Principio de explosión

Teorema que establece que cualquier enunciado puede demostrarse a partir de una contradicción

En la lógica clásica , la lógica intuicionista y sistemas lógicos similares, el principio de explosión ( latín : ex falso [sequitur] quodlibet , 'de la falsedad, cualquier cosa [sigue]'; o ex contradictione [sequitur] quodlibet , 'de la contradicción, cualquier cosa [sigue] ]'), o el principio del Pseudo-Escoto (falsamente atribuido a Duns Escoto ), es la ley según la cual cualquier enunciado puede ser probado a partir de una contradicción . ^{[1] [2] [3]} Es decir, de una contradicción se puede inferir cualquier proposición (incluida su negación ); esto se conoce como explosión deductiva . ^{[4] [5]}

La prueba de este principio fue dada por primera vez por el filósofo francés del siglo XII Guillermo de Soissons . ^[6] Debido al principio de explosión, la existencia de una contradicción ( inconsistencia ) en un sistema axiomático formal es desastrosa; dado que cualquier afirmación puede ser probada, trivializa los conceptos de verdad y falsedad. ^[7] A principios del siglo XX, el descubrimiento de contradicciones como la paradoja de Russell en los fundamentos de las matemáticas amenazó toda la estructura de las matemáticas. Matemáticos como Gottlob Frege , Ernst Zermelo , Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem se esforzaron mucho en revisar la teoría de conjuntos para eliminar estas contradicciones, lo que dio como resultado la moderna teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Como demostración del principio, considere dos afirmaciones contradictorias: "Todos los limones son amarillos" y "No todos los limones son amarillos" y suponga que ambas son verdaderas. Si ese es el caso, cualquier cosa puede probarse, por ejemplo, la afirmación de que " los unicornios existen", utilizando el siguiente argumento:

1. Sabemos que "No todos los limones son amarillos", como se ha dado por sentado.
2. Sabemos que "Todos los limones son amarillos", como se supone que es cierto.
3. Por lo tanto, la afirmación de dos partes "Todos los limones son amarillos o los unicornios existen" también debe ser cierta, ya que la primera parte de la afirmación ("Todos los limones son amarillos") ya se ha asumido, y el uso de " o " significa que Si incluso una parte del enunciado es verdadera, el enunciado en su conjunto también debe ser verdadero.
4. Sin embargo, como también sabemos que "No todos los limones son amarillos" (como se ha supuesto), la primera parte es falsa y, por tanto, la segunda parte debe ser verdadera para garantizar que la afirmación de dos partes sea verdadera, es decir, unicornios. existen (esta inferencia se conoce como silogismo disyuntivo ).
5. El procedimiento puede repetirse para demostrar que los unicornios no existen (lo que demuestra una contradicción adicional donde los unicornios existen y no existen), así como cualquier otra fórmula bien formada . Por tanto, hay una explosión de afirmaciones verdaderas.

En una solución diferente a los problemas planteados por el principio de explosión, algunos matemáticos han ideado teorías lógicas alternativas llamadas lógicas paraconsistentes , que permiten probar algunas afirmaciones contradictorias sin afectar el valor de verdad de (todas) las demás afirmaciones. ^[7]

Representación simbólica

En lógica simbólica , el principio de explosión se puede expresar esquemáticamente de la siguiente manera: ^{[8] [9]}

${\displaystyle P,\lnot P\vdash Q}$ Para cualquier enunciado P y Q , si P y no- P son ambos verdaderos, entonces se sigue lógicamente que Q es verdadero.

Prueba

A continuación se muestra una prueba formal del principio utilizando lógica simbólica .

Esta es sólo la versión simbólica del argumento informal dado en la introducción, donde se representa "todos los limones son amarillos" y "los unicornios existen". Comenzamos asumiendo que (1) todos los limones son amarillos y que (2) no todos los limones son amarillos. De la proposición de que todos los limones son amarillos, inferimos que (3) o todos los limones son amarillos o existen los unicornios. Pero de esto y del hecho de que no todos los limones son amarillos, inferimos que (4) los unicornios existen por silogismo disyuntivo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Argumento semántico

Un argumento alternativo a favor del principio surge de la teoría de modelos . Una oración es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones sólo si cada modelo de es un modelo de . Sin embargo, no existe ningún modelo del conjunto contradictorio . A fortiori , no hay ningún modelo de que no sea un modelo de . Así, de manera vacía, todo modelo de es un modelo de . Por tanto, es una consecuencia semántica de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$

Lógica paraconsistente

Se han desarrollado lógicas paraconsistentes que permiten operadores de formación subcontraria . Los lógicos paraconsistentes de la teoría de modelos a menudo niegan el supuesto de que no pueda haber ningún modelo y diseñan sistemas semánticos en los que existan tales modelos. Alternativamente, rechazan la idea de que las proposiciones puedan clasificarse como verdaderas o falsas. Las lógicas paraconsistentes de la teoría de la prueba generalmente niegan la validez de uno de los pasos necesarios para derivar una explosión, que generalmente incluyen silogismo disyuntivo , introducción de disyunción y reducción al absurdo . ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$

Uso

El valor metamatemático del principio de explosión es que para cualquier sistema lógico donde se cumpla este principio, cualquier teoría derivada que demuestre ⊥ (o una forma equivalente ) no tiene valor porque todos sus enunciados se convertirían en teoremas , haciendo imposible distinguir la verdad de la falsedad. . Es decir, el principio de explosión es un argumento a favor de la ley de no contradicción en la lógica clásica, porque sin él todas las afirmaciones de verdad pierden sentido. ${\displaystyle \phi \land \lnot \phi }$

La reducción de la fuerza de la prueba de las lógicas sin ex falso se analiza en lógica mínima .

Ver también

• Consequentia mirabilis - Ley de Clavio
• Dialeteísmo : creencia en la existencia de verdaderas contradicciones.
• Ley del tercero excluido : toda proposición es verdadera o falsa
• Ley de no contradicción : ninguna proposición puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
• Lógica paraconsistente : una familia de lógicas utilizadas para abordar contradicciones
• Paradoja de la vinculación : una aparente paradoja derivada del principio de explosión
• Reductio ad absurdum : concluir que una proposición es falsa porque produce una contradicción.
• Trivialismo : la creencia de que todas las afirmaciones de la forma "P y no P" son verdaderas.

Referencias

1. Carnielli, Walter ; Marcos, João (2001). "Ex contradictione non sequitur quodlibet" (PDF) . Boletín de Razonamiento y Conocimiento Avanzados . 1 : 89-109.^{[ enlace muerto permanente ]}
2. Smith, Peter (2020). Una introducción a la lógica formal (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.Capítulo 17.
3. MacFarlane, John (2021). Lógica filosófica: una introducción contemporánea . Rutledge.Capítulo 7.
4. Baskent, Can (2013). "Algunas propiedades topológicas de modelos paraconsistentes". Síntesis . 190 (18): 4023. doi :10.1007/s11229-013-0246-8. S2CID  9276566.
5. Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo Esteban (2016). Lógica paraconsistente: coherencia, contradicción y negación . Lógica, epistemología y unidad de la ciencia. vol. 40. Saltador. IX. doi :10.1007/978-3-319-33205-5. ISBN 978-3-319-33203-1.
6. Sacerdote, Graham . 2011. "¿Qué tienen de malo las contradicciones?" En La ley de la no contradicción , editado por Priest, Beal y Armour-Garb. Oxford: Prensa de Clarendon. pag. 25.
7. McKubre-Jordens, Maarten (agosto de 2011). "Esto no es una zanahoria: matemáticas paraconsistentes". Revista Más . Proyecto de Matemáticas del Milenio . Consultado el 14 de enero de 2017 .
8. de Swart, Harrie (2018). Lógica Filosófica y Matemática . Saltador.pag. 47.
9. Gama, LTF (1991). Lógica, Lenguaje y Significado, Volumen 1. Introducción a la Lógica . Prensa de la Universidad de Chicago.pag. 139.