Hiperciclo (geometría)

En geometría hiperbólica , un hiperciclo , hipercírculo o curva equidistante es una curva cuyos puntos tienen la misma distancia ortogonal a una línea recta dada (su eje).

Dada una línea recta $L$ y un punto $P$ que no está en $L$ , se puede construir un hiperciclo tomando todos los puntos $Q$ del mismo lado de $L$ que $P$ , con una distancia perpendicular a $L$ igual a la de $P$ . La línea $L$ se llama eje , centro o línea base del hiperciclo. Las líneas perpendiculares a $L$ , que también son perpendiculares al hiperciclo, se llaman normales del hiperciclo. Los segmentos de las normales entre $L$ y el hiperciclo se llaman radios . Su longitud común se llama distancia o radio del hiperciclo. ^[1]

Los hiperciclos que pasan por un punto dado y comparten una tangente a través de ese punto convergen hacia un horociclo a medida que sus distancias tienden hacia el infinito.

Propiedades similares a las de las líneas euclidianas

Los hiperciclos en geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de las líneas en geometría euclidiana :

En un plano, dado un eje (línea) y un punto que no está en ese eje, sólo hay un hiperciclo a través del cual se apunta con el eje dado (compárese con el axioma de Playfair para la geometría euclidiana).
No hay tres puntos de un hiperciclo en un círculo.
Un hiperciclo es simétrico a cada línea perpendicular a él. (Reflejar un hiperciclo en una línea perpendicular al hiperciclo da como resultado el mismo hiperciclo).

Propiedades similares a las de los círculos euclidianos

Los hiperciclos en la geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de los círculos en la geometría euclidiana :

Una línea perpendicular a una cuerda de un hiperciclo en su punto medio es un radio y biseca el arco subtendido por la cuerda.
Sea $AB$ la cuerda y $M$ su punto medio.
Por simetría , la línea $R$ que pasa por $M$ perpendicular a $AB$ debe ser ortogonal al eje $L.$
Por lo tanto $R$ es un radio.
También por simetría, $R$ bisecará el arco $AB$ .
El eje y la distancia de un hiperciclo están determinados de forma única .
Supongamos que un hiperciclo $C$ tiene dos ejes diferentes $L 1, L 2$ .
Utilizando la propiedad anterior dos veces con cuerdas diferentes podemos determinar dos radios distintos $R 1, R 2$ . $R 1, R 2$ tendrán que ser entonces perpendiculares a ambos $L 1, L 2$ , lo que nos dará un rectángulo. Esto es una contradicción porque el rectángulo es una figura imposible en geometría hiperbólica .
Dos hiperciclos tienen distancias iguales si y sólo si son congruentes.
Si tienen la misma distancia, sólo necesitamos hacer coincidir los ejes mediante un movimiento rígido y además todos los radios coincidirán; como la distancia es la misma, también coincidirán los puntos de los dos hiperciclos.
Viceversa, si son congruentes la distancia debe ser la misma por la propiedad anterior.
Una línea recta corta un hiperciclo en dos puntos como máximo.
Sea la línea $K$ la que corta al hiperciclo $C$ en dos puntos $A, B.$ Como antes, podemos construir el radio $R$ de $C$ a través del punto medio $M$ de $AB$ . Nótese que $K$ es ultraparalela al eje $L$ porque tienen la perpendicular común $R.$ Además, dos líneas ultraparalelas tienen una distancia mínima en la perpendicular común y distancias que aumentan monótonamente a medida que nos alejamos de la perpendicular.
Esto significa que los puntos de $K$ dentro $de AB$ tendrán una distancia a $L$ menor que la distancia común de $A$ y $B$ a $L$ , mientras que los puntos de $K$ fuera de $AB$ tendrán una distancia mayor. En conclusión, ningún otro punto de $K$ puede estar en $C$ .
Dos hiperciclos se intersecan en dos puntos como máximo.
Sean $C 1, C 2$ hiperciclos que se intersecan en tres puntos $A, B, C$ .
Si $R 1$ es la línea ortogonal a $AB$ que pasa por su punto medio, sabemos que es un radio de ambos $C 1, C 2$ .
De manera similar construimos $R 2$ , el radio que pasa por el punto medio de $BC$ .
$R 1, R 2$ son simultáneamente ortogonales a los ejes $L 1, L 2$ de $C 1, C 2$ , respectivamente.
Ya hemos demostrado que entonces $L 1, L 2$ deben coincidir (de lo contrario tenemos un rectángulo).
Entonces $C 1, C 2$ tienen el mismo eje y al menos un punto común, por lo tanto tienen la misma distancia y coinciden.
No hay tres puntos de un hiperciclo que sean colineales.
$Si$ los puntos $A, B, C$ de un hiperciclo son colineales, entonces las cuerdas $AB, BC$ están en la misma línea $K.$ $Sean$ R1 $, R2 los radios que$ pasan por los puntos medios de $AB, BC$ $.$ Sabemos que el eje $L$ del hiperciclo es la perpendicular común de $R1, R2$ .
Pero $K$ es esa perpendicular común . Entonces la distancia debe ser 0 y el hiperciclo degenera en una línea.

Otras propiedades

La longitud de un arco de un hiperciclo entre dos puntos es
- más largo que la longitud del segmento de línea entre esos dos puntos,
- más corto que la longitud del arco de uno de los dos horociclos entre esos dos puntos, y
- más corto que cualquier arco circular entre esos dos puntos.
Un hiperciclo y un horociclo se intersecan en dos puntos como máximo.
Un hiperciclo de radio $r$ con $senh 2 r = 1$ induce una cuasi-simetría del plano hiperbólico por inversión. (Dicho hiperciclo se encuentra con su eje en un ángulo de π/4.) Específicamente, un punto $P$ en un semiplano abierto del eje se invierte a $P'$ cuyo ángulo de paralelismo es el complemento del de $P$ . Esta cuasi-simetría se generaliza a espacios hiperbólicos de mayor dimensión donde facilita el estudio de variedades hiperbólicas. Se utiliza ampliamente en la clasificación de cónicas en el plano hiperbólico donde se ha llamado inversión dividida . Aunque conforme, la inversión dividida no es una simetría verdadera ya que intercambia el eje con el límite del plano y, por supuesto, no es una isometría.

Longitud de un arco

En el plano hiperbólico de curvatura constante −1, la longitud de un arco de un hiperciclo se puede calcular a partir del radio $r$ y la distancia entre los puntos donde las normales se intersecan con el eje $d$ utilizando la fórmula $l = d cosh r$ . ^[2]

Construcción

En el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos se representan mediante líneas y arcos de círculo que intersecan el círculo límite en ángulos no rectos. La representación del eje interseca el círculo límite en los mismos puntos, pero en ángulos rectos.

En el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos se representan mediante líneas y arcos de círculo que intersecan la línea límite en ángulos no rectos. La representación del eje interseca la línea límite en los mismos puntos, pero en ángulos rectos.

Clases de congruencia de las parábolas de Steiner

Las clases de congruencia de las parábolas de Steiner en el plano hiperbólico están en correspondencia biunívoca con los hiperciclos en un semiplano dado $H$ de un eje dado. En una geometría de incidencia, la cónica de Steiner en un punto $P$ producida por una colineación $T$ es el lugar geométrico de las intersecciones $L \cap T (L)$ para todas las líneas $L$ que pasan por $P$ . Este es el análogo de la definición de Steiner de una cónica en el plano proyectivo sobre un cuerpo . Las clases de congruencia de las cónicas de Steiner en el plano hiperbólico están determinadas por la distancia $s$ entre $P$ y $T (P)$ y el ángulo de rotación $φ$ inducido por $T$ alrededor de $T (P)$ . Cada parábola de Steiner es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un foco $F$ es igual a la distancia a una directriz del hiperciclo que no es una línea. Suponiendo un eje común para los hiperciclos, la ubicación de $F$ está determinada por $φ$ de la siguiente manera. Fijando $senh s = 1$ , las clases de parábolas están en correspondencia uno a uno con $φ \in (0, π/2)$ . En el modelo de disco conforme, cada punto $P$ es un número complejo con $| P | < 1$ . Sea el eje común la línea real y supongamos que los hiperciclos están en el semiplano $H$ con $Im P > 0$ . Entonces el vértice de cada parábola estará en $H$ , y la parábola es simétrica respecto de la línea que pasa por el vértice perpendicular al eje. Si el hiperciclo está a una distancia $d$ del eje, con entonces En particular, $F$ $= 0$ cuando $φ$ $= π/4$ . En este caso, el foco está en el eje; equivalentemente, la inversión en el hiperciclo correspondiente deja $a H$ invariante. Este es el caso armónico , es decir, la representación de la parábola en cualquier modelo inverso del plano hiperbólico es una curva armónica de género 1 . $\tanh d=\tan {\tfrac {\phi }{2}},$ $F=\left({\frac {1-\tan \phi }{1+\tan \phi }}\right)i.$

Referencias

^ Martin, George E. (1986). Fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (1.ª ed. Springer). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 371. ISBN. 3-540-90694-0.
^ Smogorzhevsky, AS (1982). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. pág. 68.

Martin Gardner , Geometría no euclidiana , Capítulo 4 de El colosal libro de las matemáticas , WW Norton & Company, 2001, ISBN 978-0-393-02023-6
MJ Greenberg, Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , 3.ª edición, WH Freeman, 1994.
George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975.
JG Ratcliffe, Fundación de variedades hiperbólicas , Springer, Nueva York, 1994.
David C. Royster, Geometrías neutrales y no euclidianas.
J. Sarli, Cónicas en el plano hiperbólico intrínsecas al grupo de colineación, J. Geom. 103: 131-138 (2012)