Dualidad de Poincaré

Conecta grupos de homología y cohomología para colectores cerrados orientados

En matemáticas , el teorema de dualidad de Poincaré , que lleva el nombre de Henri Poincaré , es un resultado básico sobre la estructura de los grupos de variedades de homología y cohomología . Afirma que si M es una variedad cerrada orientada de n dimensiones ( compacta y sin límite), entonces el k-ésimo grupo de cohomología de M es isomorfo al ( n − k ) -ésimo grupo de homología de M , para todos los enteros k

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).}$

La dualidad de Poincaré es válida para cualquier anillo de coeficientes , siempre que se haya tomado una orientación con respecto a ese anillo de coeficientes; en particular, dado que cada variedad tiene una orientación única mod 2, la dualidad de Poincaré mantiene el mod 2 sin ninguna suposición de orientación.

Historia

Una forma de dualidad de Poincaré fue establecida por primera vez, sin pruebas, por Henri Poincaré en 1893. Se expresó en términos de números de Betti : Los números késimo y ( n − k ) ésimo de Betti de un sistema cerrado (es decir, compacto y sin límites) orientable n -colector son iguales. El concepto de cohomología estaba en ese momento a unos 40 años de ser aclarado. En su artículo de 1895 Análisis Situs , Poincaré intentó demostrar el teorema utilizando la teoría de la intersección topológica , que él había inventado. Las críticas a su trabajo por parte de Poul Heegaard le llevaron a darse cuenta de que su prueba adolecía de graves defectos. En los dos primeros complementos al Análisis Situs , Poincaré dio una nueva prueba en términos de triangulaciones duales.

La dualidad de Poincaré no adoptó su forma moderna hasta la llegada de la cohomología en la década de 1930, cuando Eduard Čech y Hassler Whitney inventaron los productos de copa y tapa y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.

formulación moderna

La declaración moderna del teorema de dualidad de Poincaré es en términos de homología y cohomología: si M es una variedad n orientada cerrada , entonces hay un isomorfismo definido canónicamente para cualquier número entero k . Para definir tal isomorfismo, se elige una clase fundamental fija [ M ] de M , que existirá si está orientada. Luego, el isomorfismo se define asignando un elemento al producto cap . ^[1] ${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ ${\displaystyle [M]\frown \alpha }$

Los grupos de homología y cohomología se definen como cero para grados negativos, por lo que la dualidad de Poincaré en particular implica que los grupos de homología y cohomología de n -variedades cerradas orientables son cero para grados mayores que n .

Aquí, la homología y la cohomología son integrales, pero el isomorfismo sigue siendo válido en cualquier anillo de coeficientes. En el caso de que una variedad orientada no sea compacta, se debe reemplazar la homología por la homología de Borel-Moore.

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X),}$

o reemplazar cohomología por cohomología con soporte compacto

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}$

Estructuras de células duales

Dada una variedad triangulada, existe una descomposición poliédrica dual correspondiente. La descomposición poliédrica dual es una descomposición de celdas de la variedad de manera que las k -células de la descomposición poliédrica dual están en correspondencia biyectiva con las ( ) -células de la triangulación, generalizando la noción de poliedros duales . ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle \cup _{S\in T}\Delta \cap DS}$– una imagen de las partes de las celdas duales en un simplex de dimensión superior.

Precisamente, sea T una triangulación de una n - variedad M. Sea S un simplex de T . Sea un simplex de dimensión superior de T que contenga a S , por lo que podemos pensar en S como un subconjunto de los vértices de . Defina la celda dual DS correspondiente a S de modo que sea el casco convexo de los baricentros de todos los subconjuntos de los vértices que contienen . Se puede comprobar que si S es i -dimensional, entonces DS es una celda ( n − i ) -dimensional. Además, las celdas duales de T forman una descomposición CW de M , y la única celda dual ()-dimensional que intersecta una celda i S es DS . Por lo tanto, el emparejamiento dado al tomar intersecciones induce un isomorfismo , donde es la homología celular de la triangulación T , y y son las homologías y cohomologías celulares de la descomposición dual poliédrica/CW de la variedad, respectivamente. El hecho de que se trate de un isomorfismo de complejos de cadenas es una prueba de la dualidad de Poincaré. En términos generales, esto equivale al hecho de que la relación de frontera para la triangulación T es la relación de incidencia para la descomposición poliédrica dual bajo la correspondencia . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \cap DS}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle C_{i}M\otimes C_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C_{i}M\to C^{n-i}M}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{n-i}M}$ ${\displaystyle C^{n-i}M}$ ${\displaystyle S\longmapsto DS}$

Naturalidad

Tenga en cuenta que es un functor contravariante mientras que es covariante . La familia de isomorfismos. ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle H_{n-k}}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)}$

es natural en el siguiente sentido: si

${\displaystyle f\colon M\to N}$

es un mapa continuo entre dos n -variedades orientadas que es compatible con la orientación, es decir, que asigna la clase fundamental de M a la clase fundamental de N , entonces

${\displaystyle D_{N}=f_{*}\circ D_{M}\circ f^{*},}$

donde y son los mapas inducidos por homología y cohomología, respectivamente. ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Tenga en cuenta la hipótesis muy fuerte y crucial que asigna la clase fundamental de M a la clase fundamental de N. La naturalidad no es válida para un mapa continuo arbitrario , ya que en general no es una inyección de cohomología. Por ejemplo, si es un mapa de cobertura , entonces asigna la clase fundamental de M a un múltiplo de la clase fundamental de N. Este múltiplo es el grado del mapa . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Formulación de emparejamientos bilineales.

Suponiendo que la variedad M es compacta, sin límites y orientable , sea

${\displaystyle \tau H_{i}M}$

denota el subgrupo de torsión de y deja ${\displaystyle H_{i}M}$

${\displaystyle fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M}$

sea ​​la parte libre : todos los grupos de homología tomados con coeficientes enteros en esta sección. Luego están los mapas bilineales que son pares de dualidad (que se explican a continuación).

${\displaystyle fH_{i}M\otimes fH_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle \tau H_{i}M\otimes \tau H_{n-i-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.

Aquí está el cociente de los racionales entre los números enteros, tomados como grupo aditivo. Observe que en la forma de enlace de torsión, hay un −1 en la dimensión, por lo que las dimensiones pareadas suman n − 1 , en lugar de n . ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

La primera forma suele denominarse producto de intersección y la segunda forma de enlace de torsión . Suponiendo que la variedad M es suave, el producto de intersección se calcula perturbando las clases de homología para que sean transversales y calculando su número de intersección orientado. Para la forma de enlace de torsión, se calcula el emparejamiento de xey considerando nx como el límite de alguna clase z . La forma entonces toma el valor igual a la fracción cuyo numerador es el número de intersección transversal de z con y , y cuyo denominador es n .

La afirmación de que los pares son pares de dualidad significa que los mapas adjuntos

${\displaystyle fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-i}M,\mathbb {Z} )}$

y

${\displaystyle \tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-i-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

son isomorfismos de grupos.

Este resultado es una aplicación de la dualidad de Poincaré.

${\displaystyle H_{i}M\simeq H^{n-i}M}$,

junto con el teorema del coeficiente universal , que da una identificación

${\displaystyle fH^{n-i}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-i}M;\mathbb {Z} )}$

y

${\displaystyle \tau H^{n-i}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-i-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-i-1}M;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$.

Así, la dualidad de Poincaré dice que y son isomorfos, aunque no existe un mapa natural que proporcione el isomorfismo, y de manera similar y también son isomorfos, aunque no de forma natural. ${\displaystyle fH_{i}M}$ ${\displaystyle fH_{n-i}M}$ ${\displaystyle \tau H_{i}M}$ ${\displaystyle \tau H_{n-i-1}M}$

Dimensión media

Mientras que para la mayoría de las dimensiones, la dualidad de Poincaré induce un emparejamiento bilineal entre diferentes grupos de homología, en la dimensión media induce una forma bilineal en un solo grupo de homología. La forma de intersección resultante es una invariante topológica muy importante.

Lo que se entiende por "dimensión media" depende de la paridad. Para dimensión par n = 2 k , que es más común, esta es literalmente la dimensión media k , y hay una forma en la parte libre de la homología media:

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k}M\to \mathbb {Z} }$

Por el contrario, para la dimensión impar n = 2 k + 1 , que se discute con menos frecuencia, es más simplemente la dimensión media inferior k , y hay una forma en la parte de torsión de la homología en esa dimensión:

${\displaystyle \tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Sin embargo, también existe un emparejamiento entre la parte libre de la homología en la dimensión media inferior k y en la dimensión media superior k + 1 :

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .}$

Los grupos resultantes, aunque no son un solo grupo con forma bilineal, son un complejo de cadena simple y se estudian en la teoría L algebraica .

Aplicaciones

Este enfoque de la dualidad de Poincaré fue utilizado por Józef Przytycki y Akira Yasuhara para dar una clasificación elemental de homotopía y difeomorfismo de espacios de lentes tridimensionales . ^[2]

Aplicación a las características de Euler

Un resultado inmediato de la dualidad de Poincaré es que cualquier variedad cerrada de dimensiones impares M tiene la característica de Euler cero, lo que a su vez da que cualquier variedad que limite tenga una característica de Euler par.

Formulación del isomorfismo de Thom

La dualidad de Poincaré está estrechamente relacionada con el teorema del isomorfismo de Thom . Sea una variedad n compacta, orientada sin límites , y M × M el producto de M consigo mismo. Sea V una vecindad tubular abierta de la diagonal en M × M. Considere los mapas: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle H_{*}M\otimes H_{*}M\to H_{*}(M\times M)}$el producto cruzado de homología
• ${\displaystyle H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)}$inclusión.
• ${\displaystyle H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)}$ mapa de escisión donde está el haz discal normal de la diagonal en . ${\displaystyle \nu M}$ ${\displaystyle M\times M}$
• ${\displaystyle H_{*}(\nu M,\partial \nu M)\to H_{*-n}M}$el isomorfismo de Thom . Este mapa está bien definido ya que existe una identificación estándar que es un paquete orientado, por lo que se aplica el isomorfismo de Thom. ${\displaystyle \nu M\equiv TM}$

Combinado, esto da un mapa , que es el producto de intersección , generalizando el producto de intersección discutido anteriormente. Un argumento similar con el teorema de Künneth da la forma de enlace de torsión . ${\displaystyle H_{i}M\otimes H_{j}M\to H_{i+j-n}M}$

Esta formulación de la dualidad de Poincaré se ha vuelto popular ^[3] ya que define la dualidad de Poincaré para cualquier teoría de homología generalizada , dado un teorema de Künneth y un isomorfismo de Thom para esa teoría de homología. Un teorema de isomorfismo de Thom para una teoría de homología ahora se considera la noción generalizada de orientabilidad de esa teoría. Por ejemplo, una estructura de espín ^C en una variedad es un análogo preciso de una orientación dentro de la teoría k topológica compleja .

Generalizaciones y resultados relacionados.

El teorema de dualidad de Poincaré-Lefschetz es una generalización para variedades con límite. En el caso no orientable, teniendo en cuenta el haz de orientaciones locales, se puede dar una afirmación que es independiente de la orientabilidad: ver dualidad retorcida de Poincaré .

La dualidad de Blanchfield es una versión de la dualidad de Poincaré que proporciona un isomorfismo entre la homología de un espacio de cobertura abeliano de una variedad y la cohomología correspondiente con soportes compactos. Se utiliza para obtener resultados estructurales básicos sobre el módulo Alexander y se puede utilizar para definir las firmas de un nudo .

Con el desarrollo de la teoría de la homología para incluir la teoría K y otras teorías extraordinarias desde aproximadamente 1955, se dio cuenta de que la homología podría ser reemplazada por otras teorías, una vez que se construyeran los productos en variedades; y ahora existen tratamientos de libros de texto en general. Más específicamente, existe un teorema general de dualidad de Poincaré para una teoría de homología generalizada que requiere una noción de orientación con respecto a una teoría de homología, y se formula en términos de un teorema de isomorfismo generalizado de Thom . El teorema del isomorfismo de Thom a este respecto puede considerarse como la idea germinal de la dualidad de Poincaré para las teorías de homología generalizada. ${\displaystyle H'_{*}}$

La dualidad de Verdier es la generalización apropiada a objetos geométricos (posiblemente singulares ), como espacios o esquemas analíticos , mientras que la homología de intersección fue desarrollada por Robert MacPherson y Mark Goresky para espacios estratificados , como variedades algebraicas reales o complejas, precisamente para generalizar a Poincaré. dualidad a tales espacios estratificados.

Hay muchas otras formas de dualidad geométrica en topología algebraica , incluida la dualidad de Lefschetz , la dualidad de Alexander , la dualidad de Hodge y la dualidad S.

De manera más algebraica, se puede abstraer la noción de complejo de Poincaré , que es un objeto algebraico que se comporta como el complejo de cadena singular de una variedad, satisfaciendo notablemente la dualidad de Poincaré en sus grupos de homología, con respecto a un elemento distinguido (correspondiente a la clase fundamental ). Estos se utilizan en teoría quirúrgica para algebraizar preguntas sobre variedades. Un espacio de Poincaré es aquel cuyo complejo de cadenas singular es un complejo de Poincaré. No todas estas son variedades, pero el hecho de que no lo sean puede medirse mediante la teoría de la obstrucción .

Ver también

• Descomposición de Bruhat
• clase fundamental
• grupo weyl

Referencias

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (1ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9780521795401. SEÑOR  1867354.
2. Przytycki, Józef H .; Yasuhara, Akira (2003), "Simetría de enlaces y clasificación de espacios de lentes", Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi :10.1023/A:1024008222682, MR  1988423, S2CID  14601373
3. Rudyak, Yuli (1998). "Sobre espectros de Thom, orientabilidad y cobordismo" . Monografías de Springer en Matemáticas. Con prólogo de Haynes Miller . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62043-5. SEÑOR  1627486.

Otras lecturas

• Blanchfield, Richard C. (1957), "Teoría de la intersección de variedades con operadores con aplicaciones a la teoría de nudos", Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356, doi :10.2307/1969966, JSTOR  1969966, MR  0085512
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, señor  1288523

enlaces externos

• Forma de intersección en el Atlas múltiple
• Formulario de vinculación en Manifold Atlas