En matemáticas , el plano proyectivo real es un espacio proyectivo bidimensional , similar al familiar plano euclidiano en muchos aspectos, pero sin los conceptos de distancia , círculos , medida de ángulos o paralelismo . Es el escenario de la geometría proyectiva planar , en la que no se considera que las relaciones entre los objetos cambien bajo transformaciones proyectivas . El nombre proyectivo proviene de dibujo en perspectiva : proyectar una imagen de un plano sobre otro visto desde un punto fuera de cualquiera de los planos, por ejemplo fotografiando una pintura plana desde un ángulo oblicuo , es una transformación proyectiva.
Los objetos fundamentales en el plano proyectivo son los puntos y las rectas , y al igual que en la geometría euclidiana , cada par de puntos determina una única recta que pasa por ambos, pero a diferencia del caso euclidiano en la geometría proyectiva cada par de rectas determina también un único punto en su intersección (en la geometría euclidiana, las rectas paralelas nunca se intersecan). En contextos en los que no hay ambigüedad, se le llama simplemente plano proyectivo ; se le añade el calificativo "real" para distinguirlo de otros planos proyectivos como el plano proyectivo complejo y los planos proyectivos finitos .
Un modelo común del plano proyectivo real es el espacio de líneas en el espacio euclidiano tridimensional que pasan por un punto de origen particular ; en este modelo, las líneas que pasan por el origen se consideran los "puntos" del plano proyectivo, y los planos que pasan por el origen se consideran las "líneas" en el plano proyectivo. Estos puntos y líneas proyectivos se pueden representar en dos dimensiones intersecándolos con cualquier plano arbitrario que no pase por el origen; entonces, el plano paralelo que pasa por el origen (una "línea" proyectiva) se denomina línea en el infinito . (Véase § Coordenadas homogéneas más abajo.)
En topología , el nombre de plano proyectivo real se aplica a cualquier superficie que sea topológicamente equivalente al plano proyectivo real. Topológicamente, el plano proyectivo real es compacto y no orientable (unilateral). No puede estar embebido en el espacio euclidiano tridimensional sin intersecarse a sí mismo. Tiene característica de Euler 1, por lo tanto un demigénero (género no orientable, género de Euler) de 1.
El plano proyectivo real topológico se puede construir tomando el borde (único) de una cinta de Möbius y pegándolo a sí mismo en la dirección correcta, o pegándolo a un disco . Alternativamente, el plano proyectivo real se puede construir identificando cada par de lados opuestos del cuadrado, pero en direcciones opuestas, como se muestra en el diagrama. (Realizar cualquiera de estas operaciones en el espacio tridimensional hace que la superficie se intersecta a sí misma).
La geometría proyectiva no se ocupa necesariamente de la curvatura y el plano proyectivo real puede retorcerse y colocarse en el plano euclidiano o en el espacio tridimensional de muchas maneras diferentes. [1] Algunos de los ejemplos más importantes se describen a continuación.
El plano proyectivo no puede estar embebido (es decir, sin intersección) en el espacio euclidiano tridimensional. La prueba de que el plano proyectivo no se embebe en el espacio euclidiano tridimensional es la siguiente: Suponiendo que se embeba, limitaría una región compacta en el espacio euclidiano tridimensional por el teorema generalizado de la curva de Jordan . El campo vectorial normal unitario que apunta hacia afuera daría entonces una orientación de la variedad límite, pero la variedad límite sería el plano proyectivo , que no es orientable. Esto es una contradicción, y por lo tanto nuestra suposición de que se embebe debe haber sido falsa.
Consideremos una esfera y sean los círculos máximos de la esfera "líneas", y sean los pares de puntos antípodas "puntos". Es fácil comprobar que este sistema obedece a los axiomas exigidos a un plano proyectivo :
Si identificamos cada punto de la esfera con su punto antípoda, obtenemos una representación del plano proyectivo real en el que los "puntos" del plano proyectivo son realmente puntos. Esto significa que el plano proyectivo es el espacio cociente de la esfera obtenido al dividir la esfera en clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia ~, donde x ~ y si y = x o y = − x . Este espacio cociente de la esfera es homeomorfo con el conjunto de todas las líneas que pasan por el origen en R 3 .
La función cociente de la esfera sobre el plano proyectivo real es, de hecho, una función de dos láminas (es decir, dos a uno) . De ello se deduce que el grupo fundamental del plano proyectivo real es el grupo cíclico de orden 2, es decir, los números enteros módulo 2. Se puede tomar el bucle AB de la figura anterior como generador.
Como la esfera cubre el plano proyectivo real dos veces, el plano puede representarse como un hemisferio cerrado alrededor de cuyo borde se identifican puntos opuestos. [2]
El plano proyectivo puede sumergirse (los vecindarios locales del espacio fuente no tienen autointersecciones) en el espacio tridimensional. La superficie de Boy es un ejemplo de inmersión.
Los ejemplos poliédricos deben tener al menos nueve caras. [3]
La superficie romana de Steiner es un mapa más degenerado del plano proyectivo en el espacio tridimensional, que contiene una tapa cruzada .
Una representación poliédrica es el tetrahemihexaedro , [4] que tiene la misma forma general que la superficie romana de Steiner, que se muestra aquí.
Mirando en la dirección opuesta, ciertos politopos regulares abstractos – hemi-cubo , hemi-dodecaedro y hemi-icosaedro – pueden construirse como figuras regulares en el plano proyectivo; ver también poliedros proyectivos .
Se han descrito varias proyecciones o aplicaciones planas del plano proyectivo. En 1874, Klein describió la aplicación: [1]
La proyección central del hemisferio proyectivo sobre un plano produce el plano proyectivo infinito habitual, descrito a continuación.
Al pegar un disco a una tapa transversal se obtiene una superficie cerrada . Esta superficie se puede representar paramétricamente mediante las siguientes ecuaciones:
donde tanto u como v varían de 0 a 2 π .
Estas ecuaciones son similares a las de un toro . La figura 1 muestra un disco cerrado con tapa cruzada.
Un disco con casquete cruzado tiene un plano de simetría que pasa por su segmento de línea de puntos dobles. En la Figura 1, el disco con casquete cruzado se ve desde arriba de su plano de simetría z = 0, pero se vería igual si se lo viera desde abajo.
Un disco con tapas cruzadas se puede cortar a lo largo de su plano de simetría, teniendo cuidado de no cortar ninguno de sus puntos dobles. El resultado se muestra en la Figura 2.
Una vez realizada esta excepción, se verá que el disco cortado con tapa cruzada es homeomorfo a un disco autointersecante, como se muestra en la Figura 3.
El disco que se autointersecta es homeomorfo a un disco ordinario. Las ecuaciones paramétricas del disco que se autointersecta son:
donde u varía de 0 a 2 π y v varía de 0 a 1.
Proyectando el disco autointersecante sobre el plano de simetría ( z = 0 en la parametrización dada anteriormente) que pasa sólo por los puntos dobles, el resultado es un disco ordinario que se repite (se duplica sobre sí mismo).
El plano z = 0 corta el disco que se autointersecta en un par de discos que son reflejos especulares uno del otro. Los discos tienen centros en el origen .
Consideremos ahora los bordes de los discos (con v = 1). Los puntos del borde del disco que se autointersecta se encuentran en pares que son reflejos entre sí con respecto al plano z = 0.
Un disco con tapa cruzada se forma identificando estos pares de puntos, haciéndolos equivalentes entre sí. Esto significa que un punto con parámetros ( u , 1) y coordenadas se identifica con el punto ( u + π, 1) cuyas coordenadas son . Pero esto significa que los pares de puntos opuestos en el borde del disco ordinario (equivalente) se identifican entre sí; así es como se forma un plano proyectivo real a partir de un disco. Por lo tanto, la superficie mostrada en la Figura 1 (tapa cruzada con disco) es topológicamente equivalente al plano proyectivo real RP 2 .
Los puntos del plano pueden representarse mediante coordenadas homogéneas . Un punto tiene coordenadas homogéneas [ x : y : z ], donde las coordenadas [ x : y : z ] y [ tx : ty : tz ] se consideran que representan el mismo punto, para todos los valores distintos de cero de t . Los puntos con coordenadas [ x : y : 1] son el plano real habitual , llamado parte finita del plano proyectivo, y los puntos con coordenadas [ x : y : 0], llamados puntos en el infinito o puntos ideales , constituyen una línea llamada línea en el infinito . (Las coordenadas homogéneas [0: 0: 0] no representan ningún punto.)
Las rectas en el plano también pueden representarse por coordenadas homogéneas. Una recta proyectiva correspondiente al plano ax + by + cz = 0 en R 3 tiene las coordenadas homogéneas ( a : b : c ). Por tanto, estas coordenadas tienen la relación de equivalencia ( a : b : c ) = ( da : db : dc ) para todos los valores distintos de cero de d . Por tanto, una ecuación diferente de la misma recta dax + dby + dcz = 0 da las mismas coordenadas homogéneas. Un punto [ x : y : z ] se encuentra en una recta ( a : b : c ) si ax + by + cz = 0. Por tanto, las rectas con coordenadas ( a : b : c ) donde a , b no son ambas 0 corresponden a las rectas en el plano real habitual , porque contienen puntos que no están en el infinito. La recta con coordenadas (0 : 0 : 1) es la recta en el infinito, ya que los únicos puntos en ella son aquellos con z = 0.
Una línea en P 2 se puede representar mediante la ecuación ax + by + cz = 0. Si tratamos a , b y c como el vector columna ℓ y x , y , z como el vector columna x entonces la ecuación anterior se puede escribir en forma matricial como:
Usando notación vectorial podemos escribir x ⋅ ℓ = 0 o ℓ ⋅ x = 0.
La ecuación k ( x T ℓ ) = 0 (donde k es un escalar distinto de cero) barre un plano que pasa por cero en R 3 y k ( x ) barre una línea, que también pasa por cero. El plano y la línea son subespacios lineales en R 3 , que siempre pasan por cero.
En P 2 la ecuación de una recta es ax + by + cz = 0 y esta ecuación puede representar una recta en cualquier plano paralelo al plano x , y multiplicando la ecuación por k .
Si z = 1 tenemos una coordenada homogénea normalizada. Todos los puntos que tienen z = 1 crean un plano. Supongamos que estamos mirando ese plano (desde una posición más alejada a lo largo del eje z y mirando hacia atrás, hacia el origen) y hay dos líneas paralelas dibujadas en el plano. Desde donde estamos parados (dadas nuestras capacidades visuales) podemos ver solo una parte del plano, que representamos como el área delineada en rojo en el diagrama. Si nos alejamos del plano a lo largo del eje z (aún mirando hacia atrás, hacia el origen), podemos ver más del plano. En nuestro campo de visión, los puntos originales se han movido. Podemos reflejar este movimiento dividiendo la coordenada homogénea por una constante. En la imagen adyacente hemos dividido por 2, por lo que el valor z ahora se convierte en 0,5. Si nos alejamos lo suficiente, lo que estamos mirando se convierte en un punto en la distancia. A medida que nos alejamos, vemos cada vez más líneas paralelas. Las líneas se unirán en una línea en el infinito (una línea que pasa por cero en el plano en z = 0 ). Las rectas en el plano cuando z = 0 son puntos ideales. El plano en z = 0 es la recta en el infinito.
El punto homogéneo (0, 0, 0) es donde van todos los puntos reales cuando miras el plano desde una distancia infinita, una línea en el plano z = 0 es donde se intersecan las líneas paralelas.
En la ecuación x T ℓ = 0 hay dos vectores columna . Puedes mantener uno constante y variar el otro. Si mantenemos el punto x constante y variamos los coeficientes ℓ creamos nuevas líneas que pasan por el punto. Si mantenemos los coeficientes constantes y variamos los puntos que satisfacen la ecuación creamos una línea. Vemos a x como un punto, porque los ejes que estamos usando son x , y y z . Si en cambio graficamos los coeficientes usando los ejes marcados a , b , c los puntos se convertirían en líneas y las líneas se convertirían en puntos. Si demuestras algo con los datos graficados en los ejes marcados x , y y z el mismo argumento se puede usar para los datos graficados en los ejes marcados a , b y c . Eso es dualidad.
La ecuación x T ℓ = 0 calcula el producto interno de dos vectores columna. El producto interno de dos vectores es cero si los vectores son ortogonales . En P 2 , la línea entre los puntos x 1 y x 2 puede representarse como un vector columna ℓ que satisface las ecuaciones x 1 T ℓ = 0 y x 2 T ℓ = 0 , o en otras palabras, un vector columna ℓ que es ortogonal a x 1 y x 2 . El producto vectorial encontrará dicho vector: la línea que une dos puntos tiene coordenadas homogéneas dadas por la ecuación x 1 × x 2 . La intersección de dos líneas se puede encontrar de la misma manera, utilizando la dualidad, como el producto vectorial de los vectores que representan las líneas, ℓ 1 × ℓ 2 .
El plano proyectivo se inserta en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones. El plano proyectivo real P 2 ( R ) es el cociente de las dos esferas
por la relación antípoda ( x , y , z ) ~ (− x , − y , − z ) . Considérese la función R 3 → R 4 dada por ( x , y , z ) ↦ ( xy , xz , y 2 − z 2 , 2 yz ) . Esta función se restringe a una función cuyo dominio es S 2 y, puesto que cada componente es un polinomio homogéneo de grado par, toma los mismos valores en R 4 en cada uno de dos puntos antípodas cualesquiera en S 2 . Esto produce una función P 2 ( R ) → R 4 . Además, esta función es una incrustación. Nótese que esta incrustación admite una proyección en R 3 que es la superficie romana .
Al unir sucesivamente planos proyectivos se obtienen superficies no orientables de semigénero superior . El proceso de pegado consiste en recortar un pequeño disco de cada superficie e identificar ( pegar ) sus círculos límites. Al pegar dos planos proyectivos se crea la botella de Klein .
El artículo sobre el polígono fundamental describe las superficies superiores no orientables.
