Sucesión de polinomios
Los polinomios de Touchard , estudiados por Jacques Touchard (1939), también llamados polinomios exponenciales o polinomios de Bell , comprenden una secuencia polinómica de tipo binomial definida por
donde es un número de Stirling de segundo tipo , es decir, el número de particiones de un conjunto de tamaño n en k subconjuntos disjuntos no vacíos. [1] [2] [3] [4]
Los primeros polinomios de Touchard son
Propiedades
Propiedades básicas
El valor en 1 del n -ésimo polinomio de Touchard es el n -ésimo número de Bell , es decir, el número de particiones de un conjunto de tamaño n :
Si X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces su momento n es E( X n ) = T n (λ), lo que lleva a la definición:
Utilizando este hecho se puede demostrar rápidamente que esta secuencia polinomial es de tipo binomial , es decir, satisface la secuencia de identidades:
Los polinomios de Touchard constituyen la única secuencia polinómica de tipo binomial con el coeficiente de x igual a 1 en cada polinomio.
Los polinomios de Touchard satisfacen la fórmula tipo Rodrigues:
Los polinomios de Touchard satisfacen la relación de recurrencia
y
En el caso de x = 1, esto se reduce a la fórmula de recurrencia para los números de Bell .
Una generalización tanto de esta fórmula como de la definición es una generalización de la fórmula de Spivey [5]
Usando la notación umbral T n ( x )= T n ( x ), estas fórmulas se convierten en:
- [ aclaración necesaria ]
La función generadora de los polinomios de Touchard es
que corresponde a la función generadora de números de Stirling de segundo tipo .
Los polinomios de Touchard tienen representación integral de contorno :
Ceros
Todos los ceros de los polinomios de Touchard son reales y negativos. Este hecho fue observado por L. H. Harper en 1967. [6]
El valor absoluto del cero más a la izquierda está acotado desde arriba por [7]
Aunque se conjetura que el cero más a la izquierda crece linealmente con el índice n .
La medida de Mahler de los polinomios de Touchard se puede estimar de la siguiente manera: [8]
donde y son los más pequeños de los dos índices k máximos tales que y
son máximos, respectivamente.
Generalizaciones
- El polinomio de Bell completo puede verse como una generalización multivariada del polinomio de Touchard , ya que
- Los polinomios de Touchard (y por tanto los números de Bell ) se pueden generalizar, utilizando la parte real de la integral anterior, al orden no entero:
Véase también
Referencias
- ^ Roman, Steven (1984). El cálculo umbral . Dover. ISBN 0-486-44139-3.
- ^ Boyadzhiev, Khristo N. (2009). "Polinomios exponenciales, números de Stirling y evaluación de algunas integrales gamma". Análisis abstracto y aplicado . 2009 : 1–18. arXiv : 0909.0979 . Código Bibliográfico :2009AbApA2009....1B. doi : 10.1155/2009/168672 .
- ^ Brendt, Bruce C. "RAMANUJAN EXTIENDE SU MANO DESDE SU TUMBA PARA ARREBATARTE TUS TEOREMAS" (PDF) . Consultado el 23 de noviembre de 2013 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Polinomio de Bell". MundoMatemático .
- ^ "Implicaciones de la fórmula del número de Bell de Spivey". cs.uwaterloo.ca . Consultado el 28 de mayo de 2023 .
- ^ Harper, LH (1967). "El comportamiento de Stirling es asintóticamente normal". Anales de estadística matemática . 38 (2): 410–414. doi : 10.1214/aoms/1177698956 .
- ^ Mező, István; Corcino, Roberto B. (2015). "La estimación de los ceros de los polinomios de Bell y r-Bell". Matemáticas Aplicadas y Computación . 250 : 727–732. doi :10.1016/j.amc.2014.10.058.
- ^ István, Mező. "Sobre la medida de Mahler de los polinomios de Bell" . Consultado el 7 de noviembre de 2017 .
- Touchard, Jacques (1939), "Sur les Cycles des substitutions", Acta Mathematica , 70 (1): 243–297, doi : 10.1007/BF02547349 , ISSN 0001-5962, SEÑOR 1555449