verdad vacía

Enunciado condicional que es verdadero porque el antecedente no puede satisfacerse.

En matemáticas y lógica , una verdad vacía es un enunciado condicional o universal (un enunciado universal que puede convertirse en un enunciado condicional) que es verdadero porque el antecedente no puede satisfacerse . ^[1] A veces se dice que una afirmación es vagamente cierta porque en realidad no dice nada. ^[2] Por ejemplo, la afirmación "todos los teléfonos móviles de la habitación están apagados" será cierta cuando no haya teléfonos móviles en la habitación. En este caso, la afirmación "todos los teléfonos móviles de la habitación están encendidos " también sería vagamente cierta, al igual que la conjunción de las dos: "todos los teléfonos móviles de la habitación están encendidos y apagados", que de otro modo sería incoherente y falso.

Más formalmente, un uso relativamente bien definido se refiere a un enunciado condicional (o un enunciado condicional universal) con un antecedente falso . ^{[1] [3] [2] [4]} Un ejemplo de tal afirmación es "si Tokio está en España, entonces la Torre Eiffel está en Bolivia".

Tales enunciados se consideran verdades vacías, porque el hecho de que el antecedente sea falso impide utilizar el enunciado para inferir algo sobre el valor de verdad del consecuente . En esencia, un enunciado condicional, que se basa en el condicional material , es verdadero cuando el antecedente ("Tokio está en España" en el ejemplo) es falso independientemente de si la conclusión o el consecuente ("la Torre Eiffel está en Bolivia" en el ejemplo) es verdadero o falso porque el condicional material se define de esa manera.

Los ejemplos comunes al habla cotidiana incluyen frases condicionales utilizadas como modismos de improbabilidad como "cuando el infierno se congele ..." y "cuando los cerdos puedan volar ...", lo que indica que no antes de que se cumpla la condición dada (imposible) el hablante aceptará alguna proposición respectiva (típicamente falsa o absurda).

En matemáticas puras , los enunciados vagamente verdaderos generalmente no son de interés por sí mismos, pero frecuentemente surgen como el caso base de las demostraciones por inducción matemática . ^[5] Esta noción tiene relevancia en las matemáticas puras , así como en cualquier otro campo que utilice la lógica clásica .

Fuera de las matemáticas, las afirmaciones que pueden caracterizarse informalmente como vagamente verdaderas pueden ser engañosas. Tales declaraciones hacen afirmaciones razonables sobre objetos calificados que en realidad no existen . Por ejemplo, un niño podría decirle sinceramente a sus padres "Me comí todas las verduras de mi plato", cuando, para empezar, no había verduras en el plato del niño. En este caso, los padres pueden creer que el niño realmente ha comido algunas verduras, aunque eso no sea cierto. Además, una verdad vacía suele usarse coloquialmente con afirmaciones absurdas, ya sea para afirmar algo con seguridad (por ejemplo, "el perro era rojo, o soy el tío de un mono" para afirmar firmemente que el perro era rojo), o para expresar dudas. sarcasmo, incredulidad, incredulidad o indignación (por ejemplo, "sí, y soy el rey de Inglaterra" para no estar de acuerdo con una afirmación hecha anteriormente).

Alcance del concepto

Un enunciado es "vacuamente verdadero" si se parece a un enunciado condicional material , donde se sabe que el antecedente es falso. ^{[1] [3] [2]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

Las afirmaciones vagamente verdaderas que pueden reducirse ( con transformaciones adecuadas ) a esta forma básica (condicional material) incluyen las siguientes afirmaciones universalmente cuantificadas :

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$, donde se da el caso de que . ^[4] ${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$, donde el conjunto está vacío . ${\displaystyle A}$
  • Esta forma lógica se puede convertir a la forma condicional material para identificar fácilmente el antecedente . Para el ejemplo anterior "todos los teléfonos móviles de la habitación están apagados", se puede escribir formalmente como dónde está el conjunto de todos los teléfonos móviles de la habitación y está " apagado". Esto se puede escribir en un enunciado condicional material donde es el conjunto de todas las cosas en la habitación (incluidos los teléfonos celulares si existen en la habitación), el antecedente es " es un teléfono celular" y el consecuente es " está apagado". . ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi )}$, donde el símbolo está restringido a un tipo que no tiene representantes. ${\displaystyle \xi }$

Las verdades vacías aparecen más comúnmente en la lógica clásica con dos valores de verdad . Sin embargo, las verdades vacías también pueden aparecer, por ejemplo, en la lógica intuicionista , en las mismas situaciones expuestas anteriormente. De hecho, si es falso, entonces producirá una verdad vacía en cualquier lógica que utilice el condicional material ; Si es una falsedad necesaria , también producirá una verdad vacía bajo el condicional estricto . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

Otras lógicas no clásicas, como la lógica de relevancia , pueden intentar evitar verdades vacías mediante el uso de condicionales alternativos (como el caso del condicional contrafactual ).

En programación de computadoras

Muchos entornos de programación tienen un mecanismo para consultar si cada elemento de una colección de elementos satisface algún predicado. Es común que una consulta de este tipo siempre se evalúe como verdadera para una colección vacía. Por ejemplo:

• En JavaScript , el método de matrizevery ejecuta una función de devolución de llamada proporcionada una vez para cada elemento presente en la matriz, y solo se detiene (si y cuando) encuentra un elemento donde la función de devolución de llamada devuelve falso. En particular, llamar al everymétodo en una matriz vacía devolverá verdadero para cualquier condición. ^[6]
• En Python , la allfunción regresa Truesi todos los elementos del iterable dado son True. La función también regresa Truecuando se le da un iterable de longitud cero. ^[7]
• En Rust , la Iterator::allfunción acepta un iterador y un predicado y regresa truesolo cuando el predicado regresa truepara todos los elementos producidos por el iterador, o si el iterador no produce ningún elemento. ^[8]

Ejemplos

Estos ejemplos, uno de las matemáticas y otro del lenguaje natural , ilustran el concepto de verdades vacías:

• "Para cualquier número entero x , si x > 5 entonces x > 3 ". ^[9] – Esta afirmación es cierta de manera no vacía (ya que algunos números enteros son de hecho mayores que 5), pero algunas de sus implicaciones sólo son verdaderas de manera vacía: por ejemplo, cuando x es el número entero 2, la afirmación implica la verdad vacía de que " si 2 > 5 entonces 2 > 3 ".
• "Todos mis hijos son cabras" es una verdad vacía cuando la dice alguien sin hijos. De manera similar, "Ninguno de mis hijos es una cabra" también sería una verdad vacía, cuando la dijera la misma persona.

Ver también

• Descripción definitiva
• Leyes de De Morgan , específicamente la ley de que una afirmación universal es verdadera en caso de que no exista un contraejemplo: ${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)}$
• Suma vacía y producto vacío
• Función vacía
• Paradojas de la implicación material , especialmente el principio de explosión.
• Presuposición , doble pregunta
• Estado de cosas (filosofía)
• Tautología (lógica) : otro tipo de afirmación verdadera que tampoco transmite ninguna información sustancial.
• Trivialidad (matemáticas) y degeneración (matemáticas)

Referencias

1. "Vacuamente cierto". web.cse.ohio-state.edu . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. "Vacuamente cierto - wiki de CS2800". cursos.cs.cornell.edu . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
3. "Definición: Verdad vacía - ProofWiki". pruebawiki.org . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
4. Edwards, CH (18 de enero de 1998). "Vacuamente cierto" (PDF) . swarthmore.edu . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
5. Baldwin, Douglas L.; Scragg, Greg W. (2011), Algoritmos y estructuras de datos: la ciencia de la informática, Cengage Learning, pág. 261, ISBN 978-1-285-22512-8
6. "Array.prototype.every() - JavaScript | MDN". desarrollador.mozilla.org .
7. "Funciones integradas: documentación de Python 3.10.2". docs.python.org .
8. "Iterador en std::iter - Rust". doc.rust-lang.org .
9. "lógica - ¿Qué es exactamente una verdad vacía?". Intercambio de pilas de matemáticas .

Bibliografía

• Blackburn, Simón (1994). "vacío", Diccionario Oxford de Filosofía . Oxford: Oxford University Press, pág. 388.
• David H. Sanford (1999). "implicación". Diccionario de Filosofía de Cambridge , 2º. ed., pág. 420.
• Cerveza, Ilán; Ben-David, Shoham; Eisner, Cindy; Rodeh, Yoav (1997). "Detección eficiente de la vacuidad en fórmulas ACTL". Verificación asistida por computadora: Novena Conferencia Internacional, CAV'97 Haifa, Israel, 22 al 25 de junio de 1997, Actas. Apuntes de conferencias sobre informática . vol. 1254, págs. 279–290. doi : 10.1007/3-540-63166-6_28 . ISBN 978-3-540-63166-8.

enlaces externos

• Afirmaciones condicionales: verdad vacía