Vector de coordenadas

Concepto en álgebra lineal

En álgebra lineal , un vector de coordenadas es una representación de un vector como una lista ordenada de números (una tupla ) que describe el vector en términos de una base ordenada particular . ^{[1] Un ejemplo fácil puede ser una posición como (5, 2, 1) en un} sistema de coordenadas cartesianas tridimensional con la base como los ejes de este sistema. Las coordenadas siempre se especifican en relación con una base ordenada. Las bases y sus representaciones de coordenadas asociadas permiten realizar espacios vectoriales y transformaciones lineales concretamente como vectores columna , vectores fila y matrices ; por lo tanto, son útiles en los cálculos.

La idea de un vector de coordenadas también se puede utilizar para espacios vectoriales de dimensión infinita, como se aborda a continuación.

Definición

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo F y sea

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

sea ​​una base ordenada para V . Entonces para cada hay una combinación lineal única de los vectores base que es igual a : ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

El vector de coordenadas de relativo a B es la secuencia de coordenadas ${\displaystyle v}$

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

Esto también se denomina representación de con respecto a B ${\displaystyle v}$ o representación B de ${\displaystyle v}$ . Se denominan coordenadas de . El orden de la base cobra importancia aquí, ya que determina el orden en el que se enumeran los coeficientes en el vector de coordenadas. ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle v}$

Los vectores de coordenadas de espacios vectoriales de dimensión finita se pueden representar mediante matrices como vectores columna o fila . En la notación anterior, se puede escribir

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

donde es la transpuesta de la matriz . ${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$ ${\displaystyle [v]_{B}}$

La representación estándar

Podemos mecanizar la transformación anterior definiendo una función , llamada representación estándar de V con respecto a B , que lleva cada vector a su representación de coordenadas: . Entonces es una transformación lineal de V a F ⁿ . De hecho, es un isomorfismo , y su inverso es simplemente ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

Alternativamente, podríamos haber definido la función anterior desde el principio, darnos cuenta de que es un isomorfismo y definirla como su inversa. ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea el espacio de todos los polinomios algebraicos de grado máximo 3 (es decir, el mayor exponente de x puede ser 3). Este espacio es lineal y está abarcado por los siguientes polinomios: ${\displaystyle P_{3}}$

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

pareo

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

entonces el vector de coordenadas correspondiente al polinomio

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

Según dicha representación, el operador de diferenciación d / dx que marcaremos como D estará representado por la siguiente matriz :

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Usando ese método es fácil explorar las propiedades del operador, tales como: invertibilidad , hermítico o antihermítico o ninguno , espectro y valores propios , y más.

Ejemplo 2

Las matrices de Pauli , que representan el operador de espín al transformar los estados propios de espín en coordenadas vectoriales.

Matriz de transformación de base

Sean B y C dos bases diferentes de un espacio vectorial V , y marquemos con la matriz que tiene columnas que consisten en la representación C de los vectores base b ₁ , b ₂ , …, b _n : ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

Esta matriz se denomina matriz de transformación base de B a C. Puede considerarse como un automorfismo sobre . Cualquier vector v representado en B puede transformarse en una representación en C de la siguiente manera: ${\displaystyle F^{n}}$

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

En la transformación de la base, observe que el superíndice de la matriz de transformación, M , y el subíndice del vector de coordenadas, v , son iguales y aparentemente se cancelan, dejando el subíndice restante. Si bien esto puede servir como ayuda para la memoria, es importante notar que no se está produciendo dicha cancelación ni ninguna operación matemática similar.

Corolario

La matriz M es una matriz invertible y M ⁻¹ es la matriz de transformación base de C a B. En otras palabras,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

Espacios vectoriales de dimensión infinita

Supongamos que V es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre un cuerpo F . Si la dimensión es κ , entonces hay alguna base de κ elementos para V . Después de elegir un orden, la base puede considerarse una base ordenada. Los elementos de V son combinaciones lineales finitas de elementos en la base, que dan lugar a representaciones de coordenadas únicas exactamente como se describió anteriormente. El único cambio es que el conjunto de indexación para las coordenadas no es finito. Dado que un vector dado v es una combinación lineal finita de elementos de base, las únicas entradas distintas de cero del vector de coordenadas para v serán los coeficientes distintos de cero de la combinación lineal que representa a v . Por lo tanto, el vector de coordenadas para v es cero excepto en un número finito de entradas.

Las transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión (posiblemente) infinita pueden modelarse, de manera análoga al caso de dimensión finita, con matrices infinitas . El caso especial de las transformaciones de V en V se describe en el artículo completo sobre el anillo lineal .

Véase también

• Cambio de base
• Espacio de coordenadas

Referencias

1. Howard Anton; Chris Rorres (12 de abril de 2010). Álgebra lineal elemental: versión de aplicaciones. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1.