stringtranslate.com

Plano no desarguesiano

En matemáticas, un plano no desarguesiano es un plano proyectivo que no satisface el teorema de Desargues (llamado así por Girard Desargues ), o en otras palabras, un plano que no es un plano desarguesiano . El teorema de Desargues es cierto en todos los espacios proyectivos de dimensión distinta de 2; [1] en otras palabras, los únicos espacios proyectivos de dimensión distinta de 2 son las geometrías proyectivas clásicas sobre un cuerpo (o anillo de división ). Sin embargo, David Hilbert encontró que algunos planos proyectivos no lo satisfacen. [2] [3] El estado actual del conocimiento de estos ejemplos no es completo. [4]

Ejemplos

Existen muchos ejemplos de planos no desarguesianos finitos e infinitos. Algunos de los ejemplos conocidos de planos no desarguesianos infinitos incluyen:

Respecto a los planos no desarguesianos finitos, todo plano proyectivo de orden como máximo 8 es desarguesiano, pero hay tres ejemplos no desarguesianos de orden 9, cada uno con 91 puntos y 91 líneas. [5] Son:

Se conocen muchas otras construcciones de planos no desarguesianos finitos e infinitos; véase, por ejemplo, Dembowski (1968). Todas las construcciones conocidas de planos no desarguesianos finitos producen planos cuyo orden es una potencia prima propia, es decir, un entero de la forma p e , donde p es un primo y e es un entero mayor que 1.

Clasificación

Hanfried Lenz dio un esquema de clasificación para planos proyectivos en 1954, [6] que fue refinado por Adriano Barlotti en 1957. [7] Este esquema de clasificación se basa en los tipos de transitividad punto-línea permitidos por el grupo de colineación del plano y se conoce como la clasificación de Lenz-Barlotti de planos proyectivos . La lista de 53 tipos se da en Dembowski (1968, pp. 124-125) y una tabla de los resultados de existencia conocidos entonces (tanto para grupos de colineación como para planos que tienen tal grupo de colineación) tanto en los casos finitos como infinitos aparece en la página 126. A partir de 2007, "36 de ellos existen como grupos finitos. Entre 7 y 12 existen como planos proyectivos finitos, y 14 o 15 existen como planos proyectivos infinitos". [4]

Existen otros esquemas de clasificación. Uno de los más simples se basa en tipos especiales de anillos ternarios planos (PTR) que se pueden utilizar para coordinar el plano proyectivo. Estos tipos son campos , campos oblicuos , anillos de división alternativa , semicampos , campos cercanos , campos cercanos rectos , cuasicampos y cuasicampos rectos . [8]

Cónicas y óvalos

En un plano proyectivo desarguesiano, una cónica puede definirse de varias maneras diferentes y se puede demostrar que es equivalente. En planos no desarguesianos, estas pruebas ya no son válidas y las diferentes definiciones pueden dar lugar a objetos no equivalentes. [9] Theodore G. Ostrom había sugerido el nombre de conicoide para estas figuras de tipo cónico, pero no proporcionó una definición formal y el término no parece ser de uso generalizado. [10]

Hay varias formas de definir cónicas en planos desarguesianos:

  1. El conjunto de puntos absolutos de una polaridad se denomina cónica de von Staudt . Si el plano se define sobre un cuerpo de característica dos, sólo se obtienen cónicas degeneradas .
  2. El conjunto de puntos de intersección de las líneas correspondientes de dos lápices que están relacionados proyectivamente, pero no en perspectiva, se conoce como cónica de Steiner . Si los lápices están relacionados en perspectiva, la cónica es degenerada.
  3. El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación homogénea irreducible de grado dos.

Además, en un plano desarguesiano finito:

  2. Un conjunto de q + 1 puntos, no tres colineales en PG(2, q ) , se denomina óvalo . Si q es impar, por el teorema de Segre , un óvalo en PG(2, q ) es una cónica, en el sentido 3 anterior.
  3. Una cónica de Ostrom se basa en una generalización de conjuntos armónicos.

Artzy ha dado un ejemplo de una cónica de Steiner en un plano de Moufang que no es una cónica de von Staudt. [11] Garner da un ejemplo de una cónica de von Staudt que no es una cónica de Ostrom en un plano de semicampo finito. [9]

Notas

  1. ^ El teorema de Desargues es vacuamente verdadero en la dimensión 1; sólo es problemático en la dimensión 2.
  2. ^ Hilbert, David (1950) [publicado por primera vez en 1902], Fundamentos de la geometría [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , traducción al inglés de EJ Townsend (2.ª ed.), La Salle, IL: Open Court Publishing, pág. 48
  3. ^ Hilbert, David (1990) [1971], Fundamentos de geometría [Grundlagen der Geometrie] , traducido por Leo Unger de la décima edición alemana (segunda edición en inglés), La Salle, IL: Open Court Publishing, pág. 74, ISBN 0-87548-164-7Según la nota a pie de página de esta página, el "primer" ejemplo original que aparece en ediciones anteriores fue reemplazado por el ejemplo más simple de Moulton en ediciones posteriores.
  4. ^ desde Weibel 2007, pág. 1296
  5. ^ Véase Room y Kirkpatrick 1971 para obtener descripciones de los cuatro planos de orden 9.
  6. ^ Lenz, Hanfried (1954). "Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 57 : 20–31. SEÑOR  0061844.
  7. ^ Barlotti, Adriano (1957). "Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo". Cápsula. Naciones Unidas. Estera. Italiano . 12 : 212–226. SEÑOR  0089435.
  8. ^ Colbourn & Dinitz 2007, pág. 723 artículo sobre geometría finita de Leo Storme.
  9. ^ ab Garner, Cyril W L. (1979), "Cónicas en planos proyectivos finitos", Journal of Geometry , 12 (2): 132–138, doi :10.1007/bf01918221, MR  0525253
  10. ^ Ostrom, TG (1981), "Conicoides: figuras de tipo cónico en planos no papianos", en Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometría: el punto de vista de von Staudt , D. Reidel, págs. 175-196, ISBN 90-277-1283-2, Sr.  0621316
  11. ^ Artzy, R. (1971), "La cónica y = x 2 en los planos de Moufang", Aequationes Mathematicae , 6 : 30–35, doi :10.1007/bf01833234

Referencias