Símbolos de Christoffel

Matriz de números que describen una conexión métrica

En matemáticas y física , los símbolos de Christoffel son una serie de números que describen una conexión métrica . ^[1] La conexión métrica es una especialización de la conexión afín a superficies u otras variedades dotadas de una métrica , permitiendo medir distancias sobre esa superficie. En geometría diferencial , una conexión afín se puede definir sin referencia a una métrica, y siguen muchos conceptos adicionales: transporte paralelo , derivadas covariantes , geodésicas , etc., tampoco requieren el concepto de métrica. ^{[2] [3]} Sin embargo, cuando hay una métrica disponible, estos conceptos pueden vincularse directamente a la "forma" de la variedad misma; esa forma está determinada por cómo el tensor métrico une el espacio tangente al espacio cotangente . ^[4] De manera abstracta, se diría que la variedad tiene un conjunto de cuadros asociado ( ortonormal ) , siendo cada " cuadro " una posible elección de un cuadro de coordenadas . Una métrica invariante implica que el grupo de estructura del paquete de marcos es el grupo ortogonal O ( p , q ) . Como resultado, tal variedad es necesariamente una variedad ( pseudo ) Riemanniana . ^{[5] [6]} Los símbolos de Christoffel proporcionan una representación concreta de la conexión de la geometría (pseudo-)riemanniana en términos de coordenadas en la variedad. Conceptos adicionales, como transporte paralelo, geodésicas, etc., se pueden expresar en términos de símbolos de Christoffel.

En general, existe un número infinito de conexiones métricas para un tensor métrico dado ; sin embargo, existe una única conexión que está libre de torsión , la conexión Levi-Civita . Es común en física y relatividad general trabajar casi exclusivamente con la conexión Levi-Civita, trabajando en marcos de coordenadas (llamados coordenadas holonómicas ) donde la torsión desaparece. Por ejemplo, en los espacios euclidianos , los símbolos de Christoffel describen cómo las bases de coordenadas locales cambian de un punto a otro.

En cada punto de la variedad n -dimensional subyacente , para cualquier sistema de coordenadas local alrededor de ese punto, los símbolos de Christoffel se denotan como Γ ⁱ _jk para i , j , k = 1, 2, ..., n . Cada entrada de esta matriz n × n × n es un número real . Bajo transformaciones de coordenadas lineales en la variedad, los símbolos de Christoffel se transforman como los componentes de un tensor , pero bajo transformaciones de coordenadas generales ( diffeomorfismos ) no lo hacen. La mayoría de las propiedades algebraicas de los símbolos de Christoffel se derivan de su relación con la conexión afín; sólo unos pocos se derivan del hecho de que el grupo estructural es el grupo ortogonal O( m , n ) (o el grupo de Lorentz O(3, 1) para la relatividad general).

Los símbolos de Christoffel se utilizan para realizar cálculos prácticos. Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se puede expresar enteramente en términos de los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales . En la relatividad general , la conexión desempeña el papel del campo de fuerza gravitacional , siendo el potencial gravitacional correspondiente el tensor métrico. Cuando el sistema de coordenadas y el tensor métrico comparten cierta simetría, muchos de los Γ ⁱ _jk son cero .

Los símbolos de Christoffel llevan el nombre de Elwin Bruno Christoffel (1829-1900). ^[7]

Nota

Las definiciones dadas a continuación son válidas tanto para variedades riemannianas como para variedades pseudoriemannianas , como las de la relatividad general , haciéndose una cuidadosa distinción entre índices superiores e inferiores ( índices contravariantes y covariantes ). Las fórmulas son válidas para cualquiera de las convenciones de signos , a menos que se indique lo contrario.

En este artículo se utiliza la convención de suma de Einstein , con los vectores indicados en negrita. Los coeficientes de conexión de la conexión Levi-Civita (o conexión pseudo-riemanniana) expresados ​​en forma de coordenadas se denominan símbolos de Christoffel .

Definiciones preliminares

Dada una variedad , un atlas consta de una colección de gráficos para cada portada abierta . Estos gráficos permiten retroceder la base vectorial estándar a una base vectorial en el espacio tangente de . Esto se hace de la siguiente manera. Dada alguna función real arbitraria , el gráfico permite definir un gradiente : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{for }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

Este gradiente se denomina comúnmente retroceso porque "hace retroceder" el gradiente a un gradiente en . El retroceso no depende de la función real ; se puede demostrar que es el mismo, sin importar lo que se use. De esta manera, la base vectorial estándar on retrocede a una base vectorial estándar ("coordenada") on . Esto se llama "base de coordenadas", porque depende explícitamente de las coordenadas de . A veces se le llama "base local". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Esta definición permite un abuso común de notación . Se definieron como en correspondencia uno a uno con los vectores base en . La notación sirve como recordatorio de que los vectores base en el espacio tangente provienen de una construcción de gradiente. A pesar de esto, es común "olvidar" esta construcción y simplemente escribir (o mejor dicho, definir) vectores en tal que . La gama completa de notación comúnmente utilizada incluye el uso de flechas y negrita para indicar vectores: ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle e_{i}\equiv \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}}$

donde se utiliza como recordatorio de que se definen como notación equivalente para el mismo concepto. La elección de la notación depende del estilo y el gusto, y varía de un texto a otro. ${\displaystyle \equiv }$

La base de coordenadas proporciona una base vectorial para campos vectoriales en . Notación de uso común para campos vectoriales en inclusión ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

La letra mayúscula , sin la flecha vectorial, es particularmente popular para la notación sin índice , porque minimiza el desorden y recuerda que los resultados son independientes de la base elegida y, en este caso, independientes del atlas. ${\displaystyle X}$

El mismo abuso de notación se utiliza para impulsar formas unitarias desde hasta . Esto se hace escribiendo o o . La forma única es entonces . Esto se suelda a los vectores base como . Tenga en cuenta el uso cuidadoso de los índices superior e inferior para distinguir vectores contravariantes y covariantes. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$ ${\displaystyle x=\varphi }$ ${\displaystyle x^{i}=\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}=d\varphi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}}$

El retroceso induce (define) un tensor métrico en . Se utilizan habitualmente varios estilos de notación: ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}}$$

producto escalartensorlas variedades de Riemanndelta de Kroneckervariedades pseudo-riemannianas ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{ab}=\delta _{ab}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle e_{i}^{a}}$ ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle i,j,k,\cdots }$

La matriz inversa del tensor métrico viene dada por ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

$${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}$$

Algunos textos escriben para , de modo que el tensor métrico adopta una forma particularmente seductora . Esto se hace comúnmente para que el símbolo pueda usarse sin ambigüedades para el vierbein . ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Definición en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano , se puede demostrar que la definición general que se da a continuación para los símbolos de Christoffel del segundo tipo es equivalente a:

$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}}$$

Los símbolos de Christoffel del primer tipo se pueden encontrar bajando el índice :

$${\displaystyle \Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}}$$

Reordenando, vemos que (asumiendo que la derivada parcial pertenece al espacio tangente, lo cual no puede ocurrir en un espacio curvo no euclidiano ):

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}}$$

En palabras, las matrices representadas por los símbolos de Christoffel rastrean cómo cambia la base de un punto a otro. Si la derivada no se encuentra en el espacio tangente, la expresión correcta es la proyección de la derivada sobre el espacio tangente (ver derivada covariante a continuación). Los símbolos del segundo tipo descomponen el cambio con respecto a la base, mientras que los símbolos del primer tipo lo descomponen con respecto a la base dual. De esta forma, es fácil ver la simetría de los dos últimos índices inferiores o inferiores:

$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}}$$

se comporten bien ${\displaystyle \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Los mismos valores numéricos para los símbolos de Christoffel del segundo tipo también se relacionan con las derivadas de la base dual, como se ve en la expresión:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},}$$

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.}$$

Definición general

Los símbolos de Christoffel vienen en dos formas: el primer tipo y el segundo tipo. La definición del segundo tipo es más básica y por eso se presenta primero.

Símbolos de Christoffel del segundo tipo (definición simétrica)

Los símbolos de Christoffel del segundo tipo son los coeficientes de conexión (en base coordinada) de la conexión Levi-Civita . En otras palabras, los símbolos de Christoffel del segundo tipo ^{[8] [9]} Γ ^k _ij (a veces Γ^k
_ijo {^k
_ij} ) ^{[7] [8]} se definen como los coeficientes únicos tales que

$${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},}$$

∇ _iconexión Levi-CivitaMe _i∇ _i ≡ ∇ _{e i}e _i = ∂ _ibase de coordenadas locales ( holonómicastorsión ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0}$

$${\displaystyle \nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.}$$

^[8]

$${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.}$$

simétrica

Los símbolos de Christoffel se pueden derivar de la desaparición de la derivada covariante del tensor métrico g _ik :

$${\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.}$$

Como notación abreviada, el símbolo nabla y los símbolos de derivada parcial se eliminan con frecuencia y, en su lugar, se utilizan un punto y coma y una coma para resaltar el índice que se utiliza para la derivada. Por lo tanto, lo anterior a veces se escribe como

$${\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Usando que los símbolos son simétricos en los dos índices inferiores, se pueden resolver explícitamente los símbolos de Christoffel como una función del tensor métrico permutando los índices y resumiendo: ^[10]

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),}$$

donde ( g ^jk ) es la inversa de la matriz ( g _jk ) , definida como (usando el delta de Kronecker y la notación de Einstein para la suma) g ^ji g _ik = δ  ^j _k . Aunque los símbolos de Christoffel están escritos en la misma notación que los tensores con notación índice , no se transforman como los tensores ante un cambio de coordenadas.

Contracción de índices

Contraer el índice superior con cualquiera de los índices inferiores (los que son simétricos) conduce a

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}}$$

${\displaystyle g=\det g_{ik}}$

Símbolos de Christoffel del primer tipo.

Los símbolos de Christoffel del primer tipo pueden derivarse de los símbolos de Christoffel del segundo tipo y de la métrica, ^[11]

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,}$$

o solo de la métrica, ^[11]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}}$$

Como notación alternativa también se encuentra ^{[7] [12] [13]}

$${\displaystyle \Gamma _{cab}=[ab,c].}$$

[ ab , c ] = [ ba , c ]^[10]

Coeficientes de conexión en una base no holonómica.

Los símbolos de Christoffel suelen definirse según una base de coordenadas, que es la convención que se sigue aquí. En otras palabras, el nombre de símbolos de Christoffel está reservado sólo para marcos de coordenadas (es decir, holonómicos ). Sin embargo, los coeficientes de conexión también se pueden definir en una base arbitraria (es decir, no holonómica) de vectores tangentes u _i por

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.}$$

Explícitamente, en términos del tensor métrico, esto es ^[9]

$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),}$$

donde c _klm = g _mp c _kl ^p son los coeficientes de conmutación de la base; eso es,

$${\displaystyle [\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}}$$

donde u _k son los vectores base y [,] es el corchete de Lie . Los vectores unitarios estándar en coordenadas esféricas y cilíndricas proporcionan un ejemplo de base con coeficientes de conmutación que no desaparecen. La diferencia entre la conexión en dicho marco y la conexión de Levi-Civita se conoce como tensor de contorsión .

Coeficientes de rotación de Ricci (definición asimétrica)

Cuando elegimos la base X _i ≡ u _i ortonormal: g _ab ≡ η _ab = ⟨ X _a , X _b ⟩ entonces g _mk,l ≡ η _mk,l = 0 . Esto implica que

$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)}$$

$${\displaystyle \omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,}$$

$${\displaystyle \omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.}$$

En este caso, los coeficientes de conexión ω ^a _bc se denominan coeficientes de rotación de Ricci . ^{[14] [15]}

De manera equivalente, se pueden definir los coeficientes de rotación de Ricci de la siguiente manera: ^[9]

$${\displaystyle {\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,}$$

u _iu ^k = η ^kl u _lco-base

Ley de transformación bajo cambio de variable.

Bajo un cambio de variable de a , los símbolos de Christoffel se transforman como ${\displaystyle \left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)}$ ${\displaystyle \left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)}$

$${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}}$$

donde la línea superior indica los símbolos de Christoffel en el sistema de coordenadas. El símbolo de Christoffel no se transforma como tensor, sino como un objeto en el haz de chorros . Más precisamente, los símbolos de Christoffel pueden considerarse funciones sobre el haz de chorros del haz de marcos de M , independientemente de cualquier sistema de coordenadas local. La elección de un sistema de coordenadas local determina una sección local de este paquete, que luego puede usarse para retroceder los símbolos de Christoffel a funciones en M , aunque, por supuesto, estas funciones dependen de la elección del sistema de coordenadas local. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

Para cada punto existen sistemas de coordenadas en los que los símbolos de Christoffel desaparecen en el punto. ^[16] Éstas se denominan coordenadas normales (geodésicas) y se utilizan a menudo en la geometría de Riemann .

Hay algunas propiedades interesantes que pueden derivarse directamente de la ley de transformación.

• Para la transformación lineal, la parte no homogénea de la transformación (segundo término del lado derecho) desaparece de manera idéntica y luego se comporta como un tensor. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$
• Si tenemos dos campos de conexiones, digamos y , entonces su diferencia es un tensor ya que los términos no homogéneos se cancelan entre sí. Los términos no homogéneos dependen sólo de cómo se cambian las coordenadas, pero son independientes del propio símbolo de Christoffel. ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}}$
• Si el símbolo de Christoffel es asimétrico con respecto a sus índices inferiores en un sistema de coordenadas, es decir , entonces permanecen asimétricos ante cualquier cambio de coordenadas. Un corolario de esta propiedad es que es imposible encontrar un sistema de coordenadas en el que todos los elementos del símbolo de Christoffel sean cero en un punto, a menos que los índices inferiores sean simétricos. Esta propiedad fue señalada independientemente por Albert Einstein ^[17] y Erwin Schrödinger ^[18] . ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}}$

Relación con el transporte paralelo y la derivación de símbolos de Christoffel en el espacio de Riemann

Si un vector se transporta paralelo a una curva parametrizada por algún parámetro en una variedad de Riemann , la tasa de cambio de las componentes del vector viene dada por ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.}$$

Ahora bien, simplemente usando la condición de que el producto escalar formado por dos vectores arbitrarios y no cambie es suficiente para derivar los símbolos de Christoffel. La condición es ${\displaystyle g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}}$ ${\displaystyle \xi ^{i}}$ ${\displaystyle \eta ^{k}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.}$$

Aplicando la regla de transporte paralelo para los dos vectores arbitrarios y reetiquetando índices ficticios y recopilando los coeficientes de (arbitrario), obtenemos ${\displaystyle \xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.}$$

Esto es lo mismo que la ecuación obtenida al requerir que la derivada covariante del tensor métrico desaparezca en la sección de Definición general. La derivación a partir de aquí es sencilla. Al permutar cíclicamente los índices en la ecuación anterior, podemos obtener dos ecuaciones más y luego, combinando linealmente estas tres ecuaciones, podemos expresarlas en términos de tensor métrico. ${\displaystyle ikl}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}}$

Relación con la notación libre de índice

Sean X e Y campos vectoriales con ^componentes Xi e Y ^k . Entonces la k- ésima componente de la derivada covariante de Y con respecto a X viene dada por

$${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).}$$

Aquí se utiliza la notación de Einstein , por lo que los índices repetidos indican la suma de los índices y la contracción con el tensor métrico sirve para subir y bajar los índices:

$${\displaystyle g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.}$$

Tenga en cuenta que g _ik ≠ g ^ik y que g ⁱ _k = δ  ⁱ _k , el delta de Kronecker . La convención es que el tensor métrico es el que tiene índices más bajos; la forma correcta de obtener g ^ik a partir de g _ik es resolver las ecuaciones lineales g ^ij g _jk = δ  ⁱ _k .

La afirmación de que la conexión está libre de torsión , es decir, que

$${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]}$$

es equivalente a la afirmación de que, en una base de coordenadas, el símbolo de Christoffel es simétrico en los dos índices inferiores:

$${\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.}$$

Las propiedades de transformación sin índice de un tensor vienen dadas por retrocesos para índices covariantes y avances para índices contravariantes. El artículo sobre derivadas covariantes proporciona una discusión adicional sobre la correspondencia entre notación libre de índice y notación indexada.

Derivadas covariantes de tensores

La derivada covariante de un campo vectorial contravariante con componentes V ^m es

$${\displaystyle \nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.}$$

Como corolario, la divergencia de un vector se puede obtener como

$${\displaystyle \nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$$

La derivada covariante de un campo covector ω _m es

$${\displaystyle \nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.}$$

La simetría del símbolo de Christoffel ahora implica

$${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi }$$

tensor de curvatura

La derivada covariante de un campo tensorial tipo (2, 0) A ^ik es

$${\displaystyle \nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},}$$

$${\displaystyle {A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.}$$

Si el campo tensorial es mixto, entonces su derivada covariante es

$${\displaystyle {A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},}$$

(0, 2)

$${\displaystyle A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.}$$

Derivadas contravariantes de tensores

Para encontrar la derivada contravariante de un campo vectorial, primero debemos transformarla en una derivada covariante usando el tensor métrico

$${\displaystyle \nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}}$$

Aplicaciones

En relatividad general

Los símbolos de Christoffel encuentran un uso frecuente en la teoría de la relatividad general de Einstein , donde el espacio-tiempo está representado por una variedad de Lorentz curva de 4 dimensiones con una conexión Levi-Civita . Las ecuaciones de campo de Einstein —que determinan la geometría del espaciotiempo en presencia de materia— contienen el tensor de Ricci , por lo que calcular los símbolos de Christoffel es fundamental. Una vez determinada la geometría, se calculan las trayectorias de las partículas y los haces de luz resolviendo las ecuaciones geodésicas en las que aparecen explícitamente los símbolos de Christoffel.

En mecánica clásica (no relativista)

Sean las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas, entonces la energía cinética para una unidad de masa viene dada por , donde está el tensor métrico . Si existe la función potencial, entonces los componentes contravariantes de la fuerza generalizada por unidad de masa son . La métrica (aquí en un dominio puramente espacial) se puede obtener del elemento línea . Sustituyendo el lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange , obtenemos ^[19] ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}}$ ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle V\left(x^{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{i}=\partial V/\partial x^{i}}$ ${\displaystyle ds^{2}=2Tdt^{2}}$ ${\displaystyle L=T-V}$

$${\displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.}$$

Ahora multiplicando por obtenemos ${\displaystyle g^{ij}}$

$${\displaystyle {\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.}$$

Cuando se pueden adoptar coordenadas cartesianas (como en los sistemas de referencia inerciales), tenemos una métrica euclidiana, el símbolo de Christoffel desaparece y la ecuación se reduce a la segunda ley del movimiento de Newton . En coordenadas curvilíneas ^[20] (forzadamente en marcos no inerciales, donde la métrica no es euclidiana ni plana), las fuerzas ficticias como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis se originan a partir de los símbolos de Christoffel, es decir, de las coordenadas curvilíneas puramente espaciales.

En coordenadas de la superficie terrestre

Dado un sistema de coordenadas esférico , que describe puntos de la superficie de la Tierra (aproximados como una esfera ideal).

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Para un punto x, R es la distancia al núcleo de la Tierra (normalmente aproximadamente el radio de la Tierra ). θ y φ son la latitud y la longitud . θ positivo es el hemisferio norte. Para simplificar las derivadas, los ángulos se dan en radianes (donde d sin(x)/dx = cos(x), los valores en grados introducen un factor adicional de 360 ​​/ 2 pi).

En cualquier ubicación, las direcciones tangentes son (arriba), (norte) y (este); también puede utilizar los índices 1,2,3. ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

El tensor métrico relacionado tiene sólo elementos diagonales (las longitudes del vector al cuadrado). Esta es una ventaja del sistema de coordenadas y, en general, no es cierta.

^[21]

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}}$$

Ahora se pueden calcular las cantidades necesarias. Ejemplos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}}$$

Los símbolos de Christoffel resultantes del segundo tipo son entonces (organizados por el índice "derivado" i en una matriz): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Estos valores muestran cómo cambian las direcciones tangentes (columnas: , , ), vistas desde una perspectiva exterior (por ejemplo, desde el espacio), pero dadas en las direcciones tangentes de la ubicación real (filas: R , θ , φ ). ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$ ${\displaystyle e_{\varphi }}$

Como ejemplo, tomemos las derivadas distintas de cero de θ en , que corresponde a un movimiento hacia el norte (dθ positivo): ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }}$

• La nueva dirección norte cambia en -R dθ en la dirección hacia arriba (R). Entonces la dirección norte girará hacia abajo, hacia el centro de la Tierra. ${\displaystyle e_{\theta }}$
• De manera similar, la dirección ascendente se ajustará hacia el norte. Las diferentes longitudes de y conducen a un factor de 1/R. ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle e_{\theta }}$
• Moviéndose hacia el norte, el vector tangente este cambia su longitud (-tan(θ) en la diagonal), se encogerá (-tan(θ) dθ < 0) en el hemisferio norte y aumentará (-tan(θ) dθ > 0 ) en el hemisferio sur. ^[21] ${\displaystyle e_{\varphi }}$

Estos efectos tal vez no sean evidentes durante el movimiento, porque son los ajustes que mantienen las medidas en las coordenadas R , θ , φ . Sin embargo, puede afectar distancias, ecuaciones físicas, etc. Así que si, por ejemplo, necesita el cambio exacto de un campo magnético que apunta aproximadamente al "sur", puede ser necesario corregir también su medición mediante el cambio de la dirección norte usando los símbolos de Christoffel. para obtener el valor "verdadero" ( tensor ).

Los símbolos de Christoffel del primer tipo muestran el mismo cambio usando coordenadas corregidas métricamente, por ejemplo, para derivada por φ : ${\displaystyle {\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

^[21]

Ver también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo.
• colector diferenciable
• Lista de fórmulas en geometría de Riemann
• cálculo de ricci
• Tensor de Riemann-Christoffel
• Ecuaciones de Gauss-Codazzi
• Ejemplo de cálculo de símbolos de Christoffel

Notas

1. Véase, por ejemplo, (Spivak 1999) y (Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)
2. Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introducción a la relatividad general (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN  0-07-000423-4 ( Ver sección 2.1 )
3. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitación (1973) WH Freeman ISBN 0-7167-0334-3 ( Ver capítulos 8-11 ) 
4. Misner, Thorne, Wheeler, op. cit. ( Ver capítulo 13 )
5. Jurgen Jost, Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag ISBN 3-540-42627-2 
6. David Bleeker, Teoría de calibres y principios variacionales (1991) Addison-Wesely Publishing Company ISBN 0-201-10096-7 
7. Christoffel, EB (1869), "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 70 : 46–70
8. Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Análisis vectorial y tensorial . pag. 480.
9. "Símbolo de Christoffel del segundo tipo - de Wolfram MathWorld". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 23 de enero de 2009.
10. Obispo, RL; Goldberg (1968), Análisis tensorial de variedades , p. 241
11. Ludvigsen, Malcolm (1999), Relatividad general: un enfoque geométrico , p. 88
12. Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Análisis vectorial y tensorial . pag. 480.
13. Struik, DJ (1961). Conferencias sobre geometría diferencial clásica (publicado por primera vez en 1988, edición de Dover). pag. 114.
14. G. Ricci-Curbastro (1896). "Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque". Memoria. Acc. Lincei . 2 (5): 276–322.
15. H. Levy (1925). "Coeficientes de rotación de Ricci". Toro. América. Matemáticas. Soc . 31 (3–4): 142–145. doi : 10.1090/s0002-9904-1925-03996-8 .
16. Esto supone que la conexión es simétrica (por ejemplo, la conexión Levi-Civita). Si la conexión tiene torsión , entonces sólo se puede hacer desaparecer la parte simétrica del símbolo de Christoffel.
17. Einstein, Albert (2005). "El significado de la relatividad (1956, quinta edición)". Prensa de la Universidad de Princeton (2005).
18. Schrödinger, E. (1950). Estructura espacio-temporal. Prensa de la Universidad de Cambridge.
19. Adler, R., Bazin, M. y Schiffer, M. Introducción a la relatividad general (Nueva York, 1965).
20. David, Kay, Cálculo tensorial (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6 ( consulte la sección 11.4 ) 
21. Sesslar, Alexander J. “Trabajos matemáticos publicados | Símbolos de Christoffel y coordenadas esféricas. 2023 https://sites.google.com/view/published-mathematical-works/home

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of Mechanics , Londres: Benjamin/Cummings Publishing, págs. Véase el capítulo 2, párrafo 2.7.1, ISBN 0-8053-0102-X
• Adler, Ronald; Bazin, Mauricio; Schiffer, Menahem (1965), Introducción a la relatividad general (Primera ed.), McGraw-Hill Book Company
• Obispo, RL ; Goldberg, SI (1968), Análisis tensorial en variedades (primera edición de Dover, 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Análisis, variedades y física , Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Landau, Lev Davidovich ; Lifshitz, Evgeny Mikhailovich (1951), La teoría clásica de los campos , Curso de Física Teórica , vol. 2 (Cuarta edición revisada en inglés), Oxford: Pergamon Press, págs. Véase el capítulo 10, párrafos 85, 86 y 87, ISBN 0-08-025072-6
• Kreyszig, Erwin (1991), Geometría diferencial , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-66721-8
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1970), Gravitation , Nueva York: WH Freeman, págs. Véase el capítulo 8, párrafo 8.5, ISBN. 0-7167-0344-0
• Ludvigsen, Malcolm (1999), Relatividad general: un enfoque geométrico , Cambridge University Press, ISBN 0-521-63019-3
• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial , vol. 2, Publicar o perecer, ISBN 0-914098-71-3
• Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). Análisis vectorial y tensorial. Editores académicos. ISBN 978-93-8059-905-2.
• Struik, DJ (1961). Conferencias sobre geometría diferencial clásica (publicado por primera vez en 1988, edición de Dover). Dover. ISBN 0-486-65609-8.
• P. Grinfeld (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies en movimiento . Saltador. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• "Varias ecuaciones tensoriales mostradas en su totalidad". www.tero.co.uk.​ Consultado el 1 de enero de 2023 .