Plano proyectivo

Concepto geométrico de un espacio 2D con un "punto en el infinito" adjunto

Dibujos de los planos proyectivos finitos de órdenes 2 (el plano de Fano ) y 3, en disposición de cuadrícula, que muestran un método para crear dichos dibujos para órdenes primos.

Estas líneas paralelas parecen cortarse en el punto de fuga "en el infinito". En un plano proyectivo esto es realmente cierto.

En matemáticas , un plano proyectivo es una estructura geométrica que extiende el concepto de plano . En el plano euclidiano ordinario, dos líneas se intersecan típicamente en un único punto, pero hay algunos pares de líneas (es decir, líneas paralelas) que no se intersecan. Un plano proyectivo puede considerarse como un plano ordinario equipado con "puntos en el infinito" adicionales donde se intersecan líneas paralelas. Por lo tanto, dos líneas distintas en un plano proyectivo se intersecan exactamente en un punto.

Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas de dibujo en perspectiva , sentaron las bases para este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como plano euclidiano extendido . ^[1] Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva , donde puede denotarse de diversas formas como PG(2, R ) , RP ² o P ₂ ( R ), entre otras notaciones. Hay muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo , como finitos, como el plano de Fano .

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional . No todos los planos proyectivos pueden ser insertados en espacios proyectivos tridimensionales; dicha inserción es consecuencia de una propiedad conocida como teorema de Desargues , que no comparten todos los planos proyectivos.

Definición

Un plano proyectivo consta de un conjunto de líneas , un conjunto de puntos y una relación entre puntos y líneas llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades: ^[2]

1. Dados dos puntos distintos, hay exactamente una línea incidente con ambos.
2. Dadas dos líneas distintas, hay exactamente un punto incidente con ambas.
3. Hay cuatro puntos tales que ninguna recta incide con más de dos de ellos.

La segunda condición significa que no hay líneas paralelas . La última condición excluye los llamados casos degenerados (ver más abajo). El término "incidencia" se utiliza para enfatizar la naturaleza simétrica de la relación entre puntos y líneas. Así, se utiliza la expresión "el punto P es incidente con la línea ℓ " en lugar de " P está en ℓ " o " ℓ pasa por P ".

Ejemplos

El plano euclidiano extendido

Para convertir el plano euclidiano ordinario en un plano proyectivo, proceda de la siguiente manera:

1. A cada clase de líneas paralelas (un conjunto máximo de líneas paralelas entre sí) se le asocia un único punto nuevo. Ese punto se considerará incidente con cada línea de su clase. Los nuevos puntos añadidos son distintos entre sí. Estos nuevos puntos se denominan puntos en el infinito .
2. Añade una nueva línea, que se considera incidente con todos los puntos en el infinito (y ningún otro punto). Esta línea se llama línea en el infinito .

La estructura extendida es un plano proyectivo y se denomina plano euclidiano extendido o plano proyectivo real . El proceso descrito anteriormente, utilizado para obtenerlo, se denomina "completación proyectiva" o proyectivización . Este plano también se puede construir partiendo de R ³ visto como un espacio vectorial, véase § Construcción de espacios vectoriales más adelante.

Plano proyectivo de Moulton

El plano de Moulton . Las líneas que se inclinan hacia abajo y hacia la derecha se curvan donde cruzan el eje y .

Los puntos del plano de Moulton son los puntos del plano euclidiano, con coordenadas de la forma habitual. Para crear el plano de Moulton a partir del plano euclidiano se redefinen algunas de las rectas. Es decir, se cambiarán algunos de sus conjuntos de puntos, pero otras rectas permanecerán inalteradas. Redefinimos todas las rectas con pendientes negativas para que parezcan rectas "dobladas", es decir, estas rectas mantienen sus puntos con coordenadas x negativas , pero el resto de sus puntos se sustituyen por los puntos de la recta con la misma intersección con el eje y pero el doble de pendiente donde su coordenada x sea positiva.

El plano de Moulton tiene clases de líneas paralelas y es un plano afín . Puede proyectivizarse, como en el ejemplo anterior, para obtener el plano proyectivo de Moulton . El teorema de Desargues no es un teorema válido ni en el plano de Moulton ni en el plano proyectivo de Moulton.

Un ejemplo finito

Este ejemplo tiene solo trece puntos y trece líneas. Etiquetamos los puntos P ₁ , ..., P ₁₃ y las líneas m ₁ , ..., m ₁₃ . La relación de incidencia (qué puntos están en qué líneas) se puede dar mediante la siguiente matriz de incidencia . Las filas están etiquetadas por los puntos y las columnas están etiquetadas por las líneas. Un 1 en la fila i y la columna j significa que el punto P _i está en la línea m _j , mientras que un 0 (que representamos aquí con una celda en blanco para facilitar la lectura) significa que no son incidentes. La matriz está en forma normal de Paige-Wexler.

Para verificar las condiciones que hacen de este un plano proyectivo, observe que cada dos filas tienen exactamente una columna común en la que aparecen 1 (cada par de puntos distintos se encuentra exactamente en una línea común) y que cada dos columnas tienen exactamente una fila común en la que aparecen 1 (cada par de líneas distintas se encuentran exactamente en un punto). Entre muchas posibilidades, los puntos P ₁ , P ₄ , P ₅ y P ₈ , por ejemplo, satisfarán la tercera condición. Este ejemplo se conoce como el plano proyectivo de orden tres .

Construcción del espacio vectorial

Aunque la línea en el infinito del plano real extendido puede parecer de naturaleza diferente a las otras líneas de ese plano proyectivo, no es así. Otra construcción del mismo plano proyectivo muestra que ninguna línea puede distinguirse (por razones geométricas) de otra. En esta construcción, cada "punto" del plano proyectivo real es el subespacio unidimensional (una línea geométrica ) que pasa por el origen en un espacio vectorial tridimensional, y una "línea" en el plano proyectivo surge de un plano ( geométrico ) que pasa por el origen en el espacio tridimensional. Esta idea puede generalizarse y hacerse más precisa de la siguiente manera. ^[3]

Sea K cualquier anillo de división (skewfield). Sea K ³ el conjunto de todas las ternas x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) de elementos de K (un producto cartesiano visto como un espacio vectorial ). Para cualquier x distinto de cero en K ³ , el subespacio mínimo de K ³ que contiene a x (que puede visualizarse como todos los vectores en una línea que pasa por el origen) es el subconjunto

${\displaystyle \{kx:k\in K\}}$

de K ³ . De manera similar, sean x e y elementos linealmente independientes de K ³ , lo que significa que kx + my = 0 implica que k = m = 0 . El subespacio mínimo de K ³ que contiene x e y (que puede visualizarse como todos los vectores en un plano que pasa por el origen) es el subconjunto

${\displaystyle \{kx+my:k,m\in K\}}$

de K ³ . Este subespacio bidimensional contiene varios subespacios unidimensionales a través del origen que pueden obtenerse fijando k y m y tomando los múltiplos del vector resultante. Diferentes opciones de k y m que estén en la misma proporción darán la misma línea.

El plano proyectivo sobre K , denotado PG(2,  K ) o K P ² , tiene un conjunto de puntos que consiste en todos los subespacios unidimensionales en K ³ . Un subconjunto L de los puntos de PG(2,  K ) es una línea en PG(2,  K ) si existe un subespacio bidimensional de K ³ cuyo conjunto de subespacios unidimensionales es exactamente L .

Verificar que esta construcción produce un plano proyectivo suele dejarse como ejercicio de álgebra lineal.

Una visión alternativa (algebraica) de esta construcción es la siguiente. Los puntos de este plano proyectivo son las clases de equivalencia del conjunto K ³ \ {(0, 0, 0)} módulo la relación de equivalencia.

x ~ kx , para todo k en K ^× .

Las líneas en el plano proyectivo se definen exactamente como se indica arriba.

Las coordenadas ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) de un punto en PG(2,  K ) se denominan coordenadas homogéneas . Cada triple ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) representa un punto bien definido en PG(2,  K ), excepto el triple (0, 0, 0) , que no representa ningún punto. Sin embargo, cada punto en PG(2,  K , está representado por muchos triples.

Si K es un espacio topológico , entonces K P ² hereda una topología a través de las topologías de producto , subespacio y cociente .

Ejemplos clásicos

El plano proyectivo real RP ² surge cuando se toma K como los números reales , R . Como variedad 2-real cerrada y no orientable , sirve como un ejemplo fundamental en topología. ^[4]

En esta construcción, considere la esfera unitaria centrada en el origen en R ³ . Cada una de las líneas R ^{3 en esta construcción interseca la esfera en dos puntos antípodas. Dado que la línea} R ³ representa un punto de RP ² , obtendremos el mismo modelo de RP ² identificando los puntos antípodas de la esfera. Las líneas de RP ² serán los círculos máximos de la esfera después de esta identificación de puntos antípodas. Esta descripción proporciona el modelo estándar de geometría elíptica .

El plano proyectivo complejo CP ² surge cuando se toma K como los números complejos , C . Es una 2-variedad compleja cerrada y, por lo tanto, una 4-variedad real cerrada y orientable. Este y los planos proyectivos sobre otros cuerpos (conocidos como planos pappianos ) sirven como ejemplos fundamentales en geometría algebraica . ^[5]

El plano proyectivo cuaterniónico HP ² también es de interés independiente. ^[6]

Planos de campo finitos

Según el teorema de Wedderburn , un anillo de división finito debe ser conmutativo y, por lo tanto, un cuerpo. Por lo tanto, los ejemplos finitos de esta construcción se conocen como "planos de cuerpo". Si tomamos K como el cuerpo finito de q = p ⁿ elementos con p primo, obtenemos un plano proyectivo de q ² + q + 1 puntos. Los planos de cuerpo se denotan habitualmente por PG(2,  q ) donde PG representa la geometría proyectiva, el "2" es la dimensión y q se denomina orden del plano (es uno menos que el número de puntos de cualquier línea). El plano de Fano, que se analiza a continuación, se denota por PG(2, 2). El tercer ejemplo anterior es el plano proyectivo PG(2, 3).

El plano de Fano. Los puntos se representan como puntos y las líneas como líneas o círculos.

El plano de Fano es el plano proyectivo que surge del campo de dos elementos. Es el plano proyectivo más pequeño, con solo siete puntos y siete líneas. En la figura de la derecha, los siete puntos se muestran como pequeñas bolas y las siete líneas se muestran como seis segmentos de línea y un círculo. Sin embargo, se podría considerar de manera equivalente que las bolas son las "líneas" y los segmentos de línea y el círculo son los "puntos"; este es un ejemplo de dualidad en el plano proyectivo: si las líneas y los puntos se intercambian, el resultado sigue siendo un plano proyectivo (ver más abajo). Una permutación de los siete puntos que lleva puntos colineales (puntos en la misma línea) a puntos colineales se llama colineación o simetría del plano. Las colineaciones de una geometría forman un grupo bajo composición y, para el plano de Fano, este grupo ( PΓL(3, 2) = PGL(3, 2) ) tiene 168 elementos.

Teorema de Desargues y planos desarguesianos

El teorema de Desargues es universalmente válido en un plano proyectivo si y solo si el plano puede construirse a partir de un espacio vectorial tridimensional sobre un campo oblicuo como el anterior. ^[7] Estos planos se denominan planos desarguesianos , llamados así por Girard Desargues . El plano proyectivo real (o complejo) y el plano proyectivo de orden 3 dados anteriormente son ejemplos de planos proyectivos desarguesianos. Los planos proyectivos que no pueden construirse de esta manera se denominan planos no desarguesianos , y el plano de Moulton dado anteriormente es un ejemplo de uno. La notación PG(2,  K ) está reservada para los planos desarguesianos. Cuando K es un cuerpo , un caso muy común, también se conocen como planos de cuerpo y si el cuerpo es un cuerpo finito se pueden llamar planos de Galois .

Subplanos

Un subplano de un plano proyectivo es un subconjunto de los puntos del plano que forman un plano proyectivo con las mismas relaciones de incidencia.

(Bruck 1955) demuestra el siguiente teorema. Sea Π un plano proyectivo finito de orden N con un subplano propio Π ₀ de orden M . Entonces N = M ² o N ≥ M ² + M .

Cuando N es un cuadrado, los subplanos de orden √ N se denominan subplanos de Baer . Cada punto del plano se encuentra sobre una línea de un subplano de Baer y cada línea del plano contiene un punto del subplano de Baer.

En los planos desarguesianos finitos PG(2,  p ⁿ ), los subplanos tienen órdenes que son los órdenes de los subcuerpos del cuerpo finito GF( p ⁿ ), es decir, p ⁱ donde i es un divisor de n . Sin embargo, en los planos no desarguesianos, el teorema de Bruck proporciona la única información sobre los órdenes de los subplanos. No se sabe si se da el caso de igualdad en la desigualdad de este teorema. Si existe o no un subplano de orden M en un plano de orden N con M ² + M = N es una cuestión abierta. Si tales subplanos existieran, habría planos proyectivos de orden compuesto (no potencia prima).

Subplanos de Fano

Un subplano de Fano es un subplano isomorfo a PG(2, 2), el único plano proyectivo de orden 2.

Si consideramos un cuadrángulo (un conjunto de 4 puntos, de los cuales tres son colineales) en este plano, los puntos determinan seis de las líneas del plano. Los tres puntos restantes (llamados puntos diagonales del cuadrángulo) son los puntos donde se encuentran las líneas que no se intersecan en un punto del cuadrángulo. La séptima línea consta de todos los puntos diagonales (generalmente dibujados como un círculo o semicírculo).

En los planos desarguesianos finitos, PG(2,  q ), los subplanos de Fano existen si y sólo si q es par (es decir, una potencia de 2). La situación en los planos no desarguesianos no está resuelta. Podrían existir en cualquier plano no desarguesiano de orden mayor que 6 y, de hecho, se han encontrado en todos los planos no desarguesianos en los que se han buscado (tanto en órdenes pares como impares).

Una pregunta abierta, aparentemente debida a Hanna Neumann aunque no publicada por ella, es: ¿Todo plano no desarguesiano contiene un subplano Fano?

Un teorema relativo a los subplanos de Fano debido a (Gleason 1956) es:

Si cada cuadrángulo en un plano proyectivo finito tiene puntos diagonales colineales, entonces el plano es desarguesiano (de orden par).

Planos afines

La proyectivización del plano euclidiano produjo el plano proyectivo real. La operación inversa (comenzando con un plano proyectivo, eliminar una línea y todos los puntos incidentes con esa línea) produce un plano afín .

Definición

Más formalmente, un plano afín consiste en un conjunto de líneas y un conjunto de puntos , y una relación entre puntos y líneas llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades:

1. Dados dos puntos distintos, hay exactamente una línea incidente con ambos.
2. Dada cualquier línea l y cualquier punto P no incidente con l , hay exactamente una línea incidente con P que no corta a l .
3. Hay cuatro puntos tales que ninguna recta incide con más de dos de ellos.

La segunda condición significa que existen rectas paralelas y se conoce como axioma de Playfair . La expresión "no se cumple" en esta condición es una forma abreviada de decir "no existe un punto incidente con ambas rectas".

El plano euclidiano y el plano de Moulton son ejemplos de planos afines infinitos. Un plano proyectivo finito producirá un plano afín finito cuando se eliminen una de sus líneas y los puntos que se encuentran sobre ella. El orden de un plano afín finito es el número de puntos que hay sobre cualquiera de sus líneas (este será el mismo número que el orden del plano proyectivo del que proviene). Los planos afines que surgen de los planos proyectivos PG(2,  q ) se denotan por AG(2,  q ).

Existe un plano proyectivo de orden N si y solo si existe un plano afín de orden N. Cuando solo hay un plano afín de orden N, solo hay un plano proyectivo de orden N , pero la inversa no es cierta. Los planos afines formados por la eliminación de diferentes líneas del plano proyectivo serán isomorfos si y solo si las líneas eliminadas están en la misma órbita del grupo de colineación del plano proyectivo. Estas afirmaciones también son válidas para planos proyectivos infinitos.

Construcción de planos proyectivos a partir de planos afines

El plano afín K ² sobre K se incrusta en K P ² a través del mapa que envía coordenadas afines (no homogéneas) a coordenadas homogéneas .

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto (1,x_{1},x_{2}).}$

El complemento de la imagen es el conjunto de puntos de la forma (0, x ₁ , x ₂ ) . Desde el punto de vista de la incrustación que acabamos de dar, estos puntos son los puntos en el infinito . Constituyen una línea en K P ^{2 ,} es decir, la línea que surge del plano

${\displaystyle \{k(0,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K\}}$

en K ³ —llamada la línea en el infinito . Los puntos en el infinito son los puntos "extra" donde se intersecan las líneas paralelas en la construcción del plano real extendido; el punto (0, x ₁ , x ₂ ) es donde se intersecan todas las líneas de pendiente x ₂ / x _1. Consideremos, por ejemplo, las dos líneas

${\displaystyle u=\{(x,0):x\in K\}}$

${\displaystyle y=\{(x,1):x\in K\}}$

en el plano afín K ² . Estas líneas tienen pendiente 0 y no se intersecan. Pueden considerarse como subconjuntos de K P ² mediante la incrustación anterior, pero estos subconjuntos no son líneas en K P ² . Agregue el punto (0, 1, 0) a cada subconjunto; es decir, sea

${\displaystyle {\bar {u}}=\{(1,x,0):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}$

${\displaystyle {\bar {y}}=\{(1,x,1):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}$

Estas son líneas en K P ² ; ū surge del plano

${\displaystyle \{k(1,0,0)+m(0,1,0):k,m\in K\}}$

en K ³ , mientras que ȳ surge del plano

${\displaystyle {k(1,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K}.}$

Las rectas proyectivas ū y ȳ se intersecan en (0, 1, 0) . De hecho, todas las rectas en K ² de pendiente 0, cuando se proyectan de esta manera, se intersecan en (0, 1, 0) en K P ² .

La incrustación de K ² en K P ² dada anteriormente no es única. Cada incrustación produce su propia noción de puntos en el infinito. Por ejemplo, la incrustación

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\to (x_{2},1,x_{1}),}$

tiene como complemento aquellos puntos de la forma ( x ₀ , 0, x ₂ ) , que entonces se consideran como puntos en el infinito.

Cuando un plano afín no tiene la forma de K ² con K como anillo de división, aún puede ser incrustado en un plano proyectivo, pero la construcción utilizada anteriormente no funciona. Un método comúnmente utilizado para llevar a cabo la incrustación en este caso implica expandir el conjunto de coordenadas afines y trabajar en un "álgebra" más general.

Coordenadas generalizadas

Se puede construir un "anillo" de coordenadas (un llamado anillo ternario planar , no un anillo genuino) correspondiente a cualquier plano proyectivo. Un anillo ternario planar no necesita ser un anillo de campo o de división, y hay muchos planos proyectivos que no se construyen a partir de un anillo de división. Se denominan planos proyectivos no desarguesianos y son un área activa de investigación. El plano de Cayley ( OP ² ), un plano proyectivo sobre los octoniones , es uno de ellos porque los octoniones no forman un anillo de división. ^[8]

Por el contrario, dado un anillo ternario plano ( R ,  T ), se puede construir un plano proyectivo (ver más abajo). La relación no es biunívoca. Un plano proyectivo puede estar asociado con varios anillos ternarios planos no isomorfos. El operador ternario T se puede utilizar para producir dos operadores binarios en el conjunto R , mediante:

a + b = T ( a , 1, b ), y

a ⋅ b = T ( a , b , 0).

El operador ternario es lineal si T ( x , m , k ) = x ⋅ m + k . Cuando el conjunto de coordenadas de un plano proyectivo forma en realidad un anillo, se puede definir un operador ternario lineal de esta manera, utilizando las operaciones de anillo de la derecha, para producir un anillo ternario plano.

Las propiedades algebraicas de este anillo de coordenadas ternario planar resultan corresponderse con las propiedades de incidencia geométrica del plano. Por ejemplo, el teorema de Desargues corresponde a la obtención del anillo de coordenadas a partir de un anillo de división , mientras que el teorema de Pappus corresponde a la obtención de este anillo a partir de un campo conmutativo . Un plano proyectivo que satisface el teorema de Pappus de manera universal se denomina plano de Pappia . Las álgebras de división alternativas , no necesariamente asociativas , como los octoniones corresponden a los planos de Moufang .

No se conoce ninguna prueba puramente geométrica de la afirmación puramente geométrica de que el teorema de Desargues implica el teorema de Pappus en un plano proyectivo finito (los planos desarguesianos finitos son papianos). (La inversa es cierta en cualquier plano proyectivo y es demostrable geométricamente, pero la finitud es esencial en esta afirmación ya que hay infinitos planos desarguesianos que no son papianos). La prueba más común utiliza coordenadas en un anillo de división y el teorema de Wedderburn de que los anillos de división finitos deben ser conmutativos; Bamberg y Penttila (2015) dan una prueba que utiliza solo hechos algebraicos más "elementales" sobre los anillos de división.

Para describir un plano proyectivo finito de orden N (≥ 2) utilizando coordenadas no homogéneas y un anillo ternario plano:

Sea un punto etiquetado como ( ∞ ).

Etiqueta N puntos, ( r ) donde r = 0, ..., ( N  − 1).

Etiqueta N ² puntos, ( r , c ) donde r , c = 0, ..., ( N  − 1).

Sobre estos puntos, construya las siguientes líneas:

Una línea [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), ..., ( N  − 1)}

N líneas [ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ..., ( c , N  − 1)}, donde c = 0, ..., ( N  − 1)

N ² líneas [ r , c ] = {( r ) y los puntos ( x , T ( x , r , c )) }, donde x , r , c = 0, ..., ( N  − 1) y T es el operador ternario del anillo ternario planar.

Por ejemplo, para N = 2 podemos utilizar los símbolos {0, 1} asociados con el cuerpo finito de orden 2. La operación ternaria definida por T ( x , m , k ) = xm + k con las operaciones de la derecha siendo la multiplicación y la suma en el cuerpo da como resultado lo siguiente:

Una línea [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), (1)},

2 líneas [ c ] = {( ∞ ), ( c ,0), ( c ,1) : c = 0, 1},

[0] = {( ∞ ), (0,0), (0,1) }

[1] = {( ∞ ), (1,0), (1,1) }

4 líneas [ r , c ]: ( r ) y los puntos ( i , ir + c ), donde i = 0, 1 : r , c = 0, 1.

[0,0]: {(0), (0,0), (1,0) }

[0,1]: {(0), (0,1), (1,1) }

[1,0]: {(1), (0,0), (1,1) }

[1,1]: {(1), (0,1), (1,0) }

Planos degenerados

Planos proyectivos degenerados (no vacíos)

Los planos degenerados no cumplen la tercera condición de la definición de plano proyectivo. No son lo suficientemente complejos estructuralmente como para ser interesantes por sí mismos, pero de vez en cuando surgen como casos especiales en argumentos generales. Según (Albert y Sandler 1968) existen siete tipos de planos degenerados:

1. el conjunto vacío;
2. un solo punto, sin líneas;
3. una sola línea, sin puntos;
4. un solo punto, una colección de líneas, el punto incide con todas las líneas;
5. una sola línea, una colección de puntos, los puntos son todos incidentes con la línea;
6. un punto P incidente con una línea m , una colección arbitraria de líneas todas incidentes con P y una colección arbitraria de puntos todos incidentes con m ;
7. un punto P no incidente con una línea m , una colección arbitraria (puede estar vacía) de líneas todas incidentes con P y todos los puntos de intersección de estas líneas con m .

Estos siete casos no son independientes, el cuarto y el quinto pueden considerarse como casos especiales del sexto, mientras que el segundo y el tercero son casos especiales del cuarto y el quinto respectivamente. El caso especial del séptimo plano sin líneas adicionales puede verse como un octavo plano. Por lo tanto, todos los casos pueden organizarse en dos familias de planos degenerados de la siguiente manera (esta representación es para planos degenerados finitos, pero puede extenderse a los infinitos de manera natural):

1) Para cualquier número de puntos P ₁ , ..., P _n , y rectas L ₁ , ..., L _m ,

L1 = { P1 , P2 _, ... _, Pn _}​

L2 = { P1 _}​

L3 = { P1 _}​

...

Lm ₌ { P ₁ }

2) Para cualquier número de puntos P ₁ , ..., P _n , y rectas L ₁ , ..., L _n , (mismo número de puntos que de rectas)

L1 = { P2 , P3 _, ... _, Pn _}​

L2 = { P1 , P2 _}​​

L3 = { P1 , P3 _}​​

...

L _n = { P ₁ , P _n }

Colineaciones

Una colineación de un plano proyectivo es una función biyectiva del plano consigo mismo que asigna puntos a puntos y líneas a líneas que preserva la incidencia, lo que significa que si σ es una biyección y el punto P está en la línea m , entonces P ^σ está en m ^σ . ^[9]

Si σ es una colineación de un plano proyectivo, un punto P con P = P ^σ se llama un punto fijo de σ , y una línea m con m = m ^σ se llama una línea fija de  σ . Los puntos en una línea fija no necesitan ser puntos fijos, sus imágenes bajo σ simplemente están restringidas a estar en esta línea. La colección de puntos fijos y líneas fijas de una colineación forman una configuración cerrada , que es un sistema de puntos y líneas que satisfacen las primeras dos pero no necesariamente la tercera condición en la definición de un plano proyectivo. Por lo tanto, la estructura de punto fijo y línea fija para cualquier colineación forman un plano proyectivo por sí mismos, o un plano degenerado. Las colineaciones cuya estructura fija forma un plano se llaman colineaciones planas .

Homografía

Una homografía (o transformación proyectiva ) de PG(2,  K ) es una colineación de este tipo de plano proyectivo que es una transformación lineal del espacio vectorial subyacente. Utilizando coordenadas homogéneas se pueden representar por matrices invertibles 3 × 3 sobre K que actúan sobre los puntos de PG(2,  K ) por y = M x ^T , donde x e y son puntos en K ³ (vectores) y M es una matriz invertible 3 × 3 sobre K. ^[10] Dos matrices representan la misma transformación proyectiva si una es un múltiplo constante de la otra . Así, el grupo de transformaciones proyectivas es el cociente del grupo lineal general por las matrices escalares llamado grupo lineal proyectivo .

Otro tipo de colineación de PG(2,  K ) es inducida por cualquier automorfismo de K , estas se llaman colineaciones automórficas . Si α es un automorfismo de K , entonces la colineación dada por ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) → ( x ₀ ^α , x ₁ ^α , x ₂ ^α ) es una colineación automórfica. El teorema fundamental de la geometría proyectiva dice que todas las colineaciones de PG(2,  K ) son composiciones de homografías y colineaciones automórficas. Las colineaciones automórficas son colineaciones planas.

Dualidad de planos

Un plano proyectivo se define axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran sobre qué líneas. Como P y L son solo conjuntos, se pueden intercambiar sus roles y definir una estructura dual plana .

Al intercambiar el papel de "puntos" y "líneas" en

C = ( P , L , I )

obtenemos la estructura dual

C * = ( L , P , I *),

donde I * es la relación inversa de I .

En un plano proyectivo, un enunciado que implica puntos, líneas e incidencia entre ellos, que se obtiene a partir de otro enunciado de este tipo intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se denomina enunciado dual plano del primero. El enunciado dual plano de "Dos puntos están en una única línea" es "Dos líneas se encuentran en un único punto". La formación del dual plano de un enunciado se conoce como dualización del enunciado.

Si una proposición es verdadera en un plano proyectivo C , entonces el plano dual de esa proposición debe ser verdadero en el plano dual C *. Esto se deduce porque al dualizar cada proposición en la prueba "en C " se obtiene una proposición de la prueba "en C *".

En el plano proyectivo C se puede demostrar que existen cuatro rectas, de las cuales no hay tres concurrentes. Al dualizar este teorema y los dos primeros axiomas en la definición de un plano proyectivo se demuestra que la estructura dual del plano C * es también un plano proyectivo, llamado plano dual de C.

Si C y C * son isomorfos, entonces C se llama autodual . Los planos proyectivos PG(2,  K ) para cualquier anillo de división K son autoduales. Sin embargo, existen planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos de Hall, y algunos que sí lo son, como los planos de Hughes .

El principio de dualidad plana dice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C.

Correlaciones

Una dualidad es una función de un plano proyectivo C = ( P , L , I ) a su plano dual C * = ( L , P , I *) (ver arriba) que preserva la incidencia. Es decir, una dualidad σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos ( P ^σ = L y L ^σ = P ) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotada por Q I m ) entonces Q ^σ I * m ^σ ⇔ m ^σ I Q ^σ . Una dualidad que es un isomorfismo se llama correlación . ^[11] Si existe una correlación, entonces el plano proyectivo C es autodual.

En el caso especial de que el plano proyectivo sea del tipo PG(2,  K ) , siendo K un anillo de división, una dualidad se denomina reciprocidad . ^[12] Estos planos son siempre autoduales. Por el teorema fundamental de la geometría proyectiva una reciprocidad es la composición de una función automorfa de K y una homografía . Si el automorfismo involucrado es la identidad, entonces la reciprocidad se denomina correlación proyectiva .

Una correlación de orden dos (una involución ) se denomina polaridad . Si una correlación φ no es una polaridad, entonces φ ² es una colineación no trivial.

Planos proyectivos finitos

Gráfica del plano proyectivo de orden 7, que tiene 57 puntos, 57 líneas, 8 puntos en cada línea y 8 líneas que pasan por cada punto, donde cada punto se denota por un rectángulo redondeado y cada línea por una combinación de letra y número. Solo se dibujan líneas con las letras A y H. En el juego Dobble o Spot It!, se eliminan dos puntos. En el archivo SVG, pase el cursor sobre una línea para resaltarla.

Se puede demostrar que un plano proyectivo tiene el mismo número de rectas que de puntos (infinitos o finitos). Por lo tanto, para cada plano proyectivo finito existe un entero N ≥ 2 tal que el plano tiene

N ² + N + 1 puntos,

N ² + N + 1 líneas,

N + 1 puntos en cada línea, y

N + 1 líneas que pasan por cada punto.

El número N se llama orden del plano proyectivo.

El plano proyectivo de orden 2 se denomina plano de Fano . Véase también el artículo sobre geometría finita .

Utilizando la construcción del espacio vectorial con cuerpos finitos existe un plano proyectivo de orden N = p ⁿ , para cada potencia prima p ⁿ . De hecho, para todos los planos proyectivos finitos conocidos, el orden N es una potencia prima.

La existencia de planos proyectivos finitos de otros órdenes es una cuestión abierta. La única restricción general conocida sobre el orden es el teorema de Bruck-Ryser-Chowla que establece que si el orden N es congruente con 1 o 2 módulo 4, debe ser la suma de dos cuadrados. Esto descarta N = 6. El siguiente caso N = 10 ha sido descartado mediante cálculos informáticos masivos. No se sabe nada más; en particular, la cuestión de si existe un plano proyectivo finito de orden N = 12 sigue abierta.

Otro problema abierto desde hace mucho tiempo es si existen planos proyectivos finitos de orden primo que no sean planos de campo finitos (equivalentemente, si existe un plano proyectivo no desarguesiano de orden primo).

Un plano proyectivo de orden N es un sistema Steiner S(2, N + 1, N ² + N + 1) (ver sistema Steiner ). A la inversa, se puede demostrar que todos los sistemas Steiner de esta forma ( λ = 2 ) son planos proyectivos.

El número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden N es como máximo N − 1 . N − 1 existen si y sólo si hay un plano proyectivo de orden N .

Aunque la clasificación de todos los planos proyectivos está lejos de ser completa, se conocen resultados para órdenes pequeños:

• 2 : todos isomorfos a PG(2, 2)
• 3 : todos isomorfos a PG(2, 3)
• 4 : todos isomorfos a PG(2, 4)
• 5 : todos isomorfos a PG(2, 5)
• 6 : imposible como el orden de un plano proyectivo, demostrado por Tarry , quien demostró que el problema de los treinta y seis oficiales de Euler no tiene solución. Sin embargo, la conexión entre estos problemas no se conoció hasta que Bose la demostró en 1938. ^[13]
• 7 : todos isomorfos a PG(2, 7)
• 8 : todos isomorfos a PG(2, 8)
• 9: PG(2, 9) y tres planos no desarguesianos diferentes (no isomorfos) : un plano de Hughes , un plano de Hall y el dual de este plano de Hall. Todos ellos se describen en (Room y Kirkpatrick 1971).
• 10 : imposible como orden de un plano proyectivo, demostrado mediante un cálculo informático pesado. ^[14]
• 11: al menos PG(2, 11), otros no se conocen pero son posibles.
• 12 : Se conjetura que es imposible como orden de un plano proyectivo.

Planos proyectivos en espacios proyectivos de dimensiones superiores

Los planos proyectivos pueden considerarse como geometrías proyectivas de dimensión "geométrica" ​​dos. ^[15] Las geometrías proyectivas de dimensión superior pueden definirse en términos de relaciones de incidencia de una manera análoga a la definición de un plano proyectivo. Estas resultan ser "más dóciles" que los planos proyectivos ya que los grados de libertad adicionales permiten demostrar geométricamente el teorema de Desargues en la geometría de dimensión superior. Esto significa que el "anillo" de coordenadas asociado a la geometría debe ser un anillo de división (skewfield) K , y la geometría proyectiva es isomorfa a la construida a partir del espacio vectorial K ^{d +1} , es decir PG( d ,  K ). Como en la construcción dada anteriormente, los puntos del espacio proyectivo de dimensión d PG( d ,  K ) son las líneas que pasan por el origen en K ^{d +1} y una línea en PG( d ,  K ) corresponde a un plano que pasa por el origen en K ^{d +1} . De hecho, cada objeto i -dimensional en PG( d ,  K ), con i < d , es un subespacio vectorial (algebraico) ( i + 1) -dimensional de K ^{d +1} ("pasa por el origen"). Los espacios proyectivos a su vez se generalizan a los espacios de Grassmann .

Se puede demostrar que si el teorema de Desargues se cumple en un espacio proyectivo de dimensión mayor que dos, entonces también debe cumplirse en todos los planos que están contenidos en ese espacio. Dado que hay planos proyectivos en los que el teorema de Desargues falla ( planos no desarguesianos ), estos planos no pueden estar incluidos en un espacio proyectivo de dimensión superior. Solo los planos de la construcción del espacio vectorial PG(2,  K ) pueden aparecer en espacios proyectivos de dimensión superior. Algunas disciplinas en matemáticas restringen el significado de plano proyectivo solo a este tipo de plano proyectivo ya que de lo contrario las afirmaciones generales sobre espacios proyectivos siempre tendrían que mencionar las excepciones cuando la dimensión geométrica es dos. ^[16]

Véase también

• Diseño de bloques : una generalización de un plano proyectivo finito.
• Diseño combinatorio
• Conjunto de diferencias
• Estructura de incidencia
• Polígono generalizado
• Geometría proyectiva
• Plano no desarguesiano
• Plano proyectivo liso
• Transversales en planos proyectivos finitos.
• Plano proyectivo truncado : un plano proyectivo al que se le ha eliminado un vértice.
• Dimensión VC de un plano proyectivo finito

Notas

1. Las expresiones "plano proyectivo", "plano afín extendido" y "plano euclidiano extendido" pueden distinguirse según que la línea en el infinito se considere especial (en el llamado plano "proyectivo" no lo es, en los planos "extendido" sí lo es) y según que la métrica euclidiana se considere significativa (en los planos proyectivo y afín no lo es). Lo mismo ocurre con los espacios proyectivos o extendidos de otras dimensiones.
2. En una versión más formal de la definición se señala que los términos punto, línea e incidencia son nociones primitivas (términos indefinidos). Este punto de vista formal es necesario para comprender el concepto de dualidad cuando se aplica a planos proyectivos.
3. Baez (2002), pág. 165.
4. El plano proyectivo real aparece 37 veces en el índice de Bredon (1993), por ejemplo.
5. Los planos proyectivos sobre campos se utilizan en Shafarevich (1994), por ejemplo.
6. Véase, por ejemplo, Weintraub (1978) y Gorodkov (2019)
7. David Hilbert demostró la parte "sólo si" más difícil de este resultado.
8. Baez (2002), pág. 167.
9. A los geómetras les suele gustar escribir las funciones en una notación exponencial, por lo que P ^σ significa σ ( P ) en una notación más convencional.
10. Los puntos se ven como vectores fila, por lo que para que la multiplicación de matrices funcione en esta expresión, el punto x debe escribirse como un vector columna.
11. Dembowski (1968), pág. 151.
12. Casse (2006), pág. 94.
13. Lam (1991), p. 306. "En 1938, Bose explicó por qué no existe un plano proyectivo de orden 6. Relacionó la existencia de un plano proyectivo finito de orden n con la existencia de un cuadrado hipergrecolatino".
14. Lam (1991).
15. Existen nociones de dimensión que compiten entre sí en geometría y álgebra (espacios vectoriales). En geometría, las líneas son unidimensionales, los planos son bidimensionales, los sólidos son tridimensionales, etc. Sin embargo, en un espacio vectorial, la dimensión es el número de vectores en una base. Cuando las geometrías se construyen a partir de espacios vectoriales, estas dos nociones de dimensión pueden generar confusión, por lo que a menudo se da el caso de que el concepto geométrico se denomina dimensión geométrica o proyectiva y el otro es dimensión algebraica o del espacio vectorial . Los dos conceptos están relacionados numéricamente por: dimensión algebraica = dimensión geométrica + 1.
16. Bruck & Bose (1964), Introducción. "Se podría decir, con cierta justicia, que la geometría proyectiva, en lo que respecta a la investigación actual, se ha dividido en dos campos bastante separados. Por un lado, el investigador de los fundamentos de la geometría tiende a considerar los espacios desarguesianos como completamente conocidos. Dado que los únicos espacios no desarguesianos posibles son los planos, su atención se limita a la teoría de los planos proyectivos, especialmente los planos no desarguesianos. Por otro lado, están todos aquellos investigadores -y especialmente, los geómetras algebraicos- que no están dispuestos a limitarse al espacio bidimensional y no están interesados ​​en permitir que los planos no desarguesianos asuman un papel excepcional en sus teoremas. Para este último grupo de investigadores, no hay espacios proyectivos excepto los espacios desarguesianos".

Referencias

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• Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), "Completando la prueba de Segre del pequeño teorema de Wedderburn" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 47 (3): 483–492, doi :10.1112/blms/bdv021, S2CID  123036578
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Enlaces externos

• G. Eric Moorhouse, Planos proyectivos de pequeño orden (2003)
• Ch. Weibel: Estudio de los planos no desarguesianos
• Weisstein, Eric W. , "Plano proyectivo", MathWorld
• "Plano proyectivo" en PlanetMath .