Complejo de Poincaré

En matemáticas, y especialmente en topología , un complejo de Poincaré (llamado así en honor al matemático Henri Poincaré ) es una abstracción del complejo de cadena singular de una variedad cerrada y orientable .

Los grupos singulares de homología y cohomología de una variedad cerrada y orientable están relacionados por la dualidad de Poincaré . La dualidad de Poincaré es un isomorfismo entre los grupos de homología y cohomología . Un complejo de cadena se denomina complejo de Poincaré si sus grupos de homología y cohomología tienen las propiedades abstractas de la dualidad de Poincaré. ^[1]

Un espacio de Poincaré es un espacio topológico cuyo complejo de cadena singular es un complejo de Poincaré. Se utilizan en teoría quirúrgica para analizar variedades algebraicamente.

Definición

Sea un complejo en cadena de grupos abelianos , y supongamos que los grupos de homología de son finitamente generados . Supongamos que existe una función , llamada diagonal en cadena, con la propiedad de que . Aquí la función denota el homomorfismo de anillo conocido como función de aumento , que se define de la siguiente manera: si , entonces . ^[2] ${\displaystyle C=\{C_{i}\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta \colon C\to C\otimes C}$ ${\displaystyle (\varepsilon \otimes 1)\Delta =(1\otimes \varepsilon )\Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon \colon C_{0}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n_{1}\sigma _{1}+\cdots +n_{k}\sigma _{k}\in C_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon (n_{1}\sigma _{1}+\cdots +n_{k}\sigma _{k})=n_{1}+\cdots +n_{k}\in \mathbb {Z} }$

Utilizando la diagonal tal y como se define arriba, podemos formar emparejamientos, a saber:

${\displaystyle \rho \colon H^{k}(C)\otimes H_{n}(C)\to H_{n-k}(C),\ {\text{where}}\ \ \rho (x\otimes y)=x\frown y}$,

donde denota el producto límite . ^[3] ${\displaystyle \scriptstyle \frown }$

Un complejo de cadena C se llama geométrico si existe una homotopía de cadena entre y , donde es la transposición/inversión dada por . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \tau \Delta }$ ${\displaystyle \tau \colon C\otimes C\to C\otimes C}$ ${\displaystyle \tau (a\otimes b)=b\otimes a}$

Un complejo de cadena geométrica se denomina complejo de Poincaré algebraico , de dimensión n , si existe un elemento ordenado infinito del grupo de homología n -dimensional, digamos , tal que las funciones dadas por ${\displaystyle \mu \in H_{n}(C)}$

${\displaystyle (\frown \mu )\colon H^{k}(C)\to H_{n-k}(C)}$

son isomorfismos de grupo para todos los . Estos isomorfismos son los isomorfismos de la dualidad de Poincaré. ^{[4] [5]} ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

Ejemplo

• El complejo de cadena singular de una variedad n -dimensional cerrada y orientable es un ejemplo de un complejo de Poincaré, donde los isomorfismos de dualidad se dan mediante el límite con la clase fundamental . ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$

Véase también

• Espacio de Poincaré

Referencias

1. Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Complejo de Poincaré", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , consultado el 6 de agosto de 2010
2. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica, Cambridge University Press , pág. 110, ISBN 978-0-521-79540-1
3. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica, Cambridge University Press, págs. 239-241, ISBN 978-0-521-79540-1
4. Wall, CTC (1966). "Cirugía de variedades no simplemente conexas". Anales de Matemáticas . 84 (2): 217–276. doi :10.2307/1970519. JSTOR  1970519.
5. Wall, CTC (1970). Cirugía en variedades compactas . Academic Press.

• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ed.), Cirugía en variedades compactas (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, Sr.  1687388– especialmente el Capítulo 2

Enlaces externos

• Clasificación de complejos de Poincaré a través de tripletas fundamentales en el Atlas de variedades