En el campo de la geometría hiperbólica , el panal de abejas de teselación hexagonal de orden 4 surge como uno de los 11 panales de abejas paracompactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque tiene celdas compuestas por un número infinito de caras. Cada celda es una teselación hexagonal cuyos vértices se encuentran en una horosfera : un plano en el espacio hiperbólico que se aproxima a un único punto ideal en el infinito.
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abeja se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abeja uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abeja uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abeja uniforme en el espacio esférico.
El símbolo de Schläfli del panal de abejas con teselación hexagonal de orden 4 es {6,3,4}. Como el símbolo de la teselación hexagonal es {6,3}, este panal de abejas tiene cuatro teselación hexagonal de este tipo que se encuentran en cada arista. Como el símbolo de Schläfli del octaedro es {3,4}, la figura del vértice de este panal de abejas es un octaedro. Por lo tanto, ocho teselación hexagonal se encuentran en cada vértice de este panal de abejas, y las seis aristas que se encuentran en cada vértice se encuentran a lo largo de tres ejes ortogonales. [1]
El panal de abeja de mosaico hexagonal de orden 4 tiene tres construcciones de simetría simplex reflexiva.
La construcción uniforme de semisimetría {6,3 1,1 } tiene dos tipos (colores) de teselación hexagonal, con diagrama de Coxeter 
↔
También existe una construcción de cuarto de simetría, con cuatro colores de mosaicos hexagonales:
.
Existen dos simetrías reflexivas adicionales con dominios fundamentales no simplistas: [6,3 * ,4], que es de índice 6, con diagrama de Coxeter 
; y [6,(3,4) * ], que es el índice 48. Este último tiene un dominio fundamental cúbico y un diagrama de Coxeter octaédrico con tres ramas infinitas axiales: . Se puede ver que utiliza ocho colores para colorear los mosaicos hexagonales del panal.
El panal de abeja de mosaico hexagonal de orden 4 contiene, que forman superficies de hiperciclo de 2 mosaicos y son similares al mosaico triangular truncado de orden infinito ,
:
El panal de abejas hexagonal de orden 4 es un panal de abejas hiperbólico regular en el espacio tridimensional y uno de los 11 que son paracompactos.
Hay quince panales uniformes en la familia del grupo Coxeter [6,3,4] , incluida esta forma regular y su dual , el panal cúbico de orden 6 .
El panal de abeja de mosaico hexagonal de orden 4 tiene un panal de abeja alternado relacionado ,
↔
, con teselación triangular y celdas octaédricas .
Es una parte de una secuencia de panales regulares de la forma {6,3,p}, todos ellos compuestos por celdas de teselación hexagonal :
Este panal también está relacionado con el panal cúbico de 16 celdas y el panal dodecaédrico de orden 4 , todos los cuales tienen figuras de vértice octaédricas.
Los panales antes mencionados también son cuasirregulares:
El panal de abejas de mosaico hexagonal de orden 4 rectificado , t 1 {6,3,4},tiene facetas de mosaico octaédricas y trihexagonales , con figura de vértice de prisma cuadrado .
Es similar al teselado tetraapeirogonal hiperbólico 2D, r{∞,4},que alterna caras apericogonales y cuadradas:
El panal de abeja de teselación hexagonal de orden 4 truncado , t 0,1 {6,3,4},tiene facetas octaédricas y hexagonales truncadas , con figura de vértice de pirámide cuadrada .
Es similar al teselado apeirogonal de orden 4 truncado hiperbólico 2D , t{∞,4},con caras apeirogonales y cuadradas:
El panal de abejas de teselación hexagonal de orden 4 bitruncado , t 1,2 {6,3,4},tiene celdas en forma de octaedro truncado y teselaciones hexagonales , con figura de vértice dienoide digonal .
El panal de abeja de teselación hexagonal de orden 4 cantelado , t 0,2 {6,3,4},tiene celdas de teselaciones cuboctaédricas , cúbicas y rombitrihexagonales , con una figura de vértice en cuña .
Panal de abeja con teselación hexagonal de orden 4 truncado , t 0,1,2 {6,3,4},tiene celdas de mosaico octaédrico truncado , cúbico y trihexagonal truncado , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
El panal de abejas hexagonal de orden 4 runcinado , t 0,3 {6,3,4},tiene celdas cúbicas , de teselación hexagonal y de prisma hexagonal , con una figura de vértice de antiprisma triangular irregular .
Contiene el mosaico rombitetrahexagonal hiperbólico 2D , rr{4,6},Con caras cuadradas y hexagonales. El mosaico también tiene una construcción de semisimetría.
.
Panal de abejas con teselación hexagonal de orden 4 truncado , t 0,1,3 {6,3,4},tiene celdas de teselación rombicuboctaedro , cubo , prisma dodecagonal y hexagonales truncados , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .
El panal de abeja hexagonal runcicantelado de orden 4 es el mismo que el panal de abeja cúbico runcitruncado de orden 6 .
El panal de abejas de teselación hexagonal de orden 4 omnitruncado , t 0,1,2,3 {6,3,4},tiene celdas de cuboctaedro truncado , de trihexagonal truncado , de prisma dodecagonal y de prisma octogonal , con una figura de vértice de tetraedro irregular .
El panal de abejas con mosaico hexagonal de orden alterno 4 ,↔, está compuesto por teselas triangulares y celdas octaédricas , en una figura de vértice octaédrico truncado .
El orden cántico-4 mosaico hexagonal en forma de panal ,↔, se compone de teselación trihexagonal , celdas de octaedro truncado y cuboctaedro , con una figura de vértice en cuña .
El orden rúnico-4 mosaico hexagonal en forma de panal ,↔, está compuesto por celdas de teselación triangular , rombicuboctaedro , cubo y prisma triangular , con figura de vértice de cúpula triangular .
El panal de abeja hexagonal de orden 4 runcicantic ,↔, está compuesto por teselación trihexagonal , cuboctaedro truncado , cubo truncado y celdas de prisma triangular , con figura de vértice de pirámide rectangular .
El panal de abeja con teselación hexagonal de orden 4 , q{6,3,4},o
, se compone de celdas de teselación triangular , teselación trihexagonal , tetraedro y tetraedro truncado , con figura de vértice de cúpula triangular .