En geometría , el mosaico triangular o teselación triangular es uno de los tres mosaicos regulares del plano euclidiano , y es el único mosaico de este tipo en el que las formas constituyentes no son paralelogonos . Debido a que el ángulo interno del triángulo equilátero es de 60 grados, seis triángulos en un punto ocupan 360 grados completos. El mosaico triangular tiene el símbolo de Schläfli {3,6}.
El matemático inglés John Conway lo denominó deltille , nombre que deriva de la forma triangular de la letra griega delta (Δ). El mosaico triangular también puede denominarse kishextille mediante una operación kis que agrega un punto central y triángulos para reemplazar las caras de un hextille .
Es una de las tres teselaciónes regulares del plano . Las otras dos son la teselación cuadrada y la teselación hexagonal .
Hay 9 coloraciones uniformes distintas de un mosaico triangular. (Nombrando los colores por índices en los 6 triángulos alrededor de un vértice: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Tres de ellos pueden derivarse de otros repitiendo colores: 111212 y 111112 a partir de 121213 combinando 1 y 3, mientras que 111213 se reduce a partir de 121314. [1]
Existe una clase de coloraciones de Arquímedes , 111112, (marcada con un *) que no es 1-uniforme, ya que contiene filas alternadas de triángulos donde cada tercio está coloreado. El ejemplo que se muestra es 2-uniforme, pero hay infinitas coloraciones de Arquímedes de este tipo que se pueden crear mediante desplazamientos horizontales arbitrarios de las filas.
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La disposición de los vértices del mosaico triangular se denomina red A 2 . [2] Es el caso bidimensional de un panal simpléctico .
La A*
2enrejado (también llamado A3
2) se puede construir mediante la unión de las tres redes A 2 , y es equivalente a la red A 2 .
++= dual de
=Los vértices del teselado triangular son los centros del empaquetamiento circular más denso posible . [3] Cada círculo está en contacto con otros 6 círculos en el empaquetamiento ( número de beso ). La densidad de empaquetamiento es π ⁄ √ 12 o 90,69%. La celda de Voronoi de un teselado triangular es un hexágono , por lo que la teselación de Voronoi , el teselado hexagonal, tiene una correspondencia directa con los empaquetamientos circulares.
Los mosaicos triangulares se pueden realizar con la topología equivalente {3,6} a la del mosaico regular (6 triángulos alrededor de cada vértice). Con caras idénticas ( transitividad de caras ) y transitividad de vértices , hay 5 variaciones. La simetría dada supone que todas las caras son del mismo color. [4]
Los teselados planos están relacionados con los poliedros . Poner menos triángulos en un vértice deja un hueco y permite que se pliegue en una pirámide . Estos pueden ampliarse a sólidos platónicos : cinco, cuatro y tres triángulos en un vértice definen un icosaedro , un octaedro y un tetraedro respectivamente.
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3,n}, que continúan en el plano hiperbólico .
También está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de sólidos catalanes con configuración de caras Vn.6.6, y que también continúa en el plano hiperbólico.
Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho teselas uniformes que pueden basarse en la teselación hexagonal regular (o en la teselación triangular dual).
Si dibujamos las piezas coloreadas de rojo en las caras originales, de amarillo en los vértices originales y de azul en los bordes originales, obtenemos 8 formas, 7 de las cuales son topológicamente distintas. (El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).
Hay 4 apeirógonos complejos regulares que comparten los vértices de la teselación triangular. Los apeirógonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p { q } r están restringidos por: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de vértices son r -gonales. [5]
El primero está formado por 2 bordes, los dos siguientes son bordes triangulares y el último tiene bordes hexagonales superpuestos.
También hay tres mosaicos de Laves hechos de un solo tipo de triángulos:
