El discriminante de K puede denominarse discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo de una extensión K / L de campos numéricos. Este último es un ideal en el anillo de los números enteros de L , y al igual que el discriminante absoluto indica qué primos están ramificados en K / L . Es una generalización del discriminante absoluto que permite que L sea mayor que Q ; de hecho, cuando L = Q , el discriminante relativo de K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto de K.
De manera equivalente, se puede utilizar
la traza de K a Q. Específicamente, defina la forma de traza como la matriz cuya entrada ( i , j ) es Tr K / Q ( b i b j ). Esta matriz es igual a B T B , por lo que el cuadrado del discriminante de K es el determinante de esta matriz.
El discriminante de un orden en K con base integral b 1 , ..., b n se define de la misma manera.
Un número entero que ocurre como discriminante de un campo numérico cuadrático se llama discriminante fundamental . [3]
Campos ciclotómicos : sea n > 2 un número entero, sea ζ n una n- ésima raíz primitiva de la unidad , y sea K n = Q (ζ n ) el n- ésimo campo ciclotómico. El discriminante de K n viene dado por [2] [4]
Bases potencias: En el caso en que el anillo de números enteros tenga una base integral potencia , es decir, se pueda escribir como O K = Z [α], el discriminante de K es igual al discriminante del polinomio mínimo de α. Para ver esto, se puede elegir que la base integral de OK sea b 1 = 1, b 2 = α, b 3 = α 2 , ..., b n = α n −1 . Entonces, la matriz en la definición es la matriz de Vandermonde asociada a α i = σ i (α), cuyo determinante al cuadrado es
que es exactamente la definición del discriminante del polinomio mínimo.
Sea K = Q (α) el campo numérico obtenido al unir una raíz α del polinomio x 3 − x 2 − 2 x − 8. Este es el ejemplo original de Richard Dedekind de un campo numérico cuyo anillo de números enteros no posee una base de poder. Una base integral viene dada por {1, α, α(α + 1)/2} y el discriminante de K es −503. [5] [6]
Discriminantes repetidos: el discriminante de un campo cuadrático lo identifica de forma única, pero esto no es cierto, en general, para campos numéricos de mayor grado . Por ejemplo, hay dos campos cúbicos no isomorfos del discriminante 3969. Se obtienen uniendo una raíz del polinomio x 3 − 21 x + 28 o x 3 − 21 x − 35 , respectivamente. [7]
Resultados básicos
Teorema de Brill : [8] El signo del discriminante es (−1) r 2 donde r 2 es el número de lugares complejos de K . [9]
Un primo p ramifica en K si y sólo si p divide a Δ K . [10] [11]
Teorema de Stickelberger : [12]
Límite de Minkowski : [13] Sea n el grado de la extensión K / Q y r 2 el número de lugares complejos de K , entonces
Teorema de Minkowski : [14] Si K no es Q , entonces |Δ K | > 1 (esto se sigue directamente del límite de Minkowski).
Teorema de Hermite-Minkowski : [15] Sea N un número entero positivo. Sólo hay un número finito (hasta isomorfismos) de campos numéricos algebraicos K con |Δ K | < norte . Nuevamente, esto se desprende del teorema de Minkowski unido al teorema de Hermite (que sólo hay un número finito de campos de números algebraicos con discriminante prescrito).
Historia
La definición del discriminante de un cuerpo numérico algebraico general, K , fue dada por Dedekind en 1871. [16] En este punto, ya conocía la relación entre el discriminante y la ramificación. [17]
El teorema de Hermite es anterior a la definición general del discriminante y Charles Hermite publicó una prueba del mismo en 1857. [18] En 1877, Alexander von Brill determinó el signo del discriminante. [19] Leopold Kronecker expuso por primera vez el teorema de Minkowski en 1882, [20] aunque la primera demostración fue dada por Hermann Minkowski en 1891. [21] Ese mismo año, Minkowski publicó su límite sobre el discriminante. [22] Cerca del final del siglo XIX, Ludwig Stickelberger obtuvo su teorema sobre el residuo del discriminante módulo cuatro. [23] [24]
discriminante relativo
El discriminante definido anteriormente a veces se denomina discriminante absoluto de K para distinguirlo del discriminante relativo Δ K / L de una extensión de campos numéricos K / L , que es un ideal en O L. El discriminante relativo se define de manera similar al discriminante absoluto, pero debe tener en cuenta que los ideales en OL pueden no ser principales y que puede no haber una base OL de OK . Sea {σ 1 , ... , σ n } el conjunto de incrustaciones de K en C que son la identidad en L. Si b 1 , ..., b n es cualquier base de K sobre L , sea d ( b 1 , ..., b n ) el cuadrado del determinante de la matriz n por n cuyo ( i , j )- la entrada es σ i ( b j ). Entonces, el discriminante relativo de K / L es el ideal generado por d ( b 1 , ..., b n ) cuando { b 1 , ..., b n } varía sobre todas las bases integrales de K / L . (es decir, bases con la propiedad de que b i ∈ O K para todo i ). Alternativamente, el discriminante relativo de K / L es la norma del diferente de K / L . [25] Cuando L = Q , el discriminante relativo Δ K / Q es el ideal principal de Z generado por el discriminante absoluto Δ K. En una torre de campos K / L / F los discriminantes relativos están relacionados por
El discriminante relativo regula los datos de ramificación de la extensión de campo K / L . Un ideal primo p de L se ramifica en K si, y sólo si, divide al discriminante relativo Δ K / L . Una extensión no está ramificada si, y sólo si, el discriminante es el ideal unitario. [25] El enlace de Minkowski anterior muestra que no existen extensiones no triviales y no ramificadas de Q. Los campos mayores que Q pueden tener extensiones no ramificadas: por ejemplo, para cualquier campo con un número de clase mayor que uno, su campo de clase Hilbert es una extensión no ramificada no trivial.
discriminante de raíz
La raíz discriminante de un campo numérico K de grado n se define mediante la fórmula
[27]
La relación entre discriminantes relativos en una torre de campos muestra que el discriminante raíz no cambia en una extensión no ramificada.
Límites inferiores asintóticos
Dados números racionales no negativos ρ y σ , no ambos 0, y un entero positivo n tal que el par ( r ,2 s ) = ( ρn , σn ) esté en Z × 2 Z , sea α n ( ρ , σ ) el ínfimo de rd K ya que K abarca campos numéricos de grado n con r incrustaciones reales y 2 s incrustaciones complejas, y sea α ( ρ , σ ) = liminf n →∞ α n ( ρ , σ ). Entonces
También hay un límite inferior que se cumple en todos los grados, no sólo asintóticamente: para campos totalmente reales, la raíz discriminante es > 14, con 1229 excepciones. [29]
Límites superiores asintóticos
Por otro lado, la existencia de una torre de campo de clase infinita puede dar límites superiores a los valores de α ( ρ , σ ). Por ejemplo, la torre de campo de clase infinita sobre Q ( √ - m ) con m = 3·5·7·11·19 produce campos de grado arbitrariamente grande con raíz discriminante 2 √ m ≈ 296.276, [28] entonces α (0, 1) <296,276. Utilizando torres mansamente ramificadas , Hajir y Maire han demostrado que α (1,0) < 954,3 y α (0,1) < 82,2, [27] mejorando los límites anteriores de Martinet. [28] [30]
Relación con otras cantidades
Cuando está incrustado en , el volumen del dominio fundamental de O K es (a veces se usa una medida diferente y el volumen obtenido es , donde r 2 es el número de lugares complejos de K ).
Debido a su aparición en este volumen, el discriminante también aparece en la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de K y, por tanto, en la fórmula analítica del número de clase y en el teorema de Brauer-Siegel .
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^ Narkiewicz 2004, pag. 64
^ Cohen 1993, Teorema 6.4.6
^ Koch 1997, pág. 11
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^ Corolario III.2.12 de Neukirch 1999
^ Conrado, Keith. «Discriminantes y primos ramificados» (PDF) . Teorema 1.3 (Dedekind). Para un campo numérico K, un primo p ramifica en K si y sólo si p divide al entero discZ(OK)
^ Todos los datos de este párrafo se pueden encontrar en Narkiewicz 2004, págs. 59, 81.
^ ab Neukirch 1999, §III.2
^ Corolario III.2.10 de Neukirch 1999 o Proposición III.2.15 de Fröhlich & Taylor 1993
^ ab Hajir, Farshid; Maire, cristiano (2002). "Torres dócilmente ramificadas y límites discriminantes para campos numéricos. II". J. Computación simbólica. 33 : 415–423. doi : 10.1023/A:1017537415688 .
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^ Sección 4.4 de Serre 1967
Referencias
Fuentes primarias
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Dedekind, Richard (1878), "Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , 23 (1) , recuperado 2009-08-20
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Otras lecturas
Milne, James S. (1998), Teoría algebraica de números , consultado el 20 de agosto de 2008