Octaedro truncado

Sólido arquimediano

En geometría , el octaedro truncado es el sólido arquimediano que surge de un octaedro regular al eliminar seis pirámides, una en cada uno de los vértices del octaedro. El octaedro truncado tiene 14 caras (8 hexágonos regulares y 6 cuadrados ), 36 aristas y 24 vértices. Dado que cada una de sus caras tiene simetría puntual, el octaedro truncado es un 6 - zonoedro . También es el poliedro de Goldberg G _IV (1,1), que contiene caras cuadradas y hexagonales. Al igual que el cubo, puede teselar (o "empaquetar") el espacio tridimensional, como un permutoedro .

El octaedro truncado fue llamado "mecon" por Buckminster Fuller . ^[1]

Su poliedro dual es el tetrakis hexaedro . Si el octaedro truncado original tiene longitud de arista unidad, su tetrakis hexaedro dual tiene longitudes de arista ⁠9/8⁠ √ 2 y ⁠3/2⁠ √ 2 .

Clasificaciones

Como un sólido arquimediano

Un octaedro truncado se construye a partir de un octaedro regular cortando todos los vértices. Este poliedro resultante tiene seis cuadrados y ocho hexágonos, dejando fuera seis pirámides cuadradas . Considerando que cada longitud del octaedro regular es , y la longitud de la arista de una pirámide cuadrada es (la pirámide cuadrada es un equilátero , el primer sólido de Johnson ). De la propiedad de la pirámide cuadrada equilátera, su volumen es . Debido a que se eliminan seis pirámides cuadradas equiláteras por truncamiento, el volumen de un octaedro truncado se obtiene restando el volumen de un octaedro regular de esas seis: ^[2] El área de superficie de un octaedro truncado se puede obtener sumando el área de todos los polígonos, seis cuadrados y ocho hexágonos. Considerando la longitud de la arista , esto es: ^[2] ${\displaystyle 3a}$ ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\tfrac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}(3a)^{3}-6\cdot {\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}=8a^{3}{\sqrt {2}}\approx 11.3137.}$$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle (6+12{\sqrt {3}})a^{2}\approx 26.7846a^{2}.}$$

Modelo 3D de un octaedro truncado

El octaedro truncado es uno de los trece sólidos arquimedianos . En otras palabras, tiene un poliedro altamente simétrico y semirregular con dos o más caras poligonales regulares diferentes que se encuentran en un vértice. ^[3] El poliedro dual de un octaedro truncado es el tetrakis hexaedro . Ambos tienen el mismo grupo de simetría tridimensional que el octaedro regular, la simetría octaédrica . ^[4] Un cuadrado y dos hexágonos rodean cada uno de sus vértices, denotando su figura de vértice como . ^[5] ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle 4\cdot 6^{2}}$

El ángulo diedro de un octaedro truncado entre un cuadrado y un hexágono es , y el ángulo entre caras hexagonales adyacentes es . ^[6] ${\textstyle \arccos(-1/{\sqrt {3}})\approx 125.26^{\circ }}$ ${\textstyle \arccos(-1/3)\approx 109.47^{\circ }}$

Como un poliedro del espacio de labranza

El octaedro truncado puede describirse como un permutoedro de orden 4 o 4-permutoedro , lo que significa que puede representarse con coordenadas aún más simétricas en cuatro dimensiones: todas las permutaciones de forman los vértices de un octaedro truncado en el subespacio tridimensional . ^[7] Por lo tanto, cada vértice corresponde a una permutación de y cada arista representa un único intercambio por pares de dos elementos. Tiene el grupo simétrico . ^[8] ${\displaystyle (1,2,3,4)}$ ${\displaystyle x+y+z+w=10}$ ${\displaystyle (1,2,3,4)}$ ${\displaystyle S_{4}}$

El octaedro truncado se puede utilizar como un espacio de labranza. Se clasifica como plesioedro , lo que significa que se puede definir como la celda de Voronoi de un conjunto Delone simétrico . ^[9] El plesioedro incluye el paraleloedro , un poliedro que se puede trasladar sin rotar y el espacio de labranza de modo que llene toda la cara. Hay cinco paraleloedros primarios tridimensionales, uno de los cuales es el octaedro truncado. ^[10] De manera más general, cada permutoedro y paraleloedro es zonohedro , un poliedro que es centralmente simétrico que se puede definir utilizando la suma de Minkowski . ^[11]

Como un poliedro de Goldberg

El octaedro truncado es un poliedro de Goldberg , un poliedro con caras hexagonales o pentagonales. ^[12]

Aplicaciones

En química, el octaedro truncado es la estructura de jaula de sodalita en el marco de un tipo de faujasita de cristales de zeolita . ^[13]

En física del estado sólido , la primera zona de Brillouin de la red cúbica centrada en las caras es un octaedro truncado. ^[14]

El octaedro truncado (de hecho, el octaedro truncado generalizado) aparece en el análisis de errores de la modulación del índice de cuantificación (QIM) junto con la codificación de repetición. ^[15]

Disección

El octaedro truncado se puede diseccionar en un octaedro central , rodeado por 8 cúpulas triangulares en cada cara y 6 pirámides cuadradas sobre los vértices. ^[16]

Quitando el octaedro central y 2 o 4 cúpulas triangulares se crean dos toroides de Stewart , con simetría diedra y tetraédrica:

Es posible cortar un teseracto mediante un hiperplano de modo que su sección transversal cortada sea un octaedro truncado. ^[17]

El panal cúbico bitruncado transitivo de celdas también puede verse como la teselación de Voronoi de la red cúbica centrada en el cuerpo . El octaedro truncado es uno de los cinco paraleloedros primarios tridimensionales .

Objetos

Las redes de gimnasia de la jungla a menudo incluyen octaedros truncados.

• 
  dado chino antiguo
• 
  Escultura en Bonn
• 
  Variante del cubo de Rubik
• 
  modelo realizado con el set de construcción Polydron
• 
  Cristal de pirita
• 
  Cristal de boleíta

Gráfico octaédrico truncado

En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo octaédrico truncado es el grafo de vértices y aristas del octaedro truncado. Tiene 24 vértices y 36 aristas, y es un grafo arquimediano cúbico . ^[18] Tiene un grosor de libro de 3 y un número de cola de 2. ^[19]

Como grafo cúbico hamiltoniano , se puede representar mediante la notación MCF de múltiples maneras: [3, −7, 7, −3] ⁶ , [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11, 11, −5, −7, 7] ² y [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3]. ^[20]

Tres ciclos hamiltonianos diferentes descritos por las tres notaciones LCF diferentes para el gráfico octaédrico truncado

Referencias

1. "Octaedro truncado". Wolfram Mathworld .
2. Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
3. Diudea, MV (2018). Cúmulos poliédricos de múltiples capas. Springer . p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
4. Koca, M.; Koca, NO (2013). "Grupos de Coxeter, cuaterniones, simetrías de poliedros y politopos 4D". Física matemática: Actas de la 13.ª Conferencia regional, Antalya, Turquía, 27-31 de octubre de 2010. World Scientific. pág. 48.
5. Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño. Dover Publications, Inc., pág. 78. ISBN 978-0-486-23729-9.
6. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos con caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
7. Johnson, Tom; Jedrzejewski, Franck (2014). Mirando los números. Springer. pág. 15. doi :10.1007/978-3-0348-0554-4. ISBN 978-3-0348-0554-4.
8. Crisman, Karl-Dieter (2011). "El grupo de simetría del permutaedro". The College Mathematics Journal . 42 (2): 135–139. doi :10.4169/college.math.j.42.2.135. JSTOR  college.math.j.42.2.135.
9. Erdahl, RM (1999). "Zonotopos, cortes y la conjetura de Voronoi sobre paralelohedros". Revista Europea de Combinatoria . 20 (6): 527–549. doi : 10.1006/eujc.1999.0294 . MR  1703597.Voronoi conjeturó que todas las teselas de espacios de dimensiones superiores mediante traslaciones de un único politopo convexo son combinatoriamente equivalentes a las teselas de Voronoi, y Erdahl prueba esto en el caso especial de los zonotopos . Pero como escribe (p. 429), la conjetura de Voronoi para dimensiones de como máximo cuatro ya había sido probada por Delaunay. Para la clasificación de los paraleloedros tridimensionales en estos cinco tipos, véase Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Teselas con teselas congruentes". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . Nuevas Series. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR  0585178.
10. Alexandrov, AD (2005). "8.1 Paraleloedros". Poliedros convexos . Springer. págs. 349–359.
11. Jensen, Patrick M.; Trinderup, Camilia H.; Dahl, Anders B.; Dahl, Vedrana A. (2019). "Aproximación zonóhedral del elemento estructurante esférico para morfología volumétrica". En Felsberg, Michael; Forssén, Per-Erik; Sintorn, Ida-Maria; Unger, Jonas (eds.). Análisis de imágenes: 21.ª Conferencia escandinava, SCIA 2019, Norrköping, Suecia, 11-13 de junio de 2019, Actas . Springer. pág. 131-132. doi :10.1007/978-3-030-20205-7. ISBN 978-3-030-20205-7.
12. Schein, S.; Gayed, JM (2014). "Cuarta clase de poliedro equilátero convexo con simetría poliédrica relacionada con fulerenos y virus". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 111 (8): 2920–2925. Bibcode :2014PNAS..111.2920S. doi : 10.1073/pnas.1310939111 . ISSN  0027-8424. PMC 3939887 . PMID  24516137. 
13. Yen, Teh F. (2007). Procesos químicos para la ingeniería ambiental. Imperial College Press. pág. 338. ISBN 978-1-86094-759-9.
14. Mizutani, Uichiro (2001). Introducción a la teoría electrónica de los metales. Cambridge University Press . pág. 112. ISBN 978-0-521-58709-9.
15. Perez-Gonzalez, F.; Balado, F.; Martin, JRH (2003). "Análisis de rendimiento de métodos existentes y nuevos para ocultamiento de datos con información del host conocido en canales aditivos". IEEE Transactions on Signal Processing . 51 (4): 960–980. Bibcode :2003ITSP...51..960P. doi :10.1109/TSP.2003.809368.
16. Doskey, Alex. "Aventuras entre los toroides – Capítulo 5 – Toroides (R)(A)(Q)(T) más simples del género p=1". www.doskey.com .
17. Borovik, Alexandre V.; Borovik, Anna (2010), "Ejercicio 14.4", Espejos y reflejos , Universitext, Nueva York: Springer, pág. 109, doi :10.1007/978-0-387-79066-4, ISBN 978-0-387-79065-7, Sr.  2561378
18. Read, RC; Wilson, RJ (1998), Un atlas de gráficos , Oxford University Press , pág. 269
19. Wolz, Jessica; Diseños lineales de ingeniería con SAT. Tesis de maestría, Universidad de Tübingen, 2018
20. Weisstein, Eric W. "Gráfico octaédrico truncado". MathWorld .

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3–9)
• Freitas, Robert A. Jr (1999). "Figura 5.5: Relleno uniforme del espacio utilizando únicamente octaedros truncados". Nanomedicina, Volumen I: Capacidades básicas. Georgetown, Texas: Landes Bioscience . Consultado el 8 de septiembre de 2006 .
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• Alexandrov, AD (1958). Konvexe Polyeder . Berlín: Springer. pag. 539.ISBN​ 3-540-23158-7.
• Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79–86. Sólidos arquimedianos . ISBN . 0-521-55432-2.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Octaedro truncado" ("Sólido arquimediano") en MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Gráfico octaédrico truncado". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Permutoedro". MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3x4o - punta".
• Red editable e imprimible de un octaedro truncado con vista 3D interactiva