Superficie del niño

Superficie compacta autointersecante, una inmersión del plano proyectivo real

Una animación de la superficie del niño.

En geometría , la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio tridimensional descubierta por Werner Boy en 1901. La descubrió por encargo de David Hilbert para demostrar que el plano proyectivo no podía sumergirse en el espacio tridimensional .

La superficie de Boy fue parametrizada explícitamente por primera vez por Bernard Morin en 1978. ^[1] Otra parametrización fue descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant . ^[2] La superficie de Boy es una de las dos inmersiones posibles del plano proyectivo real que tienen un solo punto triple. ^[3]

A diferencia de la superficie romana y del casquete transversal , no tiene más singularidades que autointersecciones (es decir, no tiene puntos de estrangulamiento ).

Parametrización

Una vista de la parametrización de Kusner-Bryant de la superficie del niño

La superficie de Boy se puede parametrizar de varias maneras. Una parametrización, descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant ^[4] , es la siguiente: dado un número complejo w cuya magnitud es menor o igual a uno ( ), sea ${\displaystyle \|w\|\leq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$

y luego establecer

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}$

Luego obtenemos las coordenadas cartesianas x , y y z de un punto en la superficie de Boy.

Si se realiza una inversión de esta parametrización centrada en el punto triple, se obtiene una superficie mínima completa con tres extremos (así es como se descubrió naturalmente esta parametrización). Esto implica que la parametrización de Bryant-Kusner de las superficies de Boy es "óptima" en el sentido de que es la inmersión "menos doblada" de un plano proyectivo en el espacio tridimensional .

Propiedad de parametrización de Bryant-Kusner

Si w se reemplaza por el recíproco negativo de su conjugado complejo , entonces las funciones g ₁ , g ₂ y g ₃ de w no cambian. ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$

Reemplazando w en términos de sus partes reales e imaginarias w = s + it , y expandiendo la parametrización resultante, se puede obtener una parametrización de la superficie de Boy en términos de funciones racionales de s y t . Esto demuestra que la superficie de Boy no es sólo una superficie algebraica , sino incluso una superficie racional . La observación del párrafo precedente muestra que la fibra genérica de esta parametrización consta de dos puntos (es decir, que casi cada punto de la superficie de Boy puede obtenerse mediante dos valores de parámetros).

Relación con el plano proyectivo real

Sea la parametrización de Bryant-Kusner de la superficie de Boy. Entonces ${\displaystyle P(w)=(x(w),y(w),z(w))}$

${\displaystyle P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).}$

Esto explica la condición del parámetro: si entonces Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas para En este caso, uno tiene Esto significa que, si el punto de la superficie de Boy se obtiene a partir de dos valores de parámetros: En otras palabras, la superficie de Boy ha sido parametrizada por un disco tal que pares de puntos diametralmente opuestos en el perímetro del disco son equivalentes. Esto muestra que la superficie de Boy es la imagen del plano proyectivo real , RP ² por una función suave . Es decir, la parametrización de la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio euclidiano . ${\displaystyle \left\|w\right\|\leq 1}$ ${\displaystyle \left\|w\right\|<1,}$ ${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$ ${\displaystyle \left\|w\right\|=1.}$ ${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$ ${\displaystyle \left\|w\right\|=1,}$ ${\displaystyle P(w)=P(-w).}$

Simetrías

Modelo 3D STL de la superficie del niño

La superficie de Boy tiene simetría triple . Esto significa que tiene un eje de simetría rotacional discreto: cualquier giro de 120° sobre este eje dejará la superficie exactamente igual. La superficie de Boy se puede cortar en tres partes congruentes entre sí.

Aplicaciones

La superficie de Boy se puede utilizar en la eversión de esferas , como un modelo intermedio . Un modelo intermedio es una inmersión de la esfera con la propiedad de que una rotación intercambia el interior y el exterior, y por lo tanto se puede emplear para evertir (dar la vuelta) a una esfera. Las superficies de Boy (el caso p = 3) y de Morin (el caso p = 2) comienzan una secuencia de modelos intermedios con mayor simetría propuesta por primera vez por George Francis, indexada por los enteros pares 2p (para p impar, estas inmersiones se pueden factorizar a través de un plano proyectivo). La parametrización de Kusner produce todos estos.

Modelos

Modelo de superficie de un niño en el Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach

Modelo en Oberwolfach

El Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach tiene un modelo grande de la superficie de un niño fuera de la entrada, construido y donado por Mercedes-Benz en enero de 1991. Este modelo tiene simetría rotacional triple y minimiza la energía de Willmore de la superficie. Consiste en tiras de acero que representan la imagen de una cuadrícula de coordenadas polares bajo una parametrización dada por Robert Bryant y Rob Kusner. Los meridianos (rayos) se convierten en cintas de Möbius ordinarias , es decir, torcidas 180 grados. Todas las tiras, excepto una, correspondientes a círculos de latitud (círculos radiales alrededor del origen) están desenrolladas, mientras que la correspondiente al límite del círculo unitario es una cinta de Möbius torcida tres veces 180 grados, como es el emblema del instituto (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011).

Modelo realizado para Clifford Stoll

El soplador de vidrio Lucas Clarke fabricó un modelo en vidrio con la colaboración de Adam Savage para presentarlo a Clifford Stoll . El modelo apareció en el canal de YouTube de Adam Savage , Tested . Los tres aparecieron en el video donde lo comentaban. ^[5]

Referencias

Citas

1. Morin, Bernard (13 de noviembre de 1978). "Équations du retournement de la sphère" [Ecuaciones de la eversión de la esfera] (PDF) . Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . Serie A (en francés). 287 : 879–882.
2. Kusner, Rob (1987). "Geometría conforme y superficies mínimas completas" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 17 (2): 291–295. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 ..
3. Goodman, Sue; Marek Kossowski (2009). "Inmersiones del plano proyectivo con un punto triple". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 27 (4): 527–542. doi : 10.1016/j.difgeo.2009.01.011 . ISSN  0926-2245.
4. Raymond O'Neil Wells (1988). "Superficies en geometría conforme (Robert Bryant)". The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (12-16 de mayo de 1987, Duke University, Durham, Carolina del Norte). Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 48. American Mathematical Soc. págs. 227-240. doi :10.1090/pspum/048/974338. ISBN . 978-0-8218-1482-6.
5. Adam, Savage (21 de junio de 2023). "Este objeto debería haber sido imposible de fabricar". YouTube . Consultado el 22 de junio de 2023 .

Fuentes

• Kirby, Rob (noviembre de 2007), "¿Cuál es la superficie de Boy?" (PDF) , Avisos de la AMS , 54 (10): 1306–1307Esto describe un modelo lineal por partes de la superficie de Boy.
  • Casselman, Bill (noviembre de 2007), "Paraguas de niño que se desploman" (PDF) , Avisos de la AMS , 54 (10): 1356Artículo sobre la ilustración de portada que acompaña al artículo de Rob Kirby.
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), La superficie del niño en Oberwolfach (PDF).
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's, (sin fecha, 2006 o anterior).
• Weisstein, Eric W. "La superficie del niño". MathWorld .

Enlaces externos

• Superficie del niño en MathCurve; contiene varias visualizaciones, varias ecuaciones, enlaces útiles y referencias
• Un despliegue plano de la superficie del Niño – subprograma de Plus Magazine .
• Recursos de superficie de Boy, incluido el artículo original y una incrustación de un topólogo en la superficie de Boy de Oberwolfach.
• Una superficie de LEGO Boy
• Modelo de papel de la superficie de Boy: patrón e instrucciones
• Un modelo de la superficie de Boy en Geometría Sólida Constructiva junto con instrucciones de montaje
• Vídeo de visualización de superficies realizado por un niño del Instituto de Matemáticas de la Academia Serbia de las Artes y las Ciencias
• Este objeto debería haber sido imposible de hacer Adam Savage hace un stand de museo para un modelo de vidrio de la superficie