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Método de elementos de contorno

El método de elementos de contorno ( BEM ) es un método computacional numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales que se han formulado como ecuaciones integrales (es decir, en forma integral de contorno ), que incluye mecánica de fluidos , acústica , electromagnetismo (donde la técnica se conoce como método de momentos o abreviado como MoM ), [1] mecánica de fracturas , [2] y mecánica de contacto . [3] [4]

Base matemática

La ecuación integral puede considerarse como una solución exacta de la ecuación diferencial parcial que la rige. El método de elementos de contorno intenta utilizar las condiciones de contorno dadas para ajustar los valores de contorno a la ecuación integral, en lugar de valores en todo el espacio definido por una ecuación diferencial parcial. Una vez hecho esto, en la etapa de posprocesamiento, la ecuación integral puede utilizarse nuevamente para calcular numéricamente la solución directamente en cualquier punto deseado en el interior del dominio de la solución.

El BEM es aplicable a problemas para los que se pueden calcular las funciones de Green . Estos suelen implicar campos en medios homogéneos lineales . Esto impone restricciones considerables en el rango y generalidad de los problemas a los que se pueden aplicar de manera útil los elementos de contorno. Se pueden incluir no linealidades en la formulación, aunque generalmente introducirán integrales de volumen que luego requieren que el volumen se discretice antes de que se pueda intentar la solución, eliminando una de las ventajas más citadas del BEM [ cita requerida ] . Una técnica útil para tratar la integral de volumen sin discretizar el volumen es el método de reciprocidad dual. La técnica aproxima parte del integrando utilizando funciones de base radial (funciones de interpolación local) y convierte la integral de volumen en integral de contorno después de colocarla en puntos seleccionados distribuidos por todo el dominio del volumen (incluido el contorno). En el BEM de reciprocidad dual, aunque no hay necesidad de discretizar el volumen en mallas, las incógnitas en puntos elegidos dentro del dominio de la solución están involucradas en las ecuaciones algebraicas lineales que aproximan el problema que se está considerando.

Los elementos de la función de Green que conectan pares de parches de fuente y de campo definidos por la malla forman una matriz, que se resuelve numéricamente. A menos que la función de Green se comporte bien, al menos para pares de parches cercanos entre sí, la función de Green debe integrarse sobre uno o ambos parches de fuente y de campo. La forma del método en la que las integrales sobre los parches de fuente y de campo son las mismas se llama " método de Galerkin ". El método de Galerkin es el enfoque obvio para los problemas que son simétricos con respecto al intercambio de los puntos de fuente y de campo. En el electromagnetismo del dominio de la frecuencia, esto se asegura mediante la reciprocidad electromagnética . El costo de cálculo involucrado en las implementaciones ingenuas de Galerkin es típicamente bastante severo. Uno debe recorrer cada par de elementos (por lo que obtenemos n 2 interacciones) y para cada par de elementos recorremos los puntos de Gauss en los elementos produciendo un factor multiplicativo proporcional al número de puntos de Gauss al cuadrado. Además, las evaluaciones de funciones requeridas suelen ser bastante costosas e implican llamadas a funciones trigonométricas o hiperbólicas. No obstante, la principal fuente del costo computacional es este doble bucle sobre los elementos que produce una matriz completamente poblada.

Las funciones de Green , o soluciones fundamentales , suelen ser problemáticas de integrar ya que se basan en una solución de las ecuaciones del sistema sujetas a una carga singular (por ejemplo, el campo eléctrico que surge de una carga puntual). La integración de estos campos singulares no es fácil. Para geometrías de elementos simples (por ejemplo, triángulos planos), se puede utilizar la integración analítica. Para elementos más generales, es posible diseñar esquemas puramente numéricos que se adapten a la singularidad, pero con un gran coste computacional. Por supuesto, cuando el punto de origen y el elemento de destino (donde se realiza la integración) están muy separados, no es necesario cuantificar exactamente el gradiente local que rodea al punto y se hace posible la integración fácilmente debido a la desintegración suave de la solución fundamental. Esta es la característica que se emplea normalmente en esquemas diseñados para acelerar los cálculos de problemas de elementos de contorno.

La derivación de funciones de Green de forma cerrada es de particular interés en el método de elementos de contorno, especialmente en electromagnetismo. Específicamente en el análisis de medios estratificados, la derivación de la función de Green del dominio espacial requiere la inversión de la función de Green del dominio espectral analíticamente derivable a través de la integral de trayectoria de Sommerfeld. Esta integral no se puede evaluar analíticamente y su integración numérica es costosa debido a su comportamiento oscilatorio y de convergencia lenta. Para un análisis robusto, las funciones de Green espaciales se aproximan como exponenciales complejas con métodos como el método de Prony o el lápiz generalizado de funciones , y la integral se evalúa con la identidad de Sommerfeld . [5] [6] [7] [8] Este método se conoce como método de imagen compleja discreta. [7] [8]

Comparación con otros métodos

El método de elementos de contorno es a menudo más eficiente que otros métodos, incluidos los elementos finitos, en términos de recursos computacionales para problemas donde hay una pequeña relación superficie/volumen. [9] Conceptualmente, funciona construyendo una " malla " sobre la superficie modelada. Sin embargo, para muchos problemas los métodos de elementos de contorno son significativamente menos eficientes que los métodos de discretización de volumen ( método de elementos finitos , método de diferencias finitas , método de volumen finito ). Un buen ejemplo de aplicación del método de elementos de contorno es el cálculo eficiente de frecuencias naturales de chapoteo de líquidos en tanques. [10] [11] [12] El método de elementos de contorno es uno de los métodos más efectivos para la simulación numérica de problemas de contacto, [13] en particular para la simulación de contactos adhesivos. [14]

Las formulaciones de elementos de contorno suelen dar lugar a matrices completamente pobladas. Esto significa que los requisitos de almacenamiento y el tiempo computacional tenderán a crecer de acuerdo con el cuadrado del tamaño del problema. Por el contrario, las matrices de elementos finitos suelen estar en bandas (los elementos solo están conectados localmente) y los requisitos de almacenamiento para las matrices del sistema suelen crecer de forma bastante lineal con el tamaño del problema. Se pueden utilizar técnicas de compresión (por ejemplo, expansiones multipolares o aproximaciones cruzadas adaptativas/ matrices jerárquicas ) para mejorar estos problemas, aunque a costa de una mayor complejidad y con una tasa de éxito que depende en gran medida de la naturaleza del problema que se está resolviendo y de la geometría involucrada.

Véase también

Referencias

  1. ^ En electromagnetismo, el término más tradicional "método de momentos" se utiliza a menudo, aunque no siempre, como sinónimo de "método de elementos límite": consulte (Gibson 2008) para obtener más información sobre el tema.
  2. ^ El método de elementos de contorno es muy adecuado para analizar grietas en sólidos. Existen varios enfoques de elementos de contorno para problemas de grietas. Uno de estos enfoques es formular las condiciones de las grietas en términos de ecuaciones integrales de contorno hipersingulares, véase (Ang 2013).
  3. ^ Pohrt, R.; Li, Q. (1 de octubre de 2014). "Formulación completa de elementos de contorno para problemas de contacto normal y tangencial". Mesomecánica física . 17 (4): 334–340. doi :10.1134/S1029959914040109. ISSN  1029-9599. S2CID  137494525.
  4. ^ "Tutorial de cálculo de presión de contacto basado en BEM". www.tribonet.org . 9 de noviembre de 2017.
  5. ^ Chow, YL; Yang, JJ; Fang, DG; Howard, GE (marzo de 1991). "Una función de Green espacial de forma cerrada para el sustrato de microbanda gruesa". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 39 (3): 588–592. Bibcode :1991ITMTT..39..588C. doi :10.1109/22.75309.
  6. ^ Aksun, MI (febrero de 2003). "Un enfoque robusto para la derivación de funciones de Green de forma cerrada". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 44 (5): 651–658. doi :10.1109/22.493917. hdl : 11693/10779 .
  7. ^ ab Teo, Swee-Ann (2000). "Método de imagen compleja discreta para funciones de Green de medios multicapa generales". IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 10 (10): 400–402. doi :10.1109/75.877225.
  8. ^ ab Teo, Swee-Ann; Chew, Siou-Teck; Leong, Mook-Seng (febrero de 2003). "Análisis de errores del método de imagen compleja discreta y extracción de polos". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 51 (2): 406–412. Bibcode :2003ITMTT..51..406T. doi :10.1109/TMTT.2002.807834.
  9. ^ Véase (Katsikadelis 2002).
  10. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (1 de septiembre de 2015). "Chapoteo dinámico tridimensional de líquidos en tanques horizontales parcialmente llenos sujetos a excitaciones longitudinales y laterales simultáneas". European Journal of Mechanics B . 53 : 251–263. Bibcode :2015EuJMB..53..251K. doi :10.1016/j.euromechflu.2015.06.001.
  11. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (31 de enero de 2015). "Un método acoplado multimodal y de elementos de contorno para el análisis de la eficacia antisalpicaduras de deflectores parciales en un contenedor parcialmente lleno". Computers & Fluids . 107 : 43–58. doi :10.1016/j.compfluid.2014.10.013.
  12. ^ Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (14 de noviembre de 2014). Volumen 4A: Dinámica, vibración y control . pp. V04AT04A067. doi :10.1115/IMECE2014-37271. ISBN . 978-0-7918-4647-6.
  13. ^ Popov, Valentin (2017). Mecánica de contacto y fricción: principios físicos y (capítulo 19). Springer. pp. 337–341. ISBN 9783662530801.
  14. ^ Pohrt, Roman; Popov, Valentin L. (9 de abril de 2015). "Simulación del contacto adhesivo de sólidos elásticos utilizando el criterio de desprendimiento dependiente de la malla local en el método de elementos de contorno". Facta Universitatis, Serie: Ingeniería mecánica . 13 (1): 3–10.
  15. ^ Najarzadeh, L., Movahedian, B. y Azhari, M., 2022. Solución numérica de problemas de propagación de ondas de agua sobre batimetrías variables utilizando el método de elementos de contorno de integración radial modificado. Ocean Engineering, 257, p.111613.
  16. ^ Najarzadeh, L., Movahedian, B. y Azhari, M., 2019. Solución numérica de la ecuación de onda escalar mediante el método de elementos de contorno de integración radial modificado. Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 105, págs. 267-278.

Bibliografía

Lectura adicional

Enlaces externos

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