Anillo ternario plano

Construction in projective geometry

En matemáticas , una estructura algebraica que consta de un conjunto no vacío y una aplicación ternaria puede denominarse sistema ternario . Un anillo ternario plano (PTR) o campo ternario es un tipo especial de sistema ternario utilizado por Marshall Hall ^[1] para construir planos proyectivos mediante coordenadas. Un anillo ternario plano no es un anillo en el sentido tradicional, pero cualquier campo da un anillo ternario plano donde la operación está definida por . Por tanto, podemos pensar en un anillo ternario plano como una generalización de un campo donde la operación ternaria reemplaza tanto la suma como la multiplicación. ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(a,b,c)=ab+c}$

Existe una amplia variación en la terminología. Los anillos ternarios planos o campos ternarios como se definen aquí han recibido otros nombres en la literatura, y el término "anillo ternario plano" puede significar una variante del sistema definido aquí. El término "anillo ternario" a menudo significa un anillo ternario plano, pero también puede significar simplemente un sistema ternario.

Definición

Un anillo ternario plano es una estructura donde hay un conjunto que contiene al menos dos elementos distintos, llamados 0 y 1, y es un mapeo que satisface estos cinco axiomas: ^[2] ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T\colon R^{3}\to R\,}$

1. ${\displaystyle T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad \forall a,b\in R}$;
2. ${\displaystyle T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a\in R}$;
3. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, existe un único tal que : ; ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle T(x,a,b)=T(x,c,d)\,}$
4. ${\displaystyle \forall a,b,c\in R}$, existe un único , tal que ; y ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle T(a,b,x)=c\,}$
5. ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R,a\neq c}$, las ecuaciones tienen solución única . ${\displaystyle T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\,}$ ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$

Cuando es finito, los axiomas tercero y quinto son equivalentes en presencia del cuarto. ^[3] ${\displaystyle R}$

No se puede encontrar ningún otro par (0', 1') que todavía satisfaga los dos primeros axiomas. ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle T}$

Operaciones binarias

Suma

Definir . ^[4] La estructura es un bucle con elemento de identidad 0. ${\displaystyle a\oplus b=T(a,1,b)}$ ${\displaystyle (R,\oplus )}$

Multiplicación

Definir . El conjunto está cerrado bajo esta multiplicación. La estructura también es un bucle, con el elemento de identidad 1. ${\displaystyle a\otimes b=T(a,b,0)}$ ${\displaystyle R_{0}=R\setminus \{0\}\,}$ ${\displaystyle (R_{0},\otimes )}$

PTR lineal

Un anillo ternario plano se dice que es lineal si . Por ejemplo, el anillo ternario plano asociado a un cuasicampo es (por construcción) lineal. ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c,\quad \forall a,b,c\in R}$

Conexión con planos proyectivos.

Coordenadas de un plano proyectivo para establecer un anillo ternario plano.

Dado un anillo ternario plano , se puede construir un plano proyectivo con el conjunto de puntos P y el conjunto de líneas L de la siguiente manera: ^{[5] [6]} (Tenga en cuenta que es un símbolo adicional que no está en ). ${\displaystyle (R,T)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle R}$

Dejar

• ${\displaystyle P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a\in R\}\cup \{(\infty )\}}$, y
• ${\displaystyle L=\{[a,b]|a,b\in R\}\cup \{[a]|a\in R\}\cup \{[\infty ]\}}$.

Luego defina, , la relación de incidencia de esta manera: ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in R}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle ((a,b),[c,d])\in I\Longleftrightarrow T(a,c,d)=b}$

${\displaystyle ((a,b),[c])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a,b),[\infty ])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[c,d])\in I\Longleftrightarrow a=c}$

${\displaystyle ((a),[c])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[\infty ])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[c,d])\notin I}$

${\displaystyle ((\infty ),[a])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[\infty ])\in I}$

Cada plano proyectivo puede construirse de esta manera, comenzando con un anillo ternario plano apropiado. Sin embargo, dos anillos ternarios planos no isomórficos pueden conducir a la construcción de planos proyectivos isomórficos.

A la inversa, dado cualquier plano proyectivo π, al elegir cuatro puntos, denominados o , e , u y v , de los cuales no hay tres en la misma línea, se pueden introducir coordenadas en π de modo que a estos puntos especiales se les den las coordenadas: o = (0,0), e = (1,1), v = ( ) y u = (0). ^[7] La ​​operación ternaria ahora se define en los símbolos de coordenadas (excepto ) por y = T( x , a , b ) si y sólo si el punto ( x , y ) se encuentra en la recta que une ( a ) con (0 , b ). Los axiomas que definen un plano proyectivo se utilizan para demostrar que esto da un anillo ternario plano. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

La linealidad del PTR es equivalente a una condición geométrica que se mantiene en el plano proyectivo asociado. ^[8]

Intuición

La conexión entre los anillos ternarios planos (PTR) y las geometrías bidimensionales, específicamente las geometrías proyectivas y afines , se describe mejor examinando primero el caso afín. En geometría afín, los puntos en un plano se describen usando coordenadas cartesianas , un método que es aplicable incluso en geometrías no desarguesianas ; allí, siempre se puede demostrar que los componentes de coordenadas obedecen a la estructura de un PTR. Por el contrario, las coordenadas homogéneas , normalmente utilizadas en geometría proyectiva, no están disponibles en contextos no desarguesianos . Por tanto, la forma analítica más sencilla de construir un plano proyectivo es comenzar con un plano afín y extenderlo añadiendo una "línea en el infinito"; esto pasa por alto las coordenadas homogéneas.

En un plano afín, cuando el plano es desarguesiano, las rectas se pueden representar en forma pendiente-intersección . Esta representación se extiende a planos no desarguesianos mediante la operación ternaria de un PTR, permitiendo expresar una línea como . Las rectas paralelas al eje y se expresan por . ${\displaystyle y=mx+c}$ ${\displaystyle y=T(x,m,c)}$ ${\displaystyle x=c}$

Ahora mostramos cómo derivar la representación analítica de un plano proyectivo general dada al comienzo de esta sección. Para ello pasamos del plano afín, representado como , a una representación del plano proyectivo , añadiendo una recta en el infinito. Formalmente, el plano proyectivo se describe como , donde representa un plano afín en coordenadas cartesianas e incluye todos los puntos finitos, mientras que denota la línea en el infinito. De manera similar, se expresa como . Aquí hay una línea afín a la que le damos su propio sistema de coordenadas cartesianas y consta de un solo punto que no se encuentra en esa línea afín, que representamos usando el símbolo . ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{2}:=R^{2}\cup R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{1}:=R^{1}\cup R\mathbb {P} ^{0}}$ ${\displaystyle R^{1}}$ ${\displaystyle R\mathbb {P} ^{0}}$ ${\displaystyle \infty }$

Estructuras algebraicas relacionadas

Los PTR que satisfacen condiciones algebraicas adicionales reciben otros nombres. Estos nombres no se aplican uniformemente en la literatura. La siguiente lista de nombres y propiedades está tomada de Dembowski (1968, p. 129).

Un PTR lineal cuyo bucle aditivo es asociativo (y por tanto un grupo ), se llama grupo cartesiano . En un grupo cartesiano, las asignaciones

${\displaystyle x\longrightarrow -x\otimes a+x\otimes b}$, y ${\displaystyle x\longrightarrow a\otimes x-b\otimes x}$

deben ser permutaciones siempre que . Dado que los grupos cartesianos son grupos de suma, volvemos a utilizar un "+" simple para la operación aditiva. ${\displaystyle a\neq b}$

Un cuasicampo es un grupo cartesiano que satisface la ley distributiva correcta: . La suma en cualquier cuasicampo es conmutativa . ${\displaystyle (x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z}$

Un semicampo es un cuasicampo que también satisface la ley distributiva por la izquierda: ${\displaystyle x\otimes (y+z)=x\otimes y+x\otimes z.}$

Un campo cercano plano es un cuasicampo cuyo bucle multiplicativo es asociativo (y por tanto un grupo). No todos los campos cercanos son planos.

Notas

1. Salón 1943
2. Hughes y Piper 1973, pág. 113, Thm. 5.1.
3. Hughes y Piper 1973, pág. 118, Teorema 5.4
4. En la literatura existen dos versiones de esta definición. Esta es la forma utilizada por Hall (1959, p. 355), Albert & Sandler (1968, p. 50) y Dembowski (1968, p. 128), mientras que la utilizada por Hughes & Piper (1973, p. 117) , Pickert (1975, p. 38) y Stevenson (1972, p. 274). La diferencia proviene de las formas alternativas en que estos autores coordinan el avión. ${\displaystyle a\oplus b=T(1,a,b)}$
5. RH Bruck, Avances recientes en los fundamentos de la geometría plana euclidiana , The American Mathematical Monthly, vol. 66, págs. 2-17 (1955) Apéndice I.
6. Hall 1943, p.247 Teorema 5.4
7. Esto se puede hacer de varias maneras. Una breve descripción del método utilizado por Hall (1943) se puede encontrar en Dembowski (1968, p. 127).
8. Dembowski 1968, pag. 129

Referencias

• Alberto, A. Adrián; Sandler, Rubén (1968). Introducción a los planos proyectivos finitos . Nueva York: Holt, Rinehart y Winston.
• Artzy, Rafael (2008) [1965], "Capítulo 4 Geometría plana axiomática", Geometría lineal , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
• Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998), "Grupoides asociados con el anillo ternario de un plano proyectivo", Journal of Geometry , 61 (1–2): 17–31, doi :10.1007/bf01237490, S2CID  123135402
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, SEÑOR  0233275
• Grari, A. (2004), "Una condición necesaria y suficiente para que dos anillos ternarios planos induzcan planos proyectivos isomórficos", Arch. Matemáticas. (Basilea) , 83 (2): 183–192, doi :10.1007/s00013-003-4580-9, S2CID  122203312
• Hall, Marshall, Jr. (1943), "Planos proyectivos", Transactions of the American Mathematical Society , 54 (2), American Mathematical Society: 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990331, SEÑOR  0008892{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Hall, Marshall Jr. (1959), La teoría de los grupos , Nueva York: The MacMillan Company, MR  0103215
• Hughes, DR (1955), "Bucles aditivos y multiplicativos de anillos ternarios planos", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 6 (6): 973–980, doi : 10.1090/s0002-9939-1955-0073568-8 , SEÑOR  0073568
• Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Planos proyectivos , Textos de posgrado en matemáticas (6), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0387900446, señor  0333959
• Martin, GE (1967), "Planos proyectivos y anillos ternarios isotópicos", The American Mathematical Monthly , 74 (10): 1185–1195, doi :10.2307/2315659, hdl : 10338.dmlcz/101204 , JSTOR  2315659, MR  0223972
• Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
• Stevenson, Frederick (1972), Planos proyectivos , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 071670443-9