son clases laterales (tanto izquierdas como derechas, ya que el grupo es abeliano). En términos de vectores geométricos tridimensionales , estos subespacios afines son todas las "líneas" o "planos" paralelos al subespacio, que es una línea o plano que pasa por el origen. Por ejemplo, considere el plano R 2 . Si m es una línea que pasa por el origen O , entonces m es un subgrupo del grupo abeliano R 2 . Si P está en R 2 , entonces la clase lateral P + m es una línea m ′ paralela a m y que pasa por P . [8]
Sea G el grupo multiplicativo de matrices, [9] y el subgrupo H de G , Para un elemento fijo de G considere la clase lateral izquierda Es decir, las clases laterales izquierdas consisten en todas las matrices en G que tienen la misma entrada superior izquierda. Este subgrupo H es normal en G , pero el subgrupo no es normal en G .
Un subgrupo H de un grupo G se puede utilizar para definir una acción de H sobre G de dos formas naturales. Una acción derecha , G × H → G dada por ( g , h ) → gh o una acción izquierda , H × G → G dada por ( h , g ) → hg . La órbita de g bajo la acción derecha es la clase lateral izquierda gH , mientras que la órbita bajo la acción izquierda es la clase lateral derecha Hg . [10]
El concepto de coconjunto se remonta al trabajo de Galois de 1830-31. Introdujo una notación pero no proporcionó un nombre para el concepto. El término "coconjunto" aparentemente aparece por primera vez en 1910 en un artículo de GA Miller en el Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (vol. 41, p. 382). Se han utilizado varios otros términos, incluido el alemán Nebengruppen ( Weber ) y grupo conjugado ( Burnside ). [11] (Tenga en cuenta que Miller abrevió su autocita a Quarterly Journal of Mathematics ; esto no se refiere a la revista del mismo nombre , que no comenzó a publicarse hasta 1930).
Galois se preocupaba por decidir cuándo una ecuación polinómica dada era solucionable por radicales . Una herramienta que desarrolló fue notar que un subgrupo H de un grupo de permutaciones G inducía dos descomposiciones de G (lo que ahora llamamos clases laterales izquierdas y derechas). Si estas descomposiciones coincidían, es decir, si las clases laterales izquierdas son las mismas que las clases laterales derechas, entonces había una manera de reducir el problema a una de trabajar sobre H en lugar de G. Camille Jordan en sus comentarios sobre el trabajo de Galois en 1865 y 1869 elaboró sobre estas ideas y definió subgrupos normales como lo hemos hecho anteriormente, aunque no usó este término. [6]
Llamar a la clase lateral gH la clase lateral izquierda de g con respecto a H , si bien es lo más común hoy en día, [10] no ha sido universalmente cierto en el pasado. Por ejemplo, Hall (1959) llamaría a gH una clase lateral derecha , enfatizando que el subgrupo está a la derecha.
Un código lineal binario es un subespacio C de dimensión n de un espacio vectorial V de dimensión m sobre el cuerpo binario GF(2) . Como V es un grupo abeliano aditivo, C es un subgrupo de este grupo. Los códigos se pueden utilizar para corregir errores que pueden ocurrir en la transmisión. Cuando se transmite una palabra de código (elemento de C ), algunos de sus bits pueden alterarse en el proceso y la tarea del receptor es determinar la palabra de código más probable que podría haber sido la palabra recibida dañada al principio. Este procedimiento se llama decodificación y, si solo se cometen unos pocos errores en la transmisión, se puede hacer de manera efectiva con muy pocos errores. Un método utilizado para la decodificación utiliza una disposición de los elementos de V (una palabra recibida podría ser cualquier elemento de V ) en una matriz estándar . Una matriz estándar es una descomposición en coconjuntos de V puesta en forma tabular de una manera determinada. Es decir, la fila superior de la matriz consta de los elementos de C , escritos en cualquier orden, excepto que el vector cero debe escribirse primero. Luego, se selecciona un elemento de V con un número mínimo de unos que no aparezca ya en la fila superior y la clase lateral de C que contiene este elemento se escribe como la segunda fila (es decir, la fila se forma tomando la suma de este elemento con cada elemento de C directamente encima de él). Este elemento se llama líder de clase lateral y puede haber alguna opción para seleccionarlo. Ahora se repite el proceso, se selecciona un nuevo vector con un número mínimo de unos que no aparezca ya como un nuevo líder de clase lateral y la clase lateral de C que lo contiene es la siguiente fila. El proceso termina cuando todos los vectores de V se han ordenado en las clases laterales.
Un ejemplo de una matriz estándar para el código bidimensional C = {00000, 01101, 10110, 11011} en el espacio de 5 dimensiones V (con 32 vectores) es el siguiente:
El procedimiento de decodificación consiste en buscar la palabra recibida en la tabla y luego agregarle el líder de la clase lateral de la fila en la que se encuentra. Dado que en aritmética binaria, sumar es la misma operación que restar, esto siempre da como resultado un elemento de C. En el caso de que los errores de transmisión ocurrieran precisamente en las posiciones distintas de cero del líder de la clase lateral, el resultado será la palabra de código correcta. En este ejemplo, si ocurre un solo error, el método siempre lo corregirá, ya que todos los líderes de clase lateral posibles con un solo uno aparecen en la matriz.
La decodificación de síndromes se puede utilizar para mejorar la eficiencia de este método. Es un método para calcular la clase lateral (fila) correcta en la que estará una palabra recibida. Para un código n -dimensional C en un espacio vectorial binario m -dimensional, una matriz de verificación de paridad es una matriz ( m − n ) × m H que tiene la propiedad de que x H T = 0 si y solo si x está en C . [12] El vector x H T se denomina síndrome de x , y por linealidad , cada vector en la misma clase lateral tendrá el mismo síndrome. Para decodificar, la búsqueda ahora se reduce a encontrar el líder de la clase lateral que tiene el mismo síndrome que la palabra recibida. [13]
Dados dos subgrupos, H y K (que no necesitan ser distintos) de un grupo G , las clases laterales dobles de H y K en G son los conjuntos de la forma HgK = { hgk : h un elemento de H , k un elemento de K } . Estas son las clases laterales izquierdas de K y las clases laterales derechas de H cuando H = 1 y K = 1 respectivamente. [14]
Dos clases laterales dobles HxK y HyK son disjuntas o idénticas. [15] El conjunto de todas las clases laterales dobles para H y K fijos forman una partición de G.
Una clase lateral doble HxK contiene las clases laterales derechas completas de H (en G ) de la forma Hxk , con k un elemento de K y las clases laterales izquierdas completas de K (en G ) de la forma hxK , con h en H. [15 ]
Sea G un grupo con subgrupos H y K. Varios autores que trabajan con estos conjuntos han desarrollado una notación especializada para su trabajo, donde [16] [17]
![{\displaystyle |G|=[G:H]|H|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a509f5701bd6471138b470a79f65334f90813c)
