Atractor

Concepto en sistemas dinámicos.

Representación visual de un atractor extraño. ^[1] Otra visualización del mismo atractor 3D es este vídeo . El código capaz de representar esto está disponible.

En el campo matemático de los sistemas dinámicos , un atractor es un conjunto de estados hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar, ^[2] para una amplia variedad de condiciones iniciales del sistema. Los valores del sistema que se acercan lo suficiente a los valores del atractor permanecen cercanos incluso si se alteran ligeramente.

En sistemas de dimensión finita, la variable en evolución se puede representar algebraicamente como un vector de n dimensiones . El atractor es una región en el espacio n -dimensional . En los sistemas físicos , las n dimensiones pueden ser, por ejemplo, dos o tres coordenadas posicionales para cada una de una o más entidades físicas; en los sistemas económicos , pueden ser variables separadas, como la tasa de inflación y la tasa de desempleo . ^{[ no verificado en el cuerpo ]}

Si la variable que evoluciona es bidimensional o tridimensional, el atractor del proceso dinámico se puede representar geométricamente en dos o tres dimensiones (como, por ejemplo, en el caso tridimensional representado a la derecha). Un atractor puede ser un punto , un conjunto finito de puntos, una curva , una variedad o incluso un conjunto complicado con una estructura fractal conocido como atractor extraño (ver atractor extraño más abajo). Si la variable es un escalar , el atractor es un subconjunto de la recta de números reales. Describir los atractores de los sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los logros de la teoría del caos .

Una trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna restricción especial excepto permanecer en el atractor, hacia adelante en el tiempo. La trayectoria puede ser periódica o caótica . Si un conjunto de puntos es periódico o caótico, pero el flujo en la vecindad está alejado del conjunto, el conjunto no es un atractor, sino que se le llama repelente (o repelente ).

Motivación de atractores.

Un sistema dinámico generalmente se describe mediante una o más ecuaciones diferenciales o en diferencias . Las ecuaciones de un sistema dinámico determinado especifican su comportamiento durante un corto período de tiempo determinado. Para determinar el comportamiento del sistema durante un período más largo, a menudo es necesario integrar las ecuaciones, ya sea por medios analíticos o mediante iteración , a menudo con la ayuda de computadoras.

Los sistemas dinámicos en el mundo físico tienden a surgir de sistemas disipativos : si no fuera por alguna fuerza impulsora, el movimiento cesaría. (La disipación puede provenir de fricción interna , pérdidas termodinámicas o pérdida de material, entre muchas causas). La disipación y la fuerza impulsora tienden a equilibrarse, eliminando los transitorios iniciales y estableciendo el sistema en su comportamiento típico. El subconjunto del espacio de fases del sistema dinámico correspondiente al comportamiento típico es el atractor, también conocido como sección atrayente o atraído.

Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son similares al concepto de atractor. Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo bajo la dinámica. ^[3] Los atractores pueden contener conjuntos invariantes. Un conjunto límite es un conjunto de puntos tales que existe algún estado inicial que termina arbitrariamente cerca del conjunto límite (es decir, de cada punto del conjunto) a medida que el tiempo llega al infinito. Los atractores son conjuntos de límites, pero no todos los conjuntos de límites son atractores: es posible que algunos puntos de un sistema converjan a un conjunto de límites, pero diferentes puntos cuando se perturban ligeramente fuera del conjunto de límites pueden ser derribados y nunca regresar a la vecindad de el límite fijado.

Por ejemplo, el péndulo amortiguado tiene dos puntos invariantes: el punto x ₀ de altura mínima y el punto x ₁ de altura máxima. El punto x ₀ también es un conjunto límite, ya que las trayectorias convergen hacia él; el punto x ₁ no es un límite establecido. Debido a la disipación debida a la resistencia del aire, el punto x ₀ también es un atractor. Si no hubiera disipación, x ₀ no sería atractor. Aristóteles creía que los objetos se movían sólo mientras eran empujados, lo cual es una formulación temprana de un atractor disipativo.

Se sabe que algunos atractores son caóticos (ver atractor extraño), en cuyo caso la evolución de dos puntos distintos del atractor da como resultado trayectorias exponencialmente divergentes , lo que complica la predicción cuando incluso el ruido más pequeño está presente en el sistema. ^[4]

Definición matemática

Sea el tiempo y sea una función que especifica la dinámica del sistema. Es decir, si es un punto en un espacio de fase de dimensión, que representa el estado inicial del sistema, entonces y, para un valor positivo de , es el resultado de la evolución de este estado después de unidades de tiempo. Por ejemplo, si el sistema describe la evolución de una partícula libre en una dimensión, entonces el espacio de fases es el plano con coordenadas , donde es la posición de la partícula, es su velocidad, y la evolución está dada por ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t,\cdot )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(0,a)=a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t,a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a=(x,v)}$

Atracción del ciclo del período 3 y su cuenca de atracción inmediata para una cierta parametrización del conjunto de Julia , que itera la función f ( z ) =  z ²  +  c . Los tres puntos más oscuros son los puntos del ciclo 3, que conducen entre sí en secuencia, y la iteración desde cualquier punto en la cuenca de atracción conduce a una convergencia (generalmente asintótica) a esta secuencia de tres puntos.

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

Un atractor es un subconjunto del espacio de fases caracterizado por las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle A}$es invariante hacia adelante bajo : si es un elemento de entonces también lo es , para todos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(t,a)}$ ${\displaystyle t>0}$
• Existe una vecindad de , llamada cuenca de atracción de y denotada , que consta de todos los puntos que "entran" en el límite . Más formalmente, es el conjunto de todos los puntos en el espacio de fases con la siguiente propiedad: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B(A)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle B(A)}$ ${\displaystyle b}$

Para cualquier vecindad abierta de , existe una constante positiva tal que para todo real . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(t,b)\in N}$ ${\displaystyle t>T}$

• No existe un subconjunto adecuado (no vacío) que tenga las dos primeras propiedades. ${\displaystyle A}$

Dado que la cuenca de atracción contiene un conjunto abierto que contiene , cada punto que esté lo suficientemente cerca de es atraído hacia . La definición de atractor utiliza una métrica en el espacio de fase, pero la noción resultante generalmente depende sólo de la topología del espacio de fase. En el caso de , se suele utilizar la norma euclidiana. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En la literatura aparecen muchas otras definiciones de atractor. Por ejemplo, algunos autores exigen que un atractor tenga medida positiva (impidiendo que un punto sea atractor), otros relajan el requisito de que sea una vecindad. ^[5] ${\displaystyle B(A)}$

Tipos de atractores

Los atractores son porciones o subconjuntos del espacio de fase de un sistema dinámico . Hasta la década de 1960, se pensaba que los atractores eran subconjuntos geométricos simples del espacio de fases, como puntos , líneas , superficies y regiones simples del espacio tridimensional . En ese momento se conocían atractores más complejos que no pueden clasificarse como subconjuntos geométricos simples, como los conjuntos topológicamente salvajes, pero se pensaba que eran anomalías frágiles. Stephen Smale pudo demostrar que su mapa en herradura era robusto y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor .

Dos atractores simples son un punto fijo y el ciclo límite . Los atractores pueden adoptar muchas otras formas geométricas (subconjuntos de espacios de fases). Pero cuando estos conjuntos (o los movimientos dentro de ellos) no pueden describirse fácilmente como combinaciones simples (por ejemplo, intersección y unión ) de objetos geométricos fundamentales (por ejemplo , líneas , superficies , esferas , toroides , variedades ), entonces el atractor se llama atractor extraño .

Punto fijo

Punto fijo que atrae débilmente para un número complejo que evoluciona según un polinomio cuadrático complejo . El espacio de fases es el plano complejo horizontal; el eje vertical mide la frecuencia con la que se visitan los puntos del plano complejo. El punto en el plano complejo directamente debajo de la frecuencia máxima es el atractor de punto fijo.

Un punto fijo de una función o transformación es un punto que la función o transformación asigna a sí mismo. Si consideramos la evolución de un sistema dinámico como una serie de transformaciones, entonces puede haber o no un punto que permanezca fijo en cada transformación. El estado final hacia el que evoluciona un sistema dinámico corresponde a un punto fijo de atracción de la función de evolución de ese sistema, como la posición central inferior de un péndulo amortiguado , el nivel y la línea de agua plana del agua que chapotea en un vaso, o el fondo. centro de un cuenco que contiene una canica rodante. Pero el punto fijo de un sistema dinámico no es necesariamente un atractor del sistema. Por ejemplo, si el cuenco que contiene una canica rodante se invirtió y la canica estaba en equilibrio sobre la parte superior del cuenco, el fondo central (ahora superior) del cuenco es un estado fijo, pero no un atractor. Esto equivale a la diferencia entre equilibrios estables e inestables . En el caso de una canica encima de un cuenco invertido (una colina), ese punto en la cima del cuenco (colina) es un punto fijo (equilibrio), pero no un atractor (equilibrio inestable).

Además, los sistemas físicos dinámicos con al menos un punto fijo invariablemente tienen múltiples puntos fijos y atractores debido a la realidad de la dinámica en el mundo físico, incluida la dinámica no lineal de adherencia , fricción , rugosidad de la superficie , deformación (tanto elástica como plasticidad ), e incluso la mecánica cuántica . ^[6] En el caso de una canica encima de un cuenco invertido, incluso si el cuenco parece perfectamente semiesférico y la forma esférica de la canica , son superficies mucho más complejas cuando se examinan bajo un microscopio, y sus formas cambian o se deforman durante el contacto. . Se puede considerar que cualquier superficie física tiene un terreno accidentado de múltiples picos, valles, puntos de silla, crestas, barrancos y llanuras. ^[7] Hay muchos puntos en esta superficie del terreno (y el sistema dinámico de una canica igualmente rugosa que rueda sobre este terreno microscópico) que se consideran puntos estacionarios o fijos, algunos de los cuales se clasifican como atractores.

Número finito de puntos

En un sistema de tiempo discreto , un atractor puede tomar la forma de un número finito de puntos que se visitan en secuencia. Cada uno de estos puntos se llama punto periódico . Esto se ilustra con el mapa logístico , que dependiendo del valor de su parámetro específico puede tener un atractor que consta de 1 punto, 2 puntos, 2 ⁿ puntos, 3 puntos, 3×2 ⁿ puntos, 4 puntos, 5 puntos o cualquier valor positivo dado. número entero de puntos.

ciclo límite

Un ciclo límite es una órbita periódica de un sistema dinámico continuo que está aislado . Se trata de un atractor cíclico . Los ejemplos incluyen las oscilaciones de un reloj de péndulo y los latidos del corazón en reposo. El ciclo límite de un péndulo ideal no es un ejemplo de atractor de ciclo límite porque sus órbitas no están aisladas: en el espacio de fases del péndulo ideal, cerca de cualquier punto de una órbita periódica hay otro punto que pertenece a una órbita periódica diferente. , por lo que la órbita anterior no atrae. Para un péndulo físico sometido a fricción, el estado de reposo será un atractor de punto fijo. La diferencia con el péndulo del reloj es que allí el mecanismo de escape inyecta energía para mantener el ciclo.

Retrato de la fase de Van der Pol : un ciclo límite de atracción

Limitar toro

Puede haber más de una frecuencia en la trayectoria periódica del sistema a través del estado de un ciclo límite. Por ejemplo, en física, una frecuencia puede dictar la velocidad a la que un planeta orbita una estrella, mientras que una segunda frecuencia describe las oscilaciones en la distancia entre los dos cuerpos. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, son inconmensurables ), la trayectoria ya no está cerrada y el ciclo límite se convierte en un toro límite . Este tipo de atractor se llama N _t -toro si hay N _t frecuencias inconmensurables. Por ejemplo, aquí hay un toro 2:

Una serie de tiempo correspondiente a este atractor es una serie cuasiperiódica : una suma muestreada discretamente de N _t funciones periódicas (no necesariamente ondas sinusoidales ) con frecuencias inconmensurables. Una serie de tiempo de este tipo no tiene una periodicidad estricta, pero su espectro de potencia todavía está formado sólo por líneas definidas.

atractor extraño

Un gráfico del atractor extraño de Lorenz para valores  ρ  = 28,  σ  = 10,  β  = 8/3

Un atractor se llama extraño si tiene estructura fractal , es decir si tiene dimensión de Hausdorff no entera . Este suele ser el caso cuando la dinámica es caótica , pero también existen extraños atractores no caóticos . Si un atractor extraño es caótico y muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales , entonces dos puntos iniciales alternativos arbitrariamente cercanos en el atractor, después de cualquiera de varios números de iteraciones, conducirán a puntos que están arbitrariamente alejados (sujetos a los límites del atractor). atractor), y después de cualquier otro número de iteraciones conducirá a puntos que están arbitrariamente juntos. Así, un sistema dinámico con un atractor caótico es localmente inestable pero globalmente estable: una vez que algunas secuencias han entrado en el atractor, los puntos cercanos divergen entre sí pero nunca se apartan del atractor. ^[8]

El término atractor extraño fue acuñado por David Ruelle y Floris Takens para describir el atractor resultante de una serie de bifurcaciones de un sistema que describe el flujo de fluidos. ^[9] Los atractores extraños suelen ser diferenciables en algunas direcciones, pero algunos son como el polvo de Cantor y, por lo tanto, no son diferenciables. También se pueden encontrar atractores extraños en presencia de ruido, donde se puede demostrar que respaldan medidas de probabilidad aleatorias invariantes del tipo Sinai-Ruelle-Bowen. ^[10]

Ejemplos de atractores extraños incluyen el atractor de doble desplazamiento , el atractor de Hénon , el atractor de Rössler y el atractor de Lorenz .

Los atractores caracterizan la evolución de un sistema.

Diagrama de bifurcación del mapa logístico . Los atractores para cualquier valor del parámetro se muestran en ordenadas en el dominio . El color de un punto indica con qué frecuencia se visita el punto en el transcurso de 10 ⁶ iteraciones: los valores encontrados con frecuencia están coloreados en azul, los valores encontrados con menos frecuencia son amarillos. Aparece una bifurcación alrededor de , una segunda bifurcación (que conduce a cuatro valores de atractor) alrededor de . El comportamiento es cada vez más complicado para , intercalado con regiones de comportamiento más simple (rayas blancas). ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle (r,x)}$ ${\displaystyle r\approx 3.0}$ ${\displaystyle r\approx 3.5}$ ${\displaystyle r>3.6}$

Los parámetros de una ecuación dinámica evolucionan a medida que se itera la ecuación y los valores específicos pueden depender de los parámetros iniciales. Un ejemplo es el bien estudiado mapa logístico , cuyas cuencas de atracción para distintos valores del parámetro se muestran en la figura. Si , todos los valores iniciales de conducirán rápidamente a valores de función que van al infinito negativo; Los valores iniciales de también irán al infinito negativo. Pero para los valores convergen rápidamente a , es decir, en este valor de , un valor único de es un atractor para el comportamiento de la función. Para otros valores de , se puede visitar más de un valor de : si es 3.2, los valores iniciales de conducirán a valores de función que alternan entre y . En algunos valores de , el atractor es un solo punto (un "punto fijo"), en otros valores de dos valores de son visitados a su vez (una bifurcación que duplica el período ) o, como resultado de una mayor duplicación, cualquier valor numérico. de ; en otros valores más de , se visita a su vez cualquier número dado de valores de ; finalmente, para algunos valores de , se visitan una infinidad de puntos. Así, una misma ecuación dinámica puede tener varios tipos de atractores, dependiendo de sus parámetros de partida. ${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=2.6}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\approx 0.615}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle x\approx 0.513}$ ${\displaystyle x\approx 0.799}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k\times 2^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$

Cuencas de atracción

La cuenca de atracción de un atractor es la región del espacio de fases , sobre la cual se definen las iteraciones, de modo que cualquier punto (cualquier condición inicial ) en esa región será iterado asintóticamente en el atractor. Para un sistema lineal estable , cada punto del espacio de fases está en la cuenca de atracción. Sin embargo, en sistemas no lineales , algunos puntos pueden asignarse directa o asintóticamente al infinito, mientras que otros puntos pueden encontrarse en una cuenca de atracción diferente y asignarse asintóticamente a un atractor diferente; otras condiciones iniciales pueden estar o mapearse directamente en un punto o ciclo que no atrae. ^[11]

Ecuación o sistema lineal

Una ecuación en diferencias lineal homogénea univariada diverge hasta el infinito si desde todos los puntos iniciales excepto 0; no hay atractor y, por tanto, no hay cuenca de atracción. Pero si todos los puntos en la recta numérica se asignan asintóticamente (o directamente en el caso de 0) a 0; 0 es el atractor y la recta numérica completa es la cuenca de atracción. ${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle |a|<1}$

Del mismo modo, una ecuación en diferencias matricial lineal en un vector dinámico , de forma homogénea en términos de matriz cuadrada, hará que todos los elementos del vector dinámico diverjan hasta el infinito si los valores propios más grandes de son mayores que 1 en valor absoluto; no hay atractor ni cuenca de atracción. Pero si el valor propio más grande tiene una magnitud menor que 1, todos los vectores iniciales convergerán asintóticamente al vector cero, que es el atractor; todo el espacio dimensional de vectores iniciales potenciales es la cuenca de atracción. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{t}=AX_{t-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Se aplican características similares a las ecuaciones diferenciales lineales . La ecuación escalar hace que todos los valores iniciales de excepto cero diverjan hacia el infinito si pero converjan a un atractor en el valor 0 si , haciendo que toda la recta numérica sea la cuenca de atracción de 0. Y el sistema matricial da divergencia desde todos los puntos iniciales excepto el vector de ceros si algún valor propio de la matriz es positivo; pero si todos los valores propios son negativos el vector de ceros es un atractor cuya cuenca de atracción es todo el espacio de fases. ${\displaystyle dx/dt=ax}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle dX/dt=AX}$ ${\displaystyle A}$

Ecuación o sistema no lineal

Las ecuaciones o sistemas que son no lineales pueden dar lugar a una variedad de comportamiento más rica que los sistemas lineales. Un ejemplo es el método de Newton de iterar hasta la raíz de una expresión no lineal. Si la expresión tiene más de una raíz real , algunos puntos de partida para el algoritmo iterativo conducirán a una de las raíces asintóticamente, y otros puntos de partida conducirán a otra. Las cuencas de atracción para las raíces de la expresión generalmente no son simples: no se trata simplemente de que los puntos más cercanos a una raíz se mapeen allí, dando una cuenca de atracción que consta de puntos cercanos. Las cuencas de atracción pueden ser infinitas en número y arbitrariamente pequeñas. Por ejemplo, ^[12] para la función , las siguientes condiciones iniciales están en sucesivas cuencas de atracción: ${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12}$

Un fractal de Newton que muestra cuencas de atracción en el plano complejo para usar el método de Newton para resolver x ⁵  − 1 = 0. Los puntos en regiones del mismo color se asignan a la misma raíz; Más oscuro significa que se necesitan más iteraciones para converger.

2,35287527 converge a 4;

2,35284172 converge a −3;

2,35283735 converge a 4;

2,352836327 converge a −3;

2,352836323 converge a 1.

El método de Newton también se puede aplicar a funciones complejas para encontrar sus raíces. Cada raíz tiene una cuenca de atracción en el plano complejo ; Estas cuencas se pueden mapear como en la imagen que se muestra. Como puede verse, la cuenca de atracción combinada de una raíz particular puede tener muchas regiones desconectadas. Para muchas funciones complejas, los límites de las cuencas de atracción son fractales .

Ecuaciones diferenciales parciales

Las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas pueden tener atractores de dimensión finita. La parte difusiva de la ecuación amortigua las frecuencias más altas y en algunos casos conduce a un atractor global. Se sabe que las ecuaciones de Ginzburg-Landau , Kuramoto-Sivashinsky y bidimensionales forzadas de Navier-Stokes tienen atractores globales de dimensión finita.

Para la ecuación tridimensional e incompresible de Navier-Stokes con condiciones de contorno periódicas , si tiene un atractor global, entonces este atractor será de dimensiones finitas. ^[13]

Ver también

• Detección de ciclo
• conjunto hiperbólico
• Colector estable
• Estado estable
• cuenca de Wada
• Oscilación oculta
• Atractor de Rossler
• Distribución estable
• Evolución convergente

Referencias

1. La imagen y el video muestran el atractor de un polinomio tridimensional de tipo Sprott de segundo orden, originalmente calculado por Nicholas Desprez usando el software gratuito Chaoscope (cf. http://www.chaoscope.org/gallery.htm y los archivos de proyecto vinculados). para parámetros).
2. Weisstein, Eric W. "Atractor". MundoMatemático . Consultado el 30 de mayo de 2021 .
3. Carvalho, A.; Langa, JA; Robinson, J. (2012). Atractores de sistemas dinámicos no autónomos de dimensión infinita . vol. 182. Saltador. pag. 109.
4. Kantz, H.; Schreiber, T. (2004). Análisis de series temporales no lineales . Prensa de la Universidad de Cambridge.
5. John Milnor (1985). "Sobre el concepto de atractor". Comunicaciones en Física Matemática . 99 (2): 177–195. Código bibliográfico : 1985CMaPh..99..177M. doi :10.1007/BF01212280. S2CID  120688149.
6. Greenwood, JA; JBP Williamson (6 de diciembre de 1966). "Contacto de superficies nominalmente planas". Actas de la Royal Society . 295 (1442): 300–319. Código Bib : 1966RSPSA.295..300G. doi :10.1098/rspa.1966.0242. S2CID  137430238.
7. Vorberger, TV (1990). Tutorial de metrología de acabado superficial (PDF) . Departamento de Comercio de EE. UU., Instituto Nacional de Estándares (NIST). pag. 5.
8. Grebogi Celso, Ott Edward, Yorke James A (1987). "Caos, atractores extraños y límites de cuencas fractales en dinámica no lineal". Ciencia . 238 (4827): 632–638. Código bibliográfico : 1987 Ciencia... 238..632G. doi : 10.1126/ciencia.238.4827.632. PMID  17816542. S2CID  1586349.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Ruelle, David; Tomadas, Floris (1971). "Sobre la naturaleza de la turbulencia". Comunicaciones en Física Matemática . 20 (3): 167–192. Código bibliográfico : 1971CMaPh..20..167R. doi :10.1007/bf01646553. S2CID  17074317.
10. Chekroun MD; Simonnet E. y Ghil M. (2011). "Dinámica climática estocástica: atractores aleatorios y medidas invariantes dependientes del tiempo". Física D. 240 (21): 1685-1700. Código bibliográfico : 2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX 10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005. 
11. Strelioff, C.; Hübler, A. (2006). "Predicción del caos a medio plazo". Física. Rev. Lett . 96 (4): 044101. Código bibliográfico : 2006PhRvL..96d4101S. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID  16486826.
12. Dence, Thomas, "Cúbicas, caos y método de Newton", Mathematical Gazette 81, noviembre de 1997, 403–408.
13. Geneviève Raugel , Atractores globales en ecuaciones diferenciales parciales,  Manual de sistemas dinámicos , Elsevier, 2002, págs.

Otras lecturas

• John Milnor (ed.). "Atractor". Scholarpedia .
• David Ruelle ; Floris tomada (1971). "Sobre la naturaleza de la turbulencia". Comunicaciones en Física Matemática . 20 (3): 167–192. Código bibliográfico : 1971CMaPh..20..167R. doi :10.1007/BF01646553. S2CID  17074317.
• D. Ruelle (1981). "Pequeñas perturbaciones aleatorias de sistemas dinámicos y definición de atractores" (PDF) . Comunicaciones en Física Matemática . 82 (1): 137-151. Código bibliográfico : 1981CMaPh..82..137R. doi :10.1007/BF01206949. S2CID  55827557.
• David Ruelle (1989). Elementos de dinámica diferenciable y teoría de la bifurcación . Prensa académica. ISBN 978-0-12-601710-6.
• Ruelle, David (agosto de 2006). "¿Qué es... un atractor extraño?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 53 (7): 764–765 . Consultado el 16 de enero de 2008 .
• Celso Grebogi ; Eduardo Ott ; Pelikan; Yorke (1984). "Atractores extraños que no son caóticos". Física D. 13 (1–2): 261–268. Código bibliográfico : 1984PhyD...13..261G. doi :10.1016/0167-2789(84)90282-3.
• Chekroun, MD; E. Simonnet; M. Ghil (2011). "Dinámica climática estocástica: atractores aleatorios y medidas invariantes dependientes del tiempo". Física D. 240 (21): 1685-1700. Código bibliográfico : 2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX  10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005.
• Edward N. Lorenz (1996) La esencia del caos ISBN 0-295-97514-8 
• James Gleick (1988) Caos: creando una nueva ciencia ISBN 0-14-009250-1 

enlaces externos

• Cuenca de atracción en Scholarpedia
• Una galería de atractores extraños trigonométricos.
• Simulación del circuito del atractor de doble desplazamiento Chua.
• Una galería de atractores extraños polinomiales.
• Chaoscope, un software gratuito de renderizado de atractores extraños 3D
• Laboratorio de software y resumen de investigación Archivado el 28 de junio de 2022 en Wayback Machine.
• Generador de atractores extraños online
• Generador interactivo de atractores trigonométricos
• Atractor económico