Álgebra alternativa

Álgebra donde x(xy)=(xx)y y (yx)x=y(xx)

En álgebra abstracta , un álgebra alternativa es un álgebra en la que la multiplicación no necesita ser asociativa , solo alternativa . Es decir, se debe tener

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

para todos los x e y en el álgebra.

Toda álgebra asociativa es obviamente alternativa, pero también lo son algunas álgebras estrictamente no asociativas, como los octoniones .

El asociador

Las álgebras alternativas se denominan así porque son las álgebras para las que el asociador es alternante . El asociador es una función trilineal dada por

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

Por definición, una función multilineal es alternante si se anula siempre que dos de sus argumentos sean iguales. Las identidades alternativas izquierda y derecha para un álgebra son equivalentes a ^[1]

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0.}$

Ambas identidades juntas implican que

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]=[x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

para todos y . Esto es equivalente a la identidad flexible ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

Por lo tanto, el asociador de un álgebra alternativa es alterno. A la inversa , cualquier álgebra cuyo asociador sea alterno es claramente alternativa. Por simetría, cualquier álgebra que satisfaga dos de los siguientes supuestos:

• Identidad alternativa izquierda: ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• Identidad alternativa correcta: ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• Identidad flexible: ${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

es alternativa y por lo tanto satisface las tres identidades.

Un asociador alterno es siempre totalmente antisimétrico. Es decir,

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

para cualquier permutación . Lo contrario se cumple siempre que la característica del campo base no sea 2. ${\displaystyle \sigma }$

Ejemplos

• Toda álgebra asociativa es alternativa.
• Los octoniones forman un álgebra alternativa no asociativa, un álgebra de división normada de dimensión 8 sobre los números reales . ^[3]
• De manera más general, cualquier álgebra de octoniones es alternativa.

No-ejemplos

• Los sedeniones y todas las álgebras de Cayley-Dickson superiores pierden alternatividad.

Propiedades

El teorema de Artin establece que en un álgebra alternativa, la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa . ^[4] Por el contrario, cualquier álgebra para la que esto sea cierto es claramente alternativa. De ello se deduce que las expresiones que involucran solo dos variables se pueden escribir de manera inequívoca sin paréntesis en un álgebra alternativa. Una generalización del teorema de Artin establece que siempre que tres elementos en un álgebra alternativa se asocien (es decir, ), la subálgebra generada por esos elementos es asociativa. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle [x,y,z]=0}$

Un corolario del teorema de Artin es que las álgebras alternativas son asociativas en potencia , es decir, la subálgebra generada por un solo elemento es asociativa. ^[5] Lo inverso no tiene por qué ser cierto: los sedeniones son asociativos en potencia pero no alternativos.

Las identidades de Moufang

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

se cumple en cualquier álgebra alternativa. ^[2]

En un álgebra alternativa unitaria, los inversos multiplicativos son únicos siempre que existan. Además, para cualquier elemento invertible y todo lo que se tiene ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

Esto equivale a decir que el asociador desaparece para todos los y . ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Si y son invertibles entonces también es invertible con inversa . Por lo tanto, el conjunto de todos los elementos invertibles está cerrado bajo la multiplicación y forma un bucle de Moufang . Este bucle de unidades en un anillo alternativo o álgebra es análogo al grupo de unidades en un anillo asociativo o álgebra. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$

El teorema de Kleinfeld establece que cualquier anillo alternativo no asociativo simple es un álgebra de octoniones generalizada sobre su centro . ^[6] La teoría de la estructura de los anillos alternativos se presenta en el libro Rings That Are Nearly Associative de Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov y Shirshov. ^[7]

Aparición

El plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativo es un plano Moufang .

Toda álgebra de composición es un álgebra alternativa, como lo demostró Guy Roos en 2008: ^[8] Un álgebra de composición A sobre un cuerpo K tiene una norma n que es un homomorfismo multiplicativo : conecta ( A , ×) y ( K , ×). ${\displaystyle n(a\times b)=n(a)\times n(b)}$

Define la forma ( _ : _ ): A × A → K por Entonces la traza de a está dada por ( a :1) y el conjugado por a * = ( a :1)e – a donde e es el elemento base para 1. Una serie de ejercicios demuestra que un álgebra de composición es siempre un álgebra alternativa. ^[9] ${\displaystyle (a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b).}$

Véase también

• Álgebra sobre un campo
• Álgebra de Maltsev
• Anillo Zorn

Referencias

1. Schafer (1995) pág. 27
2. Schafer (1995) pág. 28
3. Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9.Zbl 1098.17001  .
4. Schafer (1995) pág. 29
5. Schafer (1995) pág. 30
6. Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (1982) pág. 151
7. Zhevlakov, Slinko, Shestakov, Shirshov (1982)
8. Guy Roos (2008) "Dominios simétricos excepcionales", §1: Álgebras de Cayley, en Simetrías en análisis complejo de Bruce Gilligan y Guy Roos, volumen 468 de Contemporary Mathematics , American Mathematical Society
9. Álgebra de composición asociativa/Paradigma trascendental#Tratamiento categórico en Wikilibros

• Schafer, Richard D. (1995). Introducción a las álgebras no asociativas . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5.Zbl 0145.25601  .
• Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Anillos que son casi asociativos . Academic Press . ISBN 0-12-779850-1.Sr .  0518614. Zbl  0487.17001.

Enlaces externos

• Zhevlakov, KA (2001) [1994], "Anillos alternativos y álgebras", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press