Difracción

Fenómeno del movimiento de las ondas

Patrón de difracción de un rayo láser rojo proyectado sobre una placa después de pasar a través de una pequeña abertura circular en otra placa.

La difracción es la interferencia o desviación de las ondas alrededor de las esquinas de un obstáculo o a través de una abertura hacia la región de sombra geométrica del obstáculo/abertura. El objeto o la abertura que difracta se convierte efectivamente en una fuente secundaria de la onda que se propaga . El científico italiano Francesco Maria Grimaldi acuñó la palabra difracción y fue el primero en registrar observaciones precisas del fenómeno en 1660. ^{[1] [2]}

Una infinidad de puntos (tres de ellos mostrados) a lo largo del proyecto contribuyen a la fase del frente de onda , lo que produce una intensidad que varía continuamente en la placa de registro. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$

En física clásica , el fenómeno de difracción se describe mediante el principio de Huygens-Fresnel que trata cada punto en un frente de onda que se propaga como una colección de ondículas esféricas individuales . ^[3] El patrón de flexión característico es más pronunciado cuando una onda de una fuente coherente (como un láser) encuentra una rendija/abertura que es comparable en tamaño a su longitud de onda , como se muestra en la imagen insertada. Esto se debe a la adición, o interferencia , de diferentes puntos en el frente de onda (o, equivalentemente, cada ondícula) que viajan por caminos de diferentes longitudes hasta la superficie de registro. Si hay múltiples aberturas espaciadas estrechamente (por ejemplo, una rejilla de difracción ), puede resultar un patrón complejo de intensidad variable.

Estos efectos también ocurren cuando una onda de luz viaja a través de un medio con un índice de refracción variable , o cuando una onda de sonido viaja a través de un medio con impedancia acústica variable : todas las ondas se difractan, ^[4] incluidas las ondas gravitacionales , ^[5] las ondas de agua y otras ondas electromagnéticas como los rayos X y las ondas de radio . Además, la mecánica cuántica también demuestra que la materia posee propiedades ondulatorias y, por lo tanto, sufre difracción (que es medible a niveles subatómicos y moleculares). ^[6]

La cantidad de difracción depende del tamaño del espacio. La difracción es máxima cuando el tamaño del espacio es similar a la longitud de onda de la onda. En este caso, cuando las ondas pasan a través del espacio, se vuelven semicirculares .

Historia

Esquema de difracción de dos rendijas para ondas de agua realizado por Thomas Young, que presentó a la Royal Society en 1803

Da Vinci podría haber observado la difracción en un ensanchamiento de la sombra. ^[7] Los efectos de la difracción de la luz fueron observados y caracterizados cuidadosamente por primera vez por Francesco Maria Grimaldi , quien también acuñó el término difracción , del latín diffringere , 'romper en pedazos', refiriéndose a la luz que se divide en diferentes direcciones . Los resultados de las observaciones de Grimaldi se publicaron póstumamente en 1665. ^{[8] [9] [10]} Isaac Newton estudió estos efectos y los atribuyó a la inflexión de los rayos de luz. James Gregory ( 1638-1675 ) observó los patrones de difracción causados ​​por una pluma de ave, que fue efectivamente la primera rejilla de difracción en ser descubierta. ^[11] Thomas Young realizó un célebre experimento en 1803 que demostraba la interferencia de dos rendijas muy espaciadas. ^[12] Al explicar sus resultados por la interferencia de las ondas que emanaban de las dos rendijas diferentes, dedujo que la luz debe propagarse como ondas. Augustin-Jean Fresnel realizó estudios y cálculos más definitivos de difracción, hechos públicos en 1816 ^[13] y 1818 , ^[14] y con ello dio un gran apoyo a la teoría ondulatoria de la luz que había sido propuesta por Christiaan Huygens ^{[15] y revigorizada por Young, contra} la teoría corpuscular de la luz de Newton .

Mecanismo

Difracción de una sola rendija en un tanque de ondas circulares

En física clásica, la difracción surge debido a la forma en que se propagan las ondas ; esto se describe mediante el principio de Huygens-Fresnel y el principio de superposición de ondas . La propagación de una onda se puede visualizar considerando cada partícula del medio transmitido en un frente de onda como una fuente puntual para una onda esférica secundaria . El desplazamiento de la onda en cualquier punto posterior es la suma de estas ondas secundarias. Cuando las ondas se suman, su suma está determinada por las fases relativas , así como por las amplitudes de las ondas individuales, de modo que la amplitud sumada de las ondas puede tener cualquier valor entre cero y la suma de las amplitudes individuales. Por lo tanto, los patrones de difracción suelen tener una serie de máximos y mínimos.

En la comprensión mecánica cuántica moderna de la propagación de la luz a través de una rendija (o rendijas), cada fotón se describe por su función de onda que determina la distribución de probabilidad para el fotón: las bandas claras y oscuras son las áreas donde los fotones tienen más o menos probabilidades de ser detectados. La función de onda está determinada por el entorno físico, como la geometría de la rendija, la distancia de la pantalla y las condiciones iniciales cuando se crea el fotón. La naturaleza ondulatoria de los fotones individuales (a diferencia de las propiedades ondulatorias que solo surgen de las interacciones entre multitudes de fotones) fue implícita en un experimento de doble rendija de baja intensidad realizado por primera vez por GI Taylor en 1909. El enfoque cuántico tiene algunas similitudes sorprendentes con el principio de Huygens-Fresnel ; basado en ese principio, a medida que la luz viaja a través de rendijas y límites, se crean fuentes de luz puntuales secundarias cerca o a lo largo de estos obstáculos, y el patrón de difracción resultante será el perfil de intensidad basado en la interferencia colectiva de todas estas fuentes de luz que tienen diferentes caminos ópticos. En el formalismo cuántico, eso es similar a considerar las regiones limitadas alrededor de las rendijas y los límites desde donde es más probable que se originen los fotones, y calcular la distribución de probabilidad (que es proporcional a la intensidad resultante del formalismo clásico).

Existen varios modelos analíticos que permiten calcular el campo difractado, incluyendo la ecuación de difracción de Kirchhoff (derivada de la ecuación de onda ), ^[16] la aproximación de difracción de Fraunhofer de la ecuación de Kirchhoff (aplicable al campo lejano ), la aproximación de difracción de Fresnel (aplicable al campo cercano ) y la formulación de integral de trayectoria de Feynman . La mayoría de las configuraciones no se pueden resolver analíticamente, pero pueden producir soluciones numéricas a través de métodos de elementos finitos y elementos de contorno .

Es posible obtener una comprensión cualitativa de muchos fenómenos de difracción considerando cómo varían las fases relativas de las fuentes de ondas secundarias individuales y, en particular, las condiciones en las que la diferencia de fase es igual a medio ciclo, en cuyo caso las ondas se cancelarán entre sí.

Las descripciones más simples de la difracción son aquellas en las que la situación se puede reducir a un problema bidimensional. En el caso de las ondas en el agua , esto ya es así; las ondas en el agua se propagan solo en la superficie del agua. En el caso de la luz, a menudo podemos ignorar una dirección si el objeto que difracta se extiende en esa dirección sobre una distancia mucho mayor que la longitud de onda. En el caso de la luz que brilla a través de pequeños agujeros circulares, tendremos que tener en cuenta la naturaleza tridimensional completa del problema.

• 
  Patrón de intensidad generado por computadora formado en una pantalla por difracción a partir de una abertura cuadrada
• 
  Generación de un patrón de interferencia a partir de difracción de dos rendijas
• 
  Modelo computacional de un patrón de interferencia a partir de difracción de dos rendijas
• 
  Patrón de difracción óptica (láser, análogo a la difracción de rayos X)
• 
  Los colores que se ven en una telaraña se deben en parte a la difracción, según algunos análisis. ^[17]

Ejemplos

Los efectos de la difracción se observan a menudo en la vida cotidiana. Los ejemplos más llamativos de difracción son los que involucran la luz; por ejemplo, las pistas de un CD o DVD que están muy juntas actúan como una rejilla de difracción para formar el patrón de arco iris que se ve cuando se mira un disco.

Este principio se puede extender para diseñar una rejilla con una estructura tal que produzca cualquier patrón de difracción deseado; el holograma de una tarjeta de crédito es un ejemplo.

La difracción en la atmósfera por partículas pequeñas puede causar una corona , un disco brillante y anillos alrededor de una fuente de luz brillante como el sol o la luna. En el punto opuesto también se puede observar gloria , anillos brillantes alrededor de la sombra del observador. A diferencia de la corona, la gloria requiere que las partículas sean esferas transparentes (como gotas de niebla), ya que la retrodispersión de la luz que forma la gloria implica refracción y reflexión interna dentro de la gota.

La sombra de un objeto sólido, obtenida mediante el uso de luz de una fuente compacta, muestra pequeñas franjas cerca de sus bordes.

El punto brillante ( punto de Arago ) que se ve en el centro de la sombra de un obstáculo circular se debe a la difracción.

Los picos de difracción son patrones de difracción causados ​​por una apertura no circular en la cámara o por los puntales de soporte del telescopio; en la visión normal, la difracción a través de las pestañas puede producir dichos picos.

Vista desde el final del Puente del Milenio. La luna se alza sobre el Puente de Southwark. Las luces de la calle se reflejan en el Támesis.

Picos de difracción simulados en espejos hexagonales de telescopios

El patrón de moteado que se observa cuando la luz láser incide sobre una superficie ópticamente rugosa también es un fenómeno de difracción. Cuando la carne de charcutería parece iridiscente , se debe a la difracción de las fibras de la carne. ^[18] Todos estos efectos son consecuencia del hecho de que la luz se propaga como una onda .

La difracción puede ocurrir con cualquier tipo de ola. Las olas del océano se difractan alrededor de embarcaderos y otros obstáculos.

Ondas circulares generadas por difracción de la estrecha entrada de una cantera costera inundada

Las ondas sonoras pueden difractarse alrededor de los objetos, por lo que uno puede escuchar a alguien llamando incluso cuando está escondido detrás de un árbol. ^[19]

La difracción también puede ser un problema en algunas aplicaciones técnicas; establece un límite fundamental para la resolución de una cámara, un telescopio o un microscopio.

A continuación se consideran otros ejemplos de difracción.

Difracción de una sola rendija

Animación de difracción de una sola rendija en 2D con cambio de ancho

Aproximación numérica del patrón de difracción de una rendija de cuatro longitudes de onda de ancho con una onda plana incidente. Se aprecian el haz central principal, los nulos y las inversiones de fase.

Gráfica e imagen de difracción de una sola rendija

Una rendija larga de ancho infinitesimal que está iluminada por la luz difracta la luz en una serie de ondas circulares y el frente de onda que emerge de la rendija es una onda cilíndrica de intensidad uniforme, de acuerdo con el principio de Huygens-Fresnel .

Una rendija iluminada que es más ancha que una longitud de onda produce efectos de interferencia en el espacio aguas abajo de la rendija. Suponiendo que la rendija se comporta como si tuviera una gran cantidad de fuentes puntuales espaciadas uniformemente a lo largo de la anchura de la rendija, se pueden calcular los efectos de interferencia. El análisis de este sistema se simplifica si consideramos luz de una sola longitud de onda. Si la luz incidente es coherente , todas estas fuentes tienen la misma fase. La luz incidente en un punto dado en el espacio aguas abajo de la rendija está compuesta por contribuciones de cada una de estas fuentes puntuales y si las fases relativas de estas contribuciones varían en o más, podemos esperar encontrar mínimos y máximos en la luz difractada. Tales diferencias de fase son causadas por diferencias en las longitudes de trayectoria sobre las cuales los rayos contribuyentes llegan al punto desde la rendija. ${\displaystyle 2\pi }$

Podemos encontrar el ángulo en el que se obtiene un primer mínimo en la luz difractada mediante el siguiente razonamiento. La luz de una fuente ubicada en el borde superior de la rendija interfiere destructivamente con una fuente ubicada en el medio de la rendija, cuando la diferencia de caminos entre ellas es igual a . De manera similar, la fuente justo debajo de la parte superior de la rendija interferirá destructivamente con la fuente ubicada justo debajo del medio de la rendija en el mismo ángulo. Podemos continuar este razonamiento a lo largo de toda la altura de la rendija para concluir que la condición para la interferencia destructiva para toda la rendija es la misma que la condición para la interferencia destructiva entre dos rendijas estrechas separadas por una distancia que es la mitad del ancho de la rendija. La diferencia de caminos es aproximadamente de modo que la intensidad mínima ocurre en un ángulo dado por donde es el ancho de la rendija, es el ángulo de incidencia en el que ocurre la intensidad mínima y es la longitud de onda de la luz. ${\displaystyle \lambda /2}$ ${\displaystyle {\frac {d\sin(\theta )}{2}}}$ ${\displaystyle \theta _{\text{min}}}$ $${\displaystyle d\,\sin \theta _{\text{min}}=\lambda ,}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta _{\text{min}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Se puede utilizar un argumento similar para demostrar que si imaginamos que la rendija se divide en cuatro, seis, ocho partes, etc., los mínimos se obtienen en ángulos dados por donde es un número entero distinto de cero. ${\displaystyle \theta _{n}}$ $${\displaystyle d\,\sin \theta _{n}=n\lambda ,}$$ ${\displaystyle n}$

No existe un argumento tan simple que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción. El perfil de intensidad se puede calcular utilizando la ecuación de difracción de Fraunhofer como donde es la intensidad en un ángulo dado, es la intensidad en el máximo central ( ), que también es un factor de normalización del perfil de intensidad que se puede determinar mediante una integración de a y la conservación de la energía, y , que es la función sinc no normalizada . $${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta \right),}$$ ${\displaystyle I(\theta )}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}}$

Este análisis se aplica sólo al campo lejano ( difracción de Fraunhofer ), es decir, a una distancia mucho mayor que el ancho de la rendija.

Del perfil de intensidad anterior, si , la intensidad tendrá poca dependencia de , por lo tanto, el frente de onda que emerge de la rendija se parecería a una onda cilíndrica con simetría azimutal; si , solo tendría una intensidad apreciable, por lo tanto, el frente de onda que emerge de la rendija se parecería al de la óptica geométrica . ${\displaystyle d\ll \lambda }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\gg \lambda }$ ${\displaystyle \theta \approx 0}$

Cuando el ángulo de incidencia de la luz sobre la rendija no es cero (lo que provoca un cambio en la longitud del recorrido ), el perfil de intensidad en el régimen de Fraunhofer (es decir, campo lejano) se convierte en: ${\displaystyle \theta _{\text{i}}}$ $${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {d\pi }{\lambda }}(\sin \theta \pm \sin \theta _{\text{i}})\right]}$$

La elección del signo más/menos depende de la definición del ángulo de incidencia . ${\displaystyle \theta _{\text{i}}}$

Difracción de luz láser roja mediante 2 rendijas (arriba) y 5 rendijas

Difracción de un láser rojo mediante una rejilla de difracción

Patrón de difracción de un láser de 633 nm a través de una rejilla de 150 rendijas

Rejilla de difracción

Rejilla de difracción

Una rejilla de difracción es un componente óptico con un patrón regular. La forma de la luz difractada por una rejilla depende de la estructura de los elementos y del número de elementos presentes, pero todas las rejillas tienen máximos de intensidad en ángulos θ _m que se dan mediante la ecuación de la rejilla donde es el ángulo en el que incide la luz, es la separación de los elementos de la rejilla y es un número entero que puede ser positivo o negativo. $${\displaystyle d\left(\sin {\theta _{m}}\pm \sin {\theta _{i}}\right)=m\lambda ,}$$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$

La luz difractada por una rejilla se obtiene sumando la luz difractada de cada uno de los elementos, y es esencialmente una convolución de patrones de difracción e interferencia.

La figura muestra la luz difractada por rejillas de 2 y 5 elementos donde los espaciamientos de las rejillas son los mismos; se puede ver que los máximos están en la misma posición, pero las estructuras detalladas de las intensidades son diferentes.

Abertura circular

Una imagen generada por computadora de un disco de Airy

Patrón de difracción de una abertura circular a varias distancias

La difracción de campo lejano de una onda plana que incide sobre una abertura circular se suele denominar disco de Airy . La variación de intensidad con el ángulo se da por donde es el radio de la abertura circular, es igual a y es una función de Bessel . Cuanto menor sea la abertura, mayor será el tamaño del punto a una distancia dada y mayor será la divergencia de los haces difractados. $${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2},}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle J_{1}}$

Apertura general

La onda que emerge de una fuente puntual tiene una amplitud en la ubicación que viene dada por la solución de la ecuación de onda del dominio de frecuencia para una fuente puntual (la ecuación de Helmholtz ), donde es la función delta tridimensional. La función delta solo tiene dependencia radial, por lo que el operador de Laplace (también conocido como laplaciano escalar) en el sistema de coordenadas esféricas se simplifica a ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi ).}$$

(Véase del en coordenadas cilíndricas y esféricas ). Por sustitución directa, se puede demostrar fácilmente que la solución de esta ecuación es la función escalar de Green , que en el sistema de coordenadas esféricas (y utilizando la convención de tiempo de la física ) es ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$ $${\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}.}$$

Esta solución supone que la fuente de la función delta se encuentra en el origen. Si la fuente se encuentra en un punto de origen arbitrario, denotado por el vector y el punto de campo se encuentra en el punto , entonces podemos representar la función de Green escalar (para una ubicación de origen arbitraria) como ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

Por lo tanto, si un campo eléctrico incide sobre la apertura, el campo producido por esta distribución de apertura está dado por la integral de superficie ${\displaystyle E_{\mathrm {inc} }(x,y)}$ $${\displaystyle \Psi (r)\propto \iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')~{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dx'\,dy',}$$

Sobre el cálculo de los campos de la región Fraunhofer

donde el punto de fuente en la apertura está dado por el vector $${\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} .}$$

En el campo lejano, donde se puede emplear la aproximación de rayos paralelos, la función de Green se simplifica como se puede ver en la figura adyacente. $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}},}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}$$

La expresión para el campo de la zona lejana (región de Fraunhofer) se convierte en $${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}\,dx'\,dy'.}$$

Ahora, dado que y la expresión para el campo de la región de Fraunhofer de una apertura plana ahora se convierte en $${\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} ,}$$ $${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x'+\sin \phi y')}\,dx'\,dy'.}$$

Dejando que el campo de la región de Fraunhofer de la apertura plana asuma la forma de una transformada de Fourier $${\displaystyle k_{x}=k\sin \theta \cos \phi }$$ $${\displaystyle k_{y}=k\sin \theta \sin \phi \,,}$$ $${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-i(k_{x}x'+k_{y}y')}\,dx'\,dy',}$$

En la región de campo lejano/Fraunhofer, esto se convierte en la transformada de Fourier espacial de la distribución de la apertura. El principio de Huygens, cuando se aplica a una apertura, simplemente dice que el patrón de difracción de campo lejano es la transformada de Fourier espacial de la forma de la apertura, y esto es un subproducto directo del uso de la aproximación de rayos paralelos, que es idéntica a hacer una descomposición de ondas planas de los campos del plano de la apertura (ver Óptica de Fourier ).

Propagación de un rayo láser

La forma en que cambia el perfil del haz de un rayo láser a medida que se propaga está determinada por la difracción. Cuando todo el haz emitido tiene un frente de onda plano y coherente espacialmente , se aproxima al perfil del haz gaussiano y tiene la divergencia más baja para un diámetro dado. Cuanto más pequeño es el haz de salida, más rápido diverge. Es posible reducir la divergencia de un haz láser expandiéndolo primero con una lente convexa y luego colimándolo con una segunda lente convexa cuyo punto focal coincide con el de la primera lente. El haz resultante tiene un diámetro mayor y, por lo tanto, una divergencia menor. La divergencia de un haz láser puede reducirse por debajo de la difracción de un haz gaussiano o incluso revertirse a la convergencia si el índice de refracción del medio de propagación aumenta con la intensidad de la luz. ^[20] Esto puede resultar en un efecto de autoenfoque .

Cuando el frente de onda del haz emitido presenta perturbaciones, solo la longitud de coherencia transversal (donde la perturbación del frente de onda es menor que 1/4 de la longitud de onda) debe considerarse como un diámetro de haz gaussiano al determinar la divergencia del haz láser. Si la longitud de coherencia transversal en la dirección vertical es mayor que en la horizontal, la divergencia del haz láser será menor en la dirección vertical que en la horizontal.

Imágenes limitadas por difracción

En esta afortunada imagen de la estrella binaria zeta Boötis se puede ver el disco de Airy que rodea cada una de las estrellas desde la apertura del telescopio de 2,56 m .

La capacidad de un sistema de imágenes para resolver detalles está limitada en última instancia por la difracción . Esto se debe a que una onda plana que incide en una lente o espejo circular se difracta como se describió anteriormente. La luz no se enfoca en un punto sino que forma un disco de Airy que tiene un punto central en el plano focal cuyo radio (medido hasta el primer nulo) es donde es la longitud de onda de la luz y es el número f (longitud focal dividida por el diámetro de apertura ) de la óptica de imágenes; esto es estrictamente preciso para ( caso paraxial ). En el espacio de objetos, la resolución angular correspondiente es donde es el diámetro de la pupila de entrada de la lente de imágenes (por ejemplo, del espejo principal de un telescopio). $${\displaystyle \Delta x=1.22\lambda N,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle N\gg 1}$ $${\displaystyle \theta \approx \sin \theta =1.22{\frac {\lambda }{D}},}$$ ${\displaystyle D}$

Dos fuentes puntuales producirán cada una un patrón de Airy (véase la fotografía de una estrella binaria). A medida que las fuentes puntuales se acerquen, los patrones comenzarán a superponerse y, finalmente, se fusionarán para formar un patrón único, en cuyo caso las dos fuentes puntuales no se pueden resolver en la imagen. El criterio de Rayleigh especifica que dos fuentes puntuales se consideran "resueltas" si la separación de las dos imágenes es al menos el radio del disco de Airy, es decir, si el primer mínimo de una coincide con el máximo de la otra.

Por lo tanto, cuanto mayor sea la apertura de la lente en comparación con la longitud de onda, más fina será la resolución del sistema de captura de imágenes. Esta es una de las razones por las que los telescopios astronómicos requieren objetivos grandes y por las que los objetivos de los microscopios requieren una gran apertura numérica (un gran diámetro de apertura en comparación con la distancia de trabajo) para obtener la mayor resolución posible.

Patrones moteados

El patrón de moteado que se observa al utilizar un puntero láser es otro fenómeno de difracción. Es el resultado de la superposición de muchas ondas con diferentes fases, que se producen cuando un haz láser ilumina una superficie rugosa. Se suman para dar una onda resultante cuya amplitud, y por lo tanto su intensidad, varía aleatoriamente.

Principio de Babinet

El principio de Babinet es un teorema útil que establece que el patrón de difracción de un cuerpo opaco es idéntico al de un agujero del mismo tamaño y forma, pero con diferentes intensidades. Esto significa que las condiciones de interferencia de una única obstrucción serían las mismas que las de una única rendija.

"Filo de cuchillo"

El efecto de borde de cuchillo o difracción de borde de cuchillo es un truncamiento de una porción de la radiación incidente que golpea un obstáculo bien definido, como una cadena montañosa o la pared de un edificio. El efecto de borde de cuchillo se explica por el principio de Huygens-Fresnel , que establece que una obstrucción bien definida para una onda electromagnética actúa como una fuente secundaria y crea un nuevo frente de onda . Este nuevo frente de onda se propaga en el área de sombra geométrica del obstáculo.

La difracción de borde de cuchillo es una consecuencia del " problema del semiplano ", resuelto originalmente por Arnold Sommerfeld utilizando una formulación de espectro de onda plana. Una generalización del problema del semiplano es el "problema de la cuña", solucionable como un problema de valor límite en coordenadas cilíndricas. La solución en coordenadas cilíndricas fue luego extendida al régimen óptico por Joseph B. Keller , quien introdujo la noción de coeficientes de difracción a través de su teoría geométrica de la difracción (GTD). En 1974, Prabhakar Pathak y Robert Kouyoumjian extendieron los coeficientes de Keller (singulares) a través de la teoría uniforme de la difracción (UTD). ^{[21] [22]}

• Difracción en un borde metálico afilado
• Difracción en una apertura suave, con un gradiente de conductividad a lo largo del ancho de la imagen

Patrones

La mitad superior de esta imagen muestra un patrón de difracción del haz de láser He-Ne sobre una abertura elíptica. La mitad inferior es su transformada de Fourier 2D que reconstruye aproximadamente la forma de la abertura.

Se pueden hacer varias observaciones cualitativas de la difracción en general:

• El espaciamiento angular de las características en el patrón de difracción es inversamente proporcional a las dimensiones del objeto que causa la difracción. En otras palabras: cuanto más pequeño sea el objeto que difracta, más "ancho" será el patrón de difracción resultante, y viceversa. (Más precisamente, esto es cierto en el caso de los senos de los ángulos).
• Los ángulos de difracción son invariantes bajo la escala, es decir, dependen únicamente de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del objeto difractante.
• Cuando el objeto que difracta tiene una estructura periódica, por ejemplo en una red de difracción, las características generalmente se vuelven más nítidas. La tercera figura, por ejemplo, muestra una comparación de un patrón de doble rendija con un patrón formado por cinco rendijas, en el que ambos conjuntos de rendijas tienen el mismo espaciamiento entre el centro de una rendija y el de la siguiente.

Difracción de ondas de materia

Según la teoría cuántica, cada partícula presenta propiedades ondulatorias y, por lo tanto, puede difractarse. La difracción de electrones y neutrones es uno de los argumentos más poderosos a favor de la mecánica cuántica. La longitud de onda asociada con una partícula es la longitud de onda de De Broglie, donde es la constante de Planck y es el momento de la partícula (masa × velocidad para partículas de movimiento lento). Por ejemplo, un átomo de sodio que se desplaza a unos 300 m/s tendría una longitud de onda de De Broglie de unos 50 picómetros. $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}\,,}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$

Se ha observado la difracción de ondas de materia en partículas pequeñas, como electrones, neutrones, átomos e incluso moléculas grandes. La corta longitud de onda de estas ondas de materia las hace ideales para estudiar la estructura cristalina atómica de sólidos, moléculas pequeñas y proteínas.

Difracción de Bragg

Según la ley de Bragg , cada punto (o reflexión ) de este patrón de difracción se forma a partir de la interferencia constructiva de los rayos X que pasan a través de un cristal. Los datos se pueden utilizar para determinar la estructura atómica del cristal.

La difracción de una gran estructura periódica tridimensional, como muchos miles de átomos en un cristal, se llama difracción de Bragg . Es similar a lo que ocurre cuando las ondas se dispersan desde una rejilla de difracción . La difracción de Bragg es una consecuencia de la interferencia entre ondas que se reflejan desde muchos planos cristalinos diferentes. La condición de interferencia constructiva viene dada por la ley de Bragg : donde es la longitud de onda, es la distancia entre los planos cristalinos, es el ángulo de la onda difractada y es un número entero conocido como el orden del haz difractado. $${\displaystyle m\lambda =2d\sin \theta ,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle m}$

La difracción de Bragg se puede llevar a cabo utilizando radiación electromagnética de longitud de onda muy corta, como los rayos X , u ondas de materia como los neutrones (y electrones ) cuya longitud de onda es del orden de (o mucho menor que) el espaciamiento atómico. ^[23] El patrón producido proporciona información sobre las separaciones de los planos cristalográficos , lo que permite deducir la estructura cristalina. ${\displaystyle d}$

Para completar, la difracción de Bragg es un límite para una gran cantidad de átomos con rayos X o neutrones, y rara vez es válida para la difracción de electrones o con partículas sólidas en el rango de tamaño de menos de 50 nanómetros. ^[23]

Coherencia

La descripción de la difracción se basa en la interferencia de ondas que emanan de la misma fuente y que toman caminos diferentes hacia el mismo punto en una pantalla. En esta descripción, la diferencia de fase entre ondas que toman caminos diferentes depende únicamente de la longitud efectiva del camino. Esto no tiene en cuenta el hecho de que las ondas que llegan a la pantalla al mismo tiempo fueron emitidas por la fuente en momentos diferentes. La fase inicial con la que la fuente emite ondas puede cambiar con el tiempo de una manera impredecible. Esto significa que las ondas emitidas por la fuente en momentos demasiado distantes ya no pueden formar un patrón de interferencia constante, ya que la relación entre sus fases ya no es independiente del tiempo. ^{[24] : 919}

La longitud en la que se correlaciona la fase de un haz de luz se denomina longitud de coherencia . Para que se produzca una interferencia, la diferencia de longitud de trayectoria debe ser menor que la longitud de coherencia. A esto a veces se lo denomina coherencia espectral, ya que está relacionado con la presencia de diferentes componentes de frecuencia en la onda. En el caso de la luz emitida por una transición atómica , la longitud de coherencia está relacionada con la duración del estado excitado desde el cual el átomo realizó su transición. ^{[25] : 71–74  [26] : 314–316}

Si las ondas se emiten desde una fuente extendida, esto puede provocar incoherencia en la dirección transversal. Al observar una sección transversal de un haz de luz, la longitud en la que se correlaciona la fase se denomina longitud de coherencia transversal. En el caso del experimento de doble rendija de Young, esto significaría que si la longitud de coherencia transversal es menor que el espaciamiento entre las dos rendijas, el patrón resultante en una pantalla se vería como dos patrones de difracción de una sola rendija. ^{[25] : 74–79}

En el caso de partículas como electrones, neutrones y átomos, la longitud de coherencia está relacionada con la extensión espacial de la función de onda que describe la partícula. ^{[27] : 107}

Aplicaciones

Difracción antes de la destrucción

Desde la década de 2010 ha surgido una nueva forma de obtener imágenes de partículas biológicas individuales, que utiliza los rayos X brillantes generados por láseres de electrones libres de rayos X. Estos pulsos de una duración de femtosegundos permitirán la obtención (potencial) de imágenes de macromoléculas biológicas individuales. Debido a estos pulsos cortos, se puede superar el daño por radiación y se podrán obtener patrones de difracción de macromoléculas biológicas individuales. ^{[28] [29]}

Véase también

• Píxel sensible al ángulo
• Difracción atmosférica
• Espectro de Brocken
• Iridiscencia de las nubes
• Imágenes de difracción coherente
• Difracción por rendijas
• Pico de difracción
• Difracción vs. interferencia
• Vela solar difractiva
• Difractómetro
• Teoría dinámica de la difracción
• Difracción de electrones
• Difracción de Fraunhofer
• Generador de imágenes de Fresnel
• Número de Fresnel
• Zona de Fresnel
• Función de dispersión de puntos
• Difracción de polvo
• Cuasióptica
• Refracción
• Reflexión
• Difracción de Schaefer-Bergmann
• La maldición de la matriz reducida
• Difracción de rayos X

Referencias

1. Francesco Maria Grimaldi, Physico mathesis de lumine, coloribus, et iride, aliisque anexis libri duo (Bolonia ("Bonomia"), Italia: Vittorio Bonati, 1665), página 2 Archivado el 1 de diciembre de 2016 en Wayback Machine :

   Original  : Nobis alius quartus modus illuxit, quem nunc proponimus, vocamusque; difractionem, quia advertimus lumen aliquando diffringi, hoc est partes eius multiplici dissectione separatas per idem tamen medium in diversa ulterius procedere, eo modo, quem mox declarabimus.

   Traducción  : Nos ha iluminado otra cuarta vía, que ahora damos a conocer y llamamos "difracción" [es decir, fragmentación], porque a veces observamos que la luz se fragmenta; es decir, que partes del compuesto [es decir, el haz de luz], separadas por división, avanzan más a través del medio pero en diferentes [direcciones], como pronto mostraremos.

2. Cajori, Florian "Una historia de la física en sus ramas elementales, incluida la evolución de los laboratorios físicos". Archivado el 1 de diciembre de 2016 en Wayback Machine. MacMillan Company, Nueva York, 1899.
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7. Komech, Alexander; Merzon, Anatoli (2019), Komech, Alexander; Merzon, Anatoli (eds.), "La teoría temprana de la difracción", Difracción estacionaria por cuñas: método de funciones automórficas sobre características complejas , Cham: Springer International Publishing, págs. 15-17, doi :10.1007/978-3-030-26699-8_2, ISBN 978-3-030-26699-8, consultado el 25 de abril de 2024
8. Francesco Maria Grimaldi, Physico-mathesis de lumine, coloribus, et iride, aliisque annexis… [Las matemáticas físicas de la luz, el color y el arco iris, y otras cosas adjuntas…] (Bolonia ("Bonomia"), (Italia): Vittorio Bonati, 1665), págs. 1-11 Archivado el 1 de diciembre de 2016 en Wayback Machine : "Propositio I. Lumen propagatur seu diffunditur non solum directe, refracte, ac reflexe, sed etiam alio quodam quarto modo, difracte". (Proposición 1. La luz se propaga o difunde no sólo en línea recta, por refracción y por reflexión, sino también por una cuarta vía algo diferente: por difracción.) En la p. 187, Grimaldi también analiza la interferencia de la luz de dos fuentes: "Propositio XXII. Lumen aliquando per sui comunicaciónem reddit obscuriorem superficiem corporis aliunde, ac prius illustratam". (Proposición 22. A veces la luz, como resultado de su transmisión, oscurece la superficie de un cuerpo, [que había sido] previamente iluminado por otra [fuente].)
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28. Neutze, Richard; Wouts, Remco; van der Spoel, David; Weckert, Edgar; Hajdu, Janos (agosto de 2000). "Potencial para la obtención de imágenes biomoleculares con pulsos de rayos X de femtosegundos". Nature . 406 (6797): 752–757. Bibcode :2000Natur.406..752N. doi :10.1038/35021099. ISSN  1476-4687. PMID  10963603. S2CID  4300920.
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Enlaces externos

• Las conferencias de física de Feynman, vol. I, cap. 30: difracción
• "Dispersión y difracción". Cristalografía . Unión Internacional de Cristalografía .
• Usando un CD como rejilla de difracción en YouTube