Ideal (teoría del anillo)

Subgrupo aditivo de un anillo matemático que absorbe la multiplicación.

En matemáticas , y más concretamente en teoría de anillos , un ideal de anillo es un subconjunto especial de sus elementos. Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de números enteros , como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y resta de números pares preserva la uniformidad, y multiplicar un número par por cualquier número entero (par o impar) da como resultado un número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades definitorias de un ideal. Se puede utilizar un ideal para construir un anillo cociente de forma similar a como, en la teoría de grupos , se puede utilizar un subgrupo normal para construir un grupo cociente .

Entre los números enteros, los ideales se corresponden uno a uno con los números enteros no negativos : en este anillo, cada ideal es un ideal principal formado por los múltiplos de un único número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden no corresponder directamente a los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los números enteros, cuando se generalizan a los anillos, se vinculan más naturalmente a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primos de un anillo son análogos a los números primos , y el teorema chino del resto se puede generalizar a ideales. Existe una versión de factorización prima única para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante en la teoría de números ).

El concepto relacionado, pero distinto, de ideal en la teoría del orden se deriva de la noción de ideal en la teoría de anillos. Un ideal fraccionario es una generalización de un ideal, y los ideales habituales a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.

Historia

Ernst Kummer inventó el concepto de números ideales para que sirvieran como factores "faltantes" en anillos numéricos en los que falla la factorización única; aquí la palabra "ideal" tiene el sentido de existir sólo en la imaginación, en analogía con los objetos "ideales" en geometría, como los puntos en el infinito. ^[1] En 1876, Richard Dedekind reemplazó el concepto indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que llamó ideales, en la tercera edición del libro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie , al que Dedekind había añadido muchos suplementos. ^{[1] [2] [3] Posteriormente} , David Hilbert y especialmente Emmy Noether extendieron la noción más allá de los anillos numéricos hasta el establecimiento de anillos polinomiales y otros anillos conmutativos .

Definiciones y motivación

Para un anillo arbitrario , sea su grupo aditivo . Un subconjunto I se llama ideal izquierdo de si es un subgrupo aditivo de que "absorbe la multiplicación de la izquierda por elementos de "; es decir, es un ideal de izquierda si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ${\displaystyle (R,+)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle (I,+)}$es un subgrupo de , ${\displaystyle (R,+)}$
2. Para todos y cada uno , el producto está de moda . ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle rx}$ ${\displaystyle I}$

Un ideal correcto se define con la condición reemplazada por . Un ideal bilateral es un ideal de izquierda que también es un ideal de derecha y, a veces, se le llama simplemente ideal. En el lenguaje de módulos , las definiciones significan que un ideal izquierdo (respectivamente derecho, de dos lados) es un submódulo de cuando se ve como un módulo izquierdo (respectivamente derecho, bi-) . Cuando es un anillo conmutativo, las definiciones de ideal izquierdo, derecho e ideal de dos lados coinciden, y el término ideal se usa solo. ${\displaystyle rx\in I}$ ${\displaystyle xr\in I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Para comprender el concepto de ideal, consideremos cómo surgen los ideales en la construcción de anillos de "módulo de elementos". Para ser más concretos, veamos el anillo de números enteros módulo dado un número entero ( es un anillo conmutativo). La observación clave aquí es que obtenemos tomando la línea de números enteros y envolviéndola sobre sí misma para que se identifiquen varios números enteros. Para ello debemos cumplir dos requisitos: ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1. ${\displaystyle n}$debe identificarse con 0 ya que es congruente con 0 módulo . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
2. la estructura resultante debe ser nuevamente un anillo.

El segundo requisito nos obliga a hacer identificaciones adicionales (es decir, determina la manera precisa en la que debemos envolvernos sobre sí mismo). La noción de ideal surge cuando nos hacemos la pregunta: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

¿Cuál es el conjunto exacto de números enteros que nos vemos obligados a identificar con 0?

La respuesta es, como era de esperar, el conjunto de todos los números enteros congruentes con módulo 0 . Es decir, debemos enrollarnos sobre sí mismo infinitas veces para que todos los números enteros se alineen con 0. Si observamos qué propiedades debe satisfacer este conjunto para garantizar que sea un anillo, entonces llegamos a la definición de un ideal. De hecho, se puede verificar directamente que es un ideal de . ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nm\mid m\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \ldots ,-2n,-n,n,2n,3n,\ldots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Observación. También es necesario realizar identificaciones con elementos distintos de 0. Por ejemplo, los elementos de deben identificarse con 1, los elementos de deben identificarse con 2, y así sucesivamente. Estos, sin embargo, están determinados únicamente por ser un grupo aditivo. ${\displaystyle 1+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Podemos hacer una construcción similar en cualquier anillo conmutativo : comenzar con un elemento arbitrario y luego identificar con 0 todos los elementos del ideal . Resulta que el ideal es el ideal más pequeño que contiene , llamado ideal generado por . De manera más general, podemos comenzar con un subconjunto arbitrario y luego identificar con 0 todos los elementos del ideal generado por : el ideal más pequeño tal que . El anillo que obtenemos tras la identificación depende sólo del ideal y no del conjunto con el que empezamos. Es decir, si , entonces los anillos resultantes serán los mismos. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle xR=\{xr\mid r\in R\}}$ ${\displaystyle xR}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle S\subseteq (S)}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S)=(T)}$

Por lo tanto, un ideal de anillo conmutativo captura canónicamente la información necesaria para obtener el anillo de elementos de módulo de un subconjunto dado . Los elementos de , por definición, son aquellos que son congruentes con cero, es decir, identificados con cero en el anillo resultante. El anillo resultante se llama cociente de by y se denota . Intuitivamente, la definición de ideal postula dos condiciones naturales necesarias para contener todos los elementos designados como "ceros" por : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$

1. ${\displaystyle I}$es un subgrupo aditivo de : el cero 0 de es un "cero" , y si y son "ceros", entonces también es un "cero". ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\in I}$ ${\displaystyle x_{1}\in I}$ ${\displaystyle x_{2}\in I}$ ${\displaystyle x_{1}-x_{2}\in I}$
2. Cualquier multiplicado por "cero" es "cero" . ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle rx\in I}$

Resulta que las condiciones anteriores también son suficientes para contener todos los "ceros" necesarios: ningún otro elemento tiene que ser designado como "cero" para formar . (De hecho, ningún otro elemento debe designarse como "cero" si queremos hacer la menor cantidad de identificaciones). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$

Observación. La construcción anterior todavía funciona utilizando ideales bilaterales incluso si no es necesariamente conmutativa. ${\displaystyle R}$

Ejemplos y propiedades

(En aras de la brevedad, algunos resultados se indican sólo para ideales de izquierda, pero normalmente también son válidos para ideales de derecha con los cambios de notación apropiados).

• En un anillo R , el propio conjunto R forma un ideal bilateral de R llamado ideal unitario . A menudo también se denota por, ya que es precisamente el ideal bilateral generado (ver más abajo) por la unidad . Además, el conjunto que consta únicamente de la identidad aditiva 0 _R forma un ideal bilateral llamado ideal cero y se denota por . ^{[nota 1]} Todo ideal (izquierdo, derecho o bilateral) contiene el ideal cero y está contenido en el ideal unitario. ^[4] ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle 1_{R}}$ ${\displaystyle \{0_{R}\}}$ ${\displaystyle (0)}$
• Un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) que no es el ideal unitario se llama ideal propio (ya que es un subconjunto propio ). ^[5] Nota: un ideal de izquierda es propio si y sólo si no contiene un elemento unitario, ya que si es un elemento unitario, entonces para cada . Normalmente hay muchos ideales adecuados. De hecho, si R es un campo sesgado , entonces son sus únicos ideales y viceversa: es decir, un anillo R distinto de cero es un campo sesgado si son los únicos ideales izquierdo (o derecho). (Prueba: si es un elemento distinto de cero, entonces el ideal principal izquierdo (ver más abajo) es distinto de cero y, por lo tanto , es decir, para algunos distintos de cero . Del mismo modo, para algunos distintos de cero . Entonces .) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle (0),(1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle Rx=(1)}$ ${\displaystyle yx=1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle zy=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• Los números enteros pares forman un ideal en el anillo de todos los números enteros, ya que la suma de dos números enteros pares cualesquiera es par, y el producto de cualquier número entero por un número entero par también es par; este ideal suele denotarse por . De manera más general, el conjunto de todos los números enteros divisibles por un número entero fijo es un ideal denotado . De hecho, todo ideal distinto de cero del anillo es generado por su elemento positivo más pequeño, como consecuencia de la división euclidiana , por lo que también lo es un dominio ideal principal . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales que son divisibles por el polinomio es un ideal en el anillo de todos los polinomios de coeficientes reales . ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$
• Tome un anillo y un número entero positivo . Para cada uno , el conjunto de todas las matrices con entradas en cuya fila -ésima es cero es un ideal derecho en el anillo de todas las matrices con entradas en . No es un ideal de izquierda. De manera similar, para cada , el conjunto de todas las matrices cuya columna -ésima es cero es un ideal izquierdo pero no un ideal derecho. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle j}$
• El anillo de todas las funciones continuas desde hasta debajo de la multiplicación puntual contiene el ideal de todas las funciones continuas tales que . ^[6] Otro ideal en está dado por aquellas funciones que desaparecen para argumentos suficientemente grandes, es decir, aquellas funciones continuas para las que existe un número tal que siempre que . ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=0}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L>0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle \vert x\vert >L}$
• Un anillo se llama anillo simple si es distinto de cero y no tiene ideales bilaterales distintos de . Por tanto, un campo sesgado es simple y un anillo conmutativo simple es un campo. El anillo de matriz sobre un campo sesgado es un anillo simple. ${\displaystyle (0),(1)}$
• Si es un homomorfismo de anillo , entonces el núcleo es un ideal bilateral de . ^[4] Por definición, y, por lo tanto, si no es el anillo cero (entonces ), entonces es un ideal adecuado. De manera más general, para cada ideal izquierdo I de S , la preimagen es un ideal izquierdo. Si I es un ideal izquierdo de R , entonces es un ideal izquierdo del subanillo de S : a menos que f sea sobreyectivo, no necesita ser un ideal de S ; ver también #Extensión y contracción de un ideal a continuación. ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$ ${\displaystyle \ker(f)}$ ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ ${\displaystyle f(I)}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle f(I)}$
• Correspondencia ideal : Dado un homomorfismo de anillo sobreyectivo , existe una correspondencia biyectiva que preserva el orden entre los ideales izquierdos (resp. derechos, bilaterales) de contener el núcleo de y los ideales izquierdos (resp. derechos, bilaterales) de : la correspondencia está dada por y la preimagen . Además, para los anillos conmutativos, esta correspondencia biyectiva se restringe a ideales primos, ideales maximales e ideales radicales (consulte la sección Tipos de ideales para conocer las definiciones de estos ideales). ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I\mapsto f(I)}$ ${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$
• (Para aquellos que conocen módulos) Si M es un módulo R izquierdo y un subconjunto, entonces el aniquilador de S es un ideal izquierdo. Dados los ideales de un anillo conmutativo R , el R -aniquilador de es un ideal de R llamado cociente ideal de by y se denota por ; es un ejemplo de idealizador en álgebra conmutativa. ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$
• Sea una cadena ascendente de ideales de izquierda en un anillo R ; es decir, es un conjunto totalmente ordenado y para cada uno . Entonces la unión es un ideal de izquierda de R . (Nota: este hecho sigue siendo cierto incluso si R no tiene la unidad 1.) ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$
• El hecho anterior junto con el lema de Zorn demuestra lo siguiente: si es un subconjunto posiblemente vacío y es un ideal de izquierda disjunto de E , entonces hay un ideal que es máximo entre los ideales que contienen y disjuntos de E. (Nuevamente, esto sigue siendo válido si el anillo R carece de la unidad 1.) Cuando , tomando y , en particular, existe un ideal de izquierda que es máximo entre los ideales de izquierda propios (a menudo llamado simplemente ideal de izquierda máximo); consulte el teorema de Krull para obtener más información. ${\displaystyle E\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle R\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$ ${\displaystyle E=\{1\}}$
• Una unión arbitraria de ideales no tiene por qué ser un ideal, pero lo siguiente sigue siendo cierto: dado un subconjunto X posiblemente vacío de R , existe el ideal izquierdo más pequeño que contiene a X , llamado ideal izquierdo generado por X y se denota por . Tal ideal existe ya que es la intersección de todos los ideales de izquierda que contienen X. De manera equivalente, es el conjunto de todas las R -combinaciones lineales (finitas) izquierdas de elementos de X sobre R : ${\displaystyle RX}$ ${\displaystyle RX}$

  ${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$

(dado que tal lapso es el ideal izquierdo más pequeño que contiene X .) ^{[nota 2]} Un ideal derecho (resp. bilateral) generado por X se define de manera similar. Para "dos lados", hay que utilizar combinaciones lineales de ambos lados; es decir,

${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,}$

• Un ideal izquierdo (o derecho, de dos caras) generado por un solo elemento x se denomina ideal principal izquierdo (o derecho, de dos caras) generado por x y se denota por (o ). El ideal bilateral principal a menudo también se denota por . Si es un conjunto finito, entonces también se escribe como . ${\displaystyle Rx}$ ${\displaystyle xR,RxR}$ ${\displaystyle RxR}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle RXR}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$
• Existe una correspondencia biyectiva entre ideales y relaciones de congruencia (relaciones de equivalencia que respetan la estructura del anillo) en el anillo: Dado un ideal de un anillo , sea si . Entonces es una relación de congruencia en . Por el contrario, dada una relación de congruencia en , sea . Entonces es un ideal de . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in I}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

Tipos de ideales

Para simplificar la descripción, se supone que todos los anillos son conmutativos. El caso no conmutativo se analiza en detalle en los artículos respectivos.

Los ideales son importantes porque aparecen como núcleos de homomorfismos de anillos y permiten definir anillos de factores . Se estudian diferentes tipos de ideales porque pueden usarse para construir diferentes tipos de anillos de factores.

• Ideal máximo : Un ideal propio I se llama ideal máximo si no existe otro ideal propio J con I un subconjunto adecuado de J. El anillo factorial de un ideal máximo es un anillo simple en general y es un campo para anillos conmutativos. ^[7]
• Ideal mínimo : Un ideal distinto de cero se llama mínimo si no contiene ningún otro ideal distinto de cero.
• Ideal primo : Un ideal propiose llama ideal primo si para cualquierayen, sies en, entonces al menos uno deyestá en. El anillo factorial de un ideal primo es un anillo primo en general y es un dominio integral para anillos conmutativos. ^[8] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$
• Ideal radical o ideal semiprimo : Un ideal propio I se llama radical o semiprimo si para cualquier a en R , si un ⁿ está en I para algún n , entoncesa está en I. El anillo factorial de un ideal radical es un anillo semiprimo para anillos generales y es un anillo reducido para anillos conmutativos.
• Ideal primario : Un ideal I se llama ideal primario si para todos a y b en R , si ab está en I , entonces al menos uno de a y b ⁿ está en I para algún número natural n . Todo ideal primo es primario, pero no a la inversa. Un ideal primario semiprime es primo.
• Ideal principal : Ideal generado por un elemento. ^[9]
• Ideal generado finitamente : este tipo de ideal se genera finitamente como un módulo.
• Ideal primitivo : Un ideal primitivo de izquierda es el aniquilador de un módulo izquierdo simple .
• Ideal irreductible : Se dice que un ideal es irreductible si no puede escribirse como una intersección de ideales que lo contienen propiamente.
• Ideales comaximales : Se dice que dos ideales I , J son comaximales si para algunos y . ${\displaystyle x+y=1}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle y\in J}$
• Ideal regular : este término tiene múltiples usos. Consulte el artículo para obtener una lista.
• Ideal nulo : Un ideal es un ideal nulo si cada uno de sus elementos es nilpotente.
• Ideal nilpotente : parte de su potencia es cero.
• Ideal de parámetro : ideal generado por un sistema de parámetros .
• Ideal perfecto : Un ideal propio I en un anillo noetherianose llama ideal perfecto si su grado es igual a la dimensión proyectiva del anillo cociente asociado, ^[10] . Un ideal perfecto es puro . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$
• Ideal puro : Un ideal propio I en un anillo noetherianose llama ideal puro (en altura) si la altura de I es igual a la altura de cada primo asociado P de R / I . (Esto es más fuerte que decir que R / I es equidimensional . Véase también anillo equidimensional . ${\displaystyle R}$

Otros dos términos importantes que utilizan "ideal" no siempre son ideales de su anillo. Consulte sus respectivos artículos para obtener más detalles:

• Fractional ideal: This is usually defined when R is a commutative domain with quotient field K. Despite their names, fractional ideals are R submodules of K with a special property. If the fractional ideal is contained entirely in R, then it is truly an ideal of R.
• Invertible ideal: Usually an invertible ideal A is defined as a fractional ideal for which there is another fractional ideal B such that AB = BA = R. Some authors may also apply "invertible ideal" to ordinary ring ideals A and B with AB = BA = R in rings other than domains.

Ideal operations

The sum and product of ideals are defined as follows. For ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$, left (resp. right) ideals of a ring R, their sum is

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

which is a left (resp. right) ideal, and, if ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ are two-sided,

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

i.e. the product is the ideal generated by all products of the form ab with a in ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ and b in ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.

Note ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ is the smallest left (resp. right) ideal containing both ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ (or the union ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$), while the product ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ is contained in the intersection of ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.

The distributive law holds for two-sided ideals ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$,

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$,
• ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$.

If a product is replaced by an intersection, a partial distributive law holds:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

where the equality holds if ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ contains ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ or ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

Remark: The sum and the intersection of ideals is again an ideal; with these two operations as join and meet, the set of all ideals of a given ring forms a complete modular lattice. The lattice is not, in general, a distributive lattice. The three operations of intersection, sum (or join), and product make the set of ideals of a commutative ring into a quantale.

If ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ are ideals of a commutative ring R, then ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ in the following two cases (at least)

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ is generated by elements that form a regular sequence modulo ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.

(More generally, the difference between a product and an intersection of ideals is measured by the Tor functor: ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$.^[11])

Un dominio integral se llama dominio de Dedekind si para cada par de ideales existe un ideal tal que . ^[12] Luego se puede demostrar que cada ideal distinto de cero de un dominio de Dedekind puede escribirse de forma única como un producto de ideales máximos, una generalización del teorema fundamental de la aritmética . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

Ejemplos de operaciones ideales

en tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

ya que es el conjunto de números enteros que son divisibles por ambos y . ${\displaystyle (n)\cap (m)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Deja y deja . Entonces, ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$y ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$mientras ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

En el primer cálculo, vemos el patrón general para tomar la suma de dos ideales finitamente generados, es el ideal generado por la unión de sus generadores. En los últimos tres observamos que los productos y las intersecciones concuerdan siempre que los dos ideales se cruzan en el ideal cero. Estos cálculos se pueden verificar usando Macaulay2 . ^{[13] [14] [15]}

radical de un anillo

Los ideales aparecen de forma natural en el estudio de los módulos, especialmente en forma de radical.

Por simplicidad, trabajamos con anillos conmutativos pero, con algunos cambios, los resultados también son válidos para anillos no conmutativos.

Sea R un anillo conmutativo. Por definición, un ideal primitivo de R es el aniquilador de un módulo R simple (distinto de cero) . El radical Jacobson de R es la intersección de todos los ideales primitivos. De manera equivalente, ${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

De hecho, si es un módulo simple y x es un elemento distinto de cero en M , entonces y , es decir, es un ideal máximo. Por el contrario, si es un ideal máximo, entonces es el aniquilador del módulo R simple . También hay otra caracterización (la prueba no es difícil): ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Rx=M}$ ${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

Para un anillo no necesariamente conmutativo, es un hecho general que es un elemento unitario si y sólo si es (ver enlace) y por lo tanto esta última caracterización muestra que el radical se puede definir tanto en términos de ideales primitivos de izquierda como de derecha. . ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1-xy}$

El siguiente hecho simple pero importante ( lema de Nakayama ) está incluido en la definición de un radical de Jacobson: si M es un módulo tal que , entonces M no admite un submódulo máximo , ya que si hay un submódulo máximo , y así , una contradicción. Dado que un módulo generado finitamente distinto de cero admite un submódulo máximo, en particular, se tiene: ${\displaystyle JM=M}$ ${\displaystyle L\subsetneq M}$ ${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$ ${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$

Si y M se genera de forma finita, entonces . ${\displaystyle JM=M}$ ${\displaystyle M=0}$

Un ideal máximo es un ideal primo y por eso se tiene

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

donde la intersección de la izquierda se llama radical nil de R. Resulta que también lo es el conjunto de elementos nilpotentes de R . ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$

Si R es un anillo artiniano , entonces es nilpotente y . (Prueba: en primer lugar, observe que DCC implica para algunos n . Si (DCC) es un ideal propiamente mínimo sobre este último, entonces . Es decir , una contradicción.) ${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$ ${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$ ${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$ ${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$

Extensión y contracción de un ideal.

Sean A y B dos anillos conmutativos , y sea f  : A → B un homomorfismo de anillo . Si es un ideal en A , entonces no necesita ser un ideal en B (por ejemplo, tome f como la inclusión del anillo de números enteros Z en el campo de los racionales Q ). La extensión de en B se define como el ideal en B generado por . Explícitamente, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}}$

Si es un ideal de B , entonces siempre es un ideal de A , llamado contracción de a A . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Suponiendo que f  : A → B es un homomorfismo de anillo, es un ideal en A , es un ideal en B , entonces: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$es primo en B es primo en A . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}$

Es falso, en general, que ser primo (o máximo) en A implique que sea primo (o máximo) en B. Muchos ejemplos clásicos de esto provienen de la teoría algebraica de números. Por ejemplo, incrustar . En , el elemento 2 se factoriza donde (se puede demostrar) ninguno de los dos son unidades en B . Entonces no es primo en B (y por lo tanto tampoco es máximo). De hecho, muestra que , y por lo tanto . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$ ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$ ${\displaystyle 1+i,1-i}$ ${\displaystyle (2)^{e}}$ ${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$ ${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$ ${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$ ${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$

Por otro lado, si f es sobreyectiva y entonces: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$y . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal primo en A es un ideal primo en B . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal máximo en A es un ideal máximo en B . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$

Observación : Sea K una extensión de campo de L y sean B y A los anillos de números enteros de K y L , respectivamente. Entonces B es una extensión integral de A , y dejamos que f sea el mapa de inclusión de A a B. El comportamiento de un ideal primo de A bajo extensión es uno de los problemas centrales de la teoría algebraica de números . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$

A veces resulta útil lo siguiente: ^[16] un ideal primo es una contracción de un ideal primo si y sólo si . (Prueba: Suponiendo esto último, observe que se cruza con , una contradicción. Ahora, los ideales primos de corresponden a aquellos en B que son disjuntos de . Por lo tanto, hay un ideal primo de B , disjunto de , tal que es un ideal máximo que contiene . Luego se comprueba que está encima ... Lo contrario es obvio.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Generalizaciones

Los ideales se pueden generalizar a cualquier objeto monoide , donde está el objeto donde se ha olvidado la estructura monoide . Un ideal izquierdo de es un subobjeto que "absorbe la multiplicación de la izquierda por elementos de "; es decir, es un ideal de izquierda si satisface las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle (R,\otimes )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle I}$es un subobjeto de ${\displaystyle R}$
2. Para todos y cada uno , el producto está de moda . ${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$ ${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle r\otimes x}$ ${\displaystyle (I,\otimes )}$

Un ideal correcto se define con la condición " " reemplazada por "' ". Un ideal bilateral es un ideal de izquierda que también es un ideal de derecha y, a veces, se le llama simplemente ideal. Cuando es un objeto monoide conmutativo respectivamente, las definiciones de ideal izquierdo, derecho e ideal de dos lados coinciden, y el término ideal se usa solo. ${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$ ${\displaystyle R}$

Un ideal también puede considerarse como un tipo específico de módulo R. Si lo consideramos como un módulo izquierdo (por multiplicación por la izquierda), entonces un ideal izquierdo es en realidad solo un submódulo izquierdo de . En otras palabras, es un ideal izquierdo (derecho) de si y solo si es un módulo izquierdo (derecho) que es un subconjunto de . es un ideal bilateral si es un sub- bimódulo de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplo: si dejamos , un ideal de es un grupo abeliano que es un subconjunto de , es decir, para algunos . Entonces estos dan todos los ideales de . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ver también

• Aritmética modular
• Teorema del isomorfismo de Noether
• Teorema del ideal primo booleano
• teoría ideal
• Ideal (teoría del orden)
• norma ideal
• División de ideales primarios en extensiones de Galois
• Gavilla ideal

Notas

1. Algunos autores llaman a los ideales cero y unitario de un anillo R los ideales triviales de R.
2. Si R no tiene una unidad, entonces las descripciones internas anteriores deben modificarse ligeramente. Además de las sumas finitas de productos de cosas en X con cosas en R , debemos permitir la suma de n sumas de la forma x + x + ... + x , y n sumas de la forma (− x ) + (− x ) + ... + (− x ) para cada x en X y cada n en los números naturales. Cuando R tiene una unidad, este requisito adicional se vuelve superfluo.

Referencias

1. John Stillwell (2010). Las matemáticas y su historia . pag. 439.
2. Harold M. Edwards (1977). El último teorema de Fermat. Una introducción genética a la teoría algebraica de números . pag. 76.
3. Everest G., Ward T. (2005). Una introducción a la teoría de números . pag. 83.
4. Dummit y Foote (2004), pág. 243.
5. Lang 2005, sección III.2
6. Dummit y Foote (2004), pág. 244.
7. Porque los anillos conmutativos simples son campos. Véase Lam (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos. pag. 39.
8. Dummit y Foote (2004), pág. 255.
9. Dummit y Foote (2004), pág. 251.
10. Matsumura, Hideyuki (1987). Teoría del anillo conmutativo. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 132.ISBN​ 9781139171762.
11. Eisenbud 1995, Ejercicio A 3.17
12. Milnor (1971), pág. 9.
13. "ideales". www.math.uiuc.edu . Archivado desde el original el 16 de enero de 2017 . Consultado el 14 de enero de 2017 .
14. "sumas, productos y potencias de ideales". www.math.uiuc.edu . Archivado desde el original el 16 de enero de 2017 . Consultado el 14 de enero de 2017 .
15. "intersección de ideales". www.math.uiuc.edu . Archivado desde el original el 16 de enero de 2017 . Consultado el 14 de enero de 2017 .
16. Atiyah y Macdonald (1969), Proposición 3.16.

• Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969). Introducción al Álgebra Conmutativa . Libros de Perseo. ISBN 0-201-00361-9.
• Tonto, David Steven; Foote, Richard Martín (2004). Álgebra abstracta (Tercera ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 9780471433347.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, señor  1322960
• Lang, Serge (2005). Álgebra de pregrado (Tercera ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-22025-3.
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . vol. 1. Saltador. ISBN 1-4020-2690-0.
• Milnor, John Willard (1971). Introducción a la teoría K algebraica . Anales de estudios de matemáticas. vol. 72. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 9780691081014. SEÑOR  0349811. Zbl  0237.18005.

enlaces externos

• Levinson, Jake (14 de julio de 2014). "¿La interpretación geométrica para la extensión de ideales?". Intercambio de pila .