numero de campana

Recuento de las posibles particiones de un conjunto.

En matemáticas combinatorias , los números de Bell cuentan las posibles particiones de un conjunto . Estos números han sido estudiados por matemáticos desde el siglo XIX y sus raíces se remontan al Japón medieval. En un ejemplo de la ley de eponimia de Stigler , llevan el nombre de Eric Temple Bell , quien escribió sobre ellos en la década de 1930.

Los números de Bell se denotan , donde es un número entero mayor o igual a cero . Comenzando con , los primeros números de Bell son ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{0}=B_{1}=1}$

${\displaystyle 1,1,2,5,15,52,203,877,4140,\dots }$(secuencia A000110 en la OEIS ).

El número de Bell cuenta el número de formas diferentes de dividir un conjunto que tiene exactamente elementos o, de manera equivalente, el número de relaciones de equivalencia que contiene. También cuenta el número de diferentes esquemas de rima para poemas de versos. ^[1] ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Además de aparecer en problemas de conteo, estos números tienen una interpretación diferente, como momentos de distribuciones de probabilidad . En particular, es el -ésimo momento de una distribución de Poisson con media 1. ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Contando

Establecer particiones

Las particiones de conjuntos se pueden organizar en un orden parcial, lo que muestra que cada partición de un conjunto de tamaño n "usa" una de las particiones de un conjunto de tamaño  n  − 1.

Las 52 particiones de un conjunto de 5 elementos

En general, es el número de particiones de un conjunto de tamaño . Una partición de un conjunto se define como una familia de subconjuntos disjuntos por pares, no vacíos, cuya unión es . Por ejemplo, porque el conjunto de 3 elementos se puede dividir de 5 formas distintas: ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B_{3}=5}$ ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\},}$

${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\},}$

${\displaystyle \{\{b\},\{a,c\}\},}$

${\displaystyle \{\{c\},\{a,b\}\},}$

${\displaystyle \{\{a,b,c\}\}.}$

Como sugiere la notación de conjuntos anterior, no se considera el orden de los subconjuntos dentro de la familia; Las particiones ordenadas se cuentan mediante una secuencia diferente de números, los números de Bell ordenados . es 1 porque hay exactamente una partición del conjunto vacío . Esta partición es en sí misma el conjunto vacío; puede interpretarse como una familia de subconjuntos del conjunto vacío, que consta de cero subconjuntos. Es vagamente cierto que todos los subconjuntos de esta familia son subconjuntos no vacíos del conjunto vacío y que son subconjuntos disjuntos por pares del conjunto vacío, porque no hay subconjuntos que tengan estas propiedades improbables. ${\displaystyle B_{0}}$

Las particiones de un conjunto se corresponden uno a uno con sus relaciones de equivalencia . Éstas son relaciones binarias que son reflexivas , simétricas y transitivas . La relación de equivalencia correspondiente a una partición define dos elementos como equivalentes cuando pertenecen al mismo subconjunto de partición que el otro. Por el contrario, toda relación de equivalencia corresponde a una partición en clases de equivalencia . ^[2] Por lo tanto, los números de Bell también cuentan las relaciones de equivalencia.

Factorizaciones

Si un número es un entero positivo sin cuadrados , lo que significa que es el producto de algún número de números primos distintos , entonces se obtiene el número de particiones multiplicativas diferentes de . Estas son factorizaciones de números mayores que uno, tratando dos factorizaciones como iguales si tienen los mismos factores en un orden diferente. ^[3] Por ejemplo, 30 es el producto de los tres primos 2, 3 y 5, y tiene = 5 factorizaciones: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{3}}$

${\displaystyle 30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5}$

Esquemas de rima

Los números de Bell también cuentan los esquemas de rima de un poema o estrofa de n líneas . Un esquema de rima describe qué líneas riman entre sí y, por lo tanto, puede interpretarse como una partición del conjunto de líneas en subconjuntos que riman. Los esquemas de rima generalmente se escriben como una secuencia de letras romanas, una por línea, con líneas que riman con la misma letra entre sí y con las primeras líneas de cada conjunto de rimas etiquetadas en orden alfabético. Así, los 15 posibles esquemas de rima de cuatro versos son AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC y ABCD. ^[1]

Permutaciones

Los números de Bell surgen en un problema de barajado de cartas mencionado en el apéndice de Gardner (1978). Si se baraja una baraja de n cartas quitando repetidamente la carta superior y reinsertándola en cualquier lugar de la baraja (incluida su posición original en la parte superior de la baraja), con exactamente n repeticiones de esta operación, entonces hay n ⁿ barajas diferentes que puede ser llevado a cabo. De estos, el número que devuelve la baraja a su orden original es exactamente B _n . Por lo tanto, la probabilidad de que la baraja esté en su orden original después de barajarla de esta manera es B _n / n ⁿ , que es significativamente mayor que 1/ n ! probabilidad que describiría una permutación uniformemente aleatoria de la baraja.

Relacionados con el barajado de cartas hay varios otros problemas de contar tipos especiales de permutaciones que también se resuelven con los números de Bell. Por ejemplo, el enésimo número de Bell es igual al número de permutaciones en n elementos en los que no hay tres valores ordenados que tengan los dos últimos de estos tres consecutivos. En una notación para patrones de permutación generalizados donde los valores que deben ser consecutivos se escriben uno al lado del otro y los valores que pueden aparecer de forma no consecutiva están separados por un guión, estas permutaciones pueden describirse como permutaciones que evitan el patrón 1-23. Las permutaciones que evitan los patrones generalizados 12-3, 32-1, 3-21, 1-32, 3-12, 21-3 y 23-1 también se cuentan mediante los números de Bell. ^[4] Las permutaciones en las que cada patrón 321 (sin restricción de valores consecutivos) se puede extender a un patrón 3241 también se cuentan mediante los números de Bell. ^[5] Sin embargo, los números de Bell crecen demasiado rápido para contar las permutaciones que evitan un patrón que no se ha generalizado de esta manera: según la (ahora probada) conjetura de Stanley-Wilf , el número de tales permutaciones es simplemente exponencial, y el Los números de Bell tienen una tasa de crecimiento asintótica mayor que esa.

Esquema triangular para cálculos.

La matriz triangular cuya secuencia diagonal derecha consta de números de Bell

Los números de Bell se pueden calcular fácilmente creando el llamado triángulo de Bell , también llamado matriz de Aitken o triángulo de Peirce en honor a Alexander Aitken y Charles Sanders Peirce . ^[6]

1. Comience con el número uno. Pon esto en una fila por sí solo. ( ) ${\displaystyle x_{0,1}=1}$
2. Comience una nueva fila con el elemento más a la derecha de la fila anterior como el número más a la izquierda ( donde r es el último elemento de ( i -1)-ésima fila) ${\displaystyle x_{i,1}\leftarrow x_{i-1,r}}$
3. Determine los números que no están en la columna de la izquierda tomando la suma del número de la izquierda y el número encima del número de la izquierda, es decir, el número diagonalmente arriba e izquierda del número que estamos calculando. ${\displaystyle (x_{i,j}\leftarrow x_{i,j-1}+x_{i-1,j-1})}$
4. Repita el paso tres hasta que haya una nueva fila con un número más que la fila anterior (haga el paso 3 hasta ) ${\displaystyle j=r+1}$
5. El número en el lado izquierdo de una fila determinada es el número de Bell para esa fila. ( ) ${\displaystyle B_{i}\leftarrow x_{i,1}}$

Aquí están las primeras cinco filas del triángulo construido según estas reglas:

${\displaystyle {\begin{array}{l}1\\1&2\\2&3&5\\5&7&10&15\\15&20&27&37&52\end{array}}}$

Los números de Bell aparecen tanto en el lado izquierdo como en el derecho del triángulo.

Propiedades

Fórmulas de suma

Los números de Bell satisfacen una relación de recurrencia que involucra coeficientes binomiales : ^[7]

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.}$

Se puede explicar observando que, a partir de una partición arbitraria de n  + 1 elementos, eliminar el conjunto que contiene el primer elemento deja una partición de un conjunto más pequeño de k elementos para algún número k que puede variar de 0 a n . Hay opciones para los k elementos que quedan después de eliminar un conjunto, y B _k opciones sobre cómo dividirlos. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Una fórmula de suma diferente representa cada número de Bell como una suma de números de Stirling del segundo tipo.

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}.}$

El número de Stirling es el número de formas de dividir un conjunto de cardinalidad n en exactamente k subconjuntos no vacíos. Así, en la ecuación que relaciona los números de Bell con los números de Stirling, cada partición contada en el lado izquierdo de la ecuación se cuenta exactamente en uno de los términos de la suma en el lado derecho, aquel para el cual k es el número . de conjuntos en la partición. ^[8] ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

Spivey (2008) ha dado una fórmula que combina ambas sumas:

${\displaystyle B_{n+m}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\left\{{m \atop j}\right\}{n \choose k}j^{n-k}B_{k}.}$

Aplicando la fórmula de inversión de Pascal a la relación de recurrencia, obtenemos

$${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}B_{k+1}}$$

Que se puede generalizar de esta manera ^[9]

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{k+j}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-1)^{k-i}B_{n+i+1}}$$

números de Stirling del primer tipo^[9]

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right](-1)^{k-i}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-ak)^{n-j}B_{j+i}}$$

Lo que se simplifica con a ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-a)^{n-j}B_{j+1}}$$

y con a ${\displaystyle a=1,b=k}$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}k^{n-j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right]B_{n+i}(-1)^{k-i}}$$

fórmula de inversión de los números de Stirling

función generadora

La función generadora exponencial de los números de Bell es

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$

En esta fórmula, la suma del medio es la forma general utilizada para definir la función generadora exponencial para cualquier secuencia de números, y la fórmula de la derecha es el resultado de realizar la suma en el caso específico de los números de Bell.

Una forma de obtener este resultado utiliza la combinatoria analítica , un estilo de razonamiento matemático en el que conjuntos de objetos matemáticos se describen mediante fórmulas que explican su construcción a partir de objetos más simples, y luego esas fórmulas se manipulan para derivar las propiedades combinatorias de los objetos. En el lenguaje de la combinatoria analítica, una partición de conjunto puede describirse como un conjunto de urnas no vacías en las que se han distribuido elementos etiquetados del 1 al n , y la clase combinatoria de todas las particiones (para todo n ) puede expresarse mediante la notación

${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} (\mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}({\mathcal {Z}})).}$

Aquí hay una clase combinatoria con un solo miembro de tamaño uno, un elemento que se puede colocar en una urna. El operador interno describe un conjunto o urna que contiene uno o más elementos etiquetados, y el externo describe la partición general como un conjunto de estas urnas. La función generadora exponencial puede luego leerse a partir de esta notación traduciendo el operador a la función exponencial y la restricción de no vacío ≥1 a una resta por uno. ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}}$ ${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$ ${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$

Un método alternativo para derivar la misma función generadora utiliza la relación de recurrencia de los números de Bell en términos de coeficientes binomiales para mostrar que la función generadora exponencial satisface la ecuación diferencial . La función en sí se puede encontrar resolviendo esta ecuación. ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle B'(x)=e^{x}B(x)}$

Momentos de distribuciones de probabilidad.

Los números de Bell satisfacen la fórmula de Dobinski ^{[14] [11] [13]}

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

Esta fórmula se puede derivar expandiendo la función generadora exponencial usando la serie de Taylor para la función exponencial y luego recopilando términos con el mismo exponente. ^[10] Permite interpretar B _n como el enésimo momento de una distribución de Poisson con valor esperado 1.

El n.ésimo número de Bell es también la suma de los coeficientes del n.ésimo polinomio completo de Bell , que expresa el n.ésimo momento de cualquier distribución de probabilidad en función de los primeros n cumulantes .

Aritmética modular

Los números de Bell obedecen a la congruencia de Touchard: si p es cualquier número primo , entonces ^[15]

${\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}}$

o, generalizando ^[16]

${\displaystyle B_{p^{m}+n}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.}$

Debido a la congruencia de Touchard, los números de Bell son periódicos módulo p , para todo número primo p ; por ejemplo, para p  = 2, los números de Bell repiten el patrón impar-impar-par con el período tres. El período de esta repetición, para un número primo arbitrario p , debe ser divisor de

${\displaystyle {\frac {p^{p}-1}{p-1}}}$

y para todos los primos y , o es exactamente este número (secuencia A001039 en el OEIS ). ^{[17] [18]} ${\displaystyle p\leq 101}$ ${\displaystyle p=113,163,167}$ ${\displaystyle 173}$

El período de los números de Bell al módulo n es

1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, 25239592216021, 411771, 10153, 48, 51702516367896047761, 39, 109912203092239643840221, 9372, 1784341, 85593501183, 949112181811268728834319677753, 312, 3905, 75718776648063, 117, 1647084, 91703076898614683377208150526107718802981, 30459, 5689724710241078652870214343019771585348244 81, 96, 370905171793, 155107549103688143283, 107197717, 156, ... (secuencia A054767 en el OEIS )

Representación integral

Una aplicación de la fórmula integral de Cauchy a la función generadora exponencial produce la representación integral compleja

${\displaystyle B_{n}={\frac {n!}{2\pi ie}}\int _{\gamma }{\frac {e^{e^{z}}}{z^{n+1}}}\,dz.}$

Luego se pueden derivar algunas representaciones asintóticas mediante una aplicación estándar del método del descenso más pronunciado . ^[19]

Concavidad logarítmica

Los números de Bell forman una secuencia logarítmicamente convexa . Dividiéndolos por los factoriales, B _n / n !, da una secuencia logarítmicamente cóncava. ^{[20] [21] [22]}

Tasa de crecimiento

Se conocen varias fórmulas asintóticas para los números de Bell. En Berend & Tassa (2010) se establecieron los siguientes límites:

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {0.792n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$para todos los números enteros positivos ; ${\displaystyle n}$

es más, si entonces para todos , ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n>n_{0}(\varepsilon )}$

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {e^{-0.6+\varepsilon }n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$

donde y Los números de Bell también se pueden aproximar usando la función Lambert W , una función con la misma tasa de crecimiento que el logaritmo, como ^[23] ${\displaystyle ~n_{0}(\varepsilon )=\max \left\{e^{4},d^{-1}(\varepsilon )\right\}~}$ ${\displaystyle ~d(x):=\ln \ln(x+1)-\ln \ln x+{\frac {1+e^{-1}}{\ln x}}\,.}$

${\displaystyle B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left({\frac {n}{W(n)}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\exp \left({\frac {n}{W(n)}}-n-1\right).}$

Moser y Wyman (1955) establecieron la expansión

${\displaystyle B_{n+h}={\frac {(n+h)!}{W(n)^{n+h}}}\times {\frac {\exp(e^{W(n)}-1)}{(2\pi B)^{1/2}}}\times \left(1+{\frac {P_{0}+hP_{1}+h^{2}P_{2}}{e^{W(n)}}}+{\frac {Q_{0}+hQ_{1}+h^{2}Q_{2}+h^{3}Q_{3}+h^{4}Q_{4}}{e^{2W(n)}}}+O(e^{-3W(n)})\right)}$

uniformemente para as , donde y each and son expresiones conocidas en . ^[24] ${\displaystyle h=O(\ln(n))}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle W(n)}$

La expresión asintótica

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ln B_{n}}{n}}&=\ln n-\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n}{\ln n}}+{\frac {1}{\ln n}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{2}+O\left({\frac {\ln \ln n}{(\ln n)^{2}}}\right)\\&{}\qquad {\text{as }}n\to \infty \end{aligned}}}$

fue establecido por de Bruijn (1981).

primos de campana

Gardner (1978) planteó la cuestión de si una infinidad de números de Bell son también números primos . Los primeros números de Bell que son primos son:

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837 (secuencia A051 131 en la OEIS )

correspondientes a los índices 2, 3, 7, 13, 42 y 55 (secuencia A051130 en la OEIS ).

El siguiente primo de Bell es B ₂₈₄₁ , que es aproximadamente 9,30740105 × 10 ⁶⁵³⁸ . ^[25] A partir de 2018 ^[update], es el número de Bell primo más grande conocido. Ignacio Larrosa Cañestro demostró que era un primo probable en 2002. Después de 17 meses de cálculo con el programa ECPP Primo de Marcel Martin, Ignacio Larrosa Cañestro demostró que era primo en 2004. Descartó cualquier otro posible primo por debajo de B ₆₀₀₀ , que luego se extendió a B. ₃₀₄₄₇ de Eric Weisstein . ^[26] La búsqueda fue ampliada a B ₅₀₀₀₀ por Václav Kotěšovec (18/05/2021).

Historia

Los números de Bell llevan el nombre de Eric Temple Bell , quien escribió sobre ellos en 1938, después de un artículo de 1934 en el que estudiaba los polinomios de Bell . ^{[27] [28]} Bell no afirmó haber descubierto estos números; En su artículo de 1938, escribió que los números de Bell "han sido investigados con frecuencia" y "han sido redescubiertos muchas veces". Bell cita varias publicaciones anteriores sobre estos números, comenzando con Dobiński (1877), que proporciona la fórmula de Dobiński para los números de Bell. Bell llamó a estos números "números exponenciales"; Becker y Riordan (1948) les dieron el nombre "números de Bell" y la notación B _n ^{para estos números. [29]}

La primera enumeración exhaustiva de particiones parece haber ocurrido en el Japón medieval, donde (inspirado por la popularidad del libro El cuento de Genji ) surgió un juego de salón llamado genji-ko , en el que a los invitados se les daban cinco paquetes de incienso para oler. y se les pidió que adivinaran cuáles eran iguales y cuáles diferentes. Las 52 posibles soluciones, contadas por el número de campana B ₅ , se registraron en 52 diagramas diferentes, que se imprimieron encima de los títulos de los capítulos en algunas ediciones de El cuento de Genji. ^{[30] [31]}

En el segundo cuaderno de Srinivasa Ramanujan , investigó tanto los polinomios de Bell como los números de Bell. ^[32] Las primeras referencias para el triángulo de Bell , que tiene los números de Bell en ambos lados, incluyen a Peirce (1880) y Aitken (1933).

Ver también

• Polinomios de Touchard
• número catalán
• número de Stirling
• Números de Stirling del primer tipo.

Notas

1. Gardner 1978.
2. Halmos, Paul R. (1974). Teoría de conjuntos ingenua. Textos de Pregrado en Matemáticas. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg. págs. 27-28. ISBN 9781475716450. SEÑOR  0453532.
3. Williams 1945 atribuye esta observación a los Principii di Analisi Combinatoria (1909) de Silvio Minetola.
4. Claesson (2001).
5. Callan (2006).
6. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A011971 (matriz de Aitken)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
7. Wilf 1994, pág. 23.
8. Conway y Guy (1996).
9. Komatsu, Takao; Pita-Ruiz, Claudio (2018). "Algunas fórmulas para los números de Bell". Filomat . 32 (11): 3881–3889. doi : 10.2298/FIL1811881K . ISSN  0354-5180.
10. Flajolet y Sedgewick 2009.
11. Rota 1964.
12. Wilf 1994, págs. 20-23.
13. Bender y Williamson 2006.
14. Dobinski 1877.
15. Becker y Riordan (1948).
16. Hurst y Schultz (2009).
17. Williams 1945.
18. Wagstaff 1996.
19. Simón, Barry (2010). "Ejemplo 15.4.6 (Asintóticas de números de campana)". Análisis complejo (PDF) . págs. 772–774. Archivado desde el original (PDF) el 24 de enero de 2014 . Consultado el 2 de septiembre de 2012 .
20. Engel 1994.
21. Canfield 1995.
22. Asai, Kubo y Kuo 2000.
23. Lovász (1993).
24. Canfield, Rod (julio de 1994). "La expansión Moser-Wyman de los números de Bell" (PDF) . Consultado el 24 de octubre de 2013 .
25. "93074010508593618333... 83885253703080601131". 5000 números primos más grandes conocidos, la base de datos Prime . Consultado el 24 de octubre de 2013 .
26. Weisstein, Eric W. "Primos de secuencia entera". MundoMatemático .
27. Campana 1934.
28. Campana 1938.
29. Rota 1964. Sin embargo, Rota da una fecha incorrecta, 1934, para Becker & Riordan 1948.
30. Knuth 2013.
31. Gardner 1978 y Berndt 2011 también mencionan la conexión entre los números de Bell y The Tale of Genji, con menos detalle.
32. Berndt 2011.

Referencias

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enlaces externos

• Robert Dickau. "Diagramas de números de campana".
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