Tipo de plano proyectivo
En geometría , un plano de Moufang , llamado así por Ruth Moufang , es un tipo de plano proyectivo , más específicamente un tipo especial de plano de traslación . Un plano de traslación es un plano proyectivo que tiene una línea de traslación , es decir, una línea con la propiedad de que el grupo de automorfismos que fija cada punto de la línea actúa transitivamente sobre los puntos del plano no sobre la línea. [1] Un plano de traslación es Moufang si cada línea del plano es una línea de traslación. [2]
Caracterizaciones
Un plano de Moufang también puede describirse como un plano proyectivo en el que se cumple el pequeño teorema de Desargues . [3] Este teorema establece que una forma restringida del teorema de Desargues se cumple para cada línea en el plano. [4]
Por ejemplo, cada plano desarguesiano es un plano de Moufang. [5]
En términos algebraicos, un plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativa es un plano de Moufang, [6] y esto da una correspondencia 1:1 entre las clases de isomorfismo de los anillos de división alternativa y de los planos de Moufang.
Como consecuencia del teorema algebraico de Artin-Zorn , de que cada anillo de división alternativo finito es un cuerpo, cada plano de Moufang finito es desarguesiano, pero algunos planos de Moufang infinitos son planos no desarguesianos . En particular, el plano de Cayley , un plano proyectivo de Moufang infinito sobre los octoniones , es uno de ellos porque los octoniones no forman un anillo de división. [7]
Propiedades
Las siguientes condiciones en un plano proyectivo P son equivalentes: [8]
- P es un avión Moufang.
- El grupo de automorfismos que fijan todos los puntos de una línea dada actúa transitivamente sobre los puntos que no están en la línea.
- Algunos anillos ternarios del plano son anillos de división alternativos.
- P es isomorfo al plano proyectivo sobre un anillo de división alternativo.
Además, en un avión Moufang:
- El grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre los cuadrángulos. [9] [10]
- Dos anillos ternarios cualesquiera del plano son isomorfos.
Véase también
Notas
- ^ Es decir, el grupo actúa transitivamente sobre el plano afín que se forma al retirar esta línea y todos sus puntos del plano proyectivo.
- ^ Hughes y Piper 1973, pág. 101
- ^ Pickert 1975, pág. 186
- ^ Esta versión restringida establece que si dos triángulos están en perspectiva desde un punto en una línea dada, y dos pares de lados correspondientes también se encuentran en esta línea, entonces el tercer par de lados correspondientes también se encuentran en la línea.
- ^ Hughes y Piper 1973, pág. 153
- ^ Hughes y Piper 1973, pág. 139
- ^ Weibel, Charles (2007), "Estudio de planos no desarguesianos", Avisos de la AMS , 54 (10): 1294–1303
- ^ H. Klein Planos de Moufang
- ^ Stevenson 1972, p. 392 Stevenson se refiere a los aviones Moufang como aviones alternativos .
- ^ Si se reemplaza lo transitivo por lo transitivo bruscamente, el plano es papiano.
Referencias
- Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Planos proyectivos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen (edición Zweite Auflage), Springer-Verlag, ISBN 0-387-07280-2
- Stevenson, Frederick W. (1972), Planos proyectivos , WH Freeman & Co., ISBN 0-7167-0443-9
Lectura adicional
