Homomorfismo de Chern-Weil

En matemáticas , el homomorfismo de Chern-Weil es una construcción básica en la teoría de Chern-Weil que calcula invariantes topológicos de fibrados vectoriales y fibrados principales en una variedad suave M en términos de conexiones y curvatura que representan clases en los anillos de cohomología de De Rham de M. Es decir, la teoría forma un puente entre las áreas de topología algebraica y geometría diferencial . Fue desarrollada a fines de la década de 1940 por Shiing-Shen Chern y André Weil , a raíz de las demostraciones del teorema generalizado de Gauss-Bonnet . Esta teoría fue un paso importante en la teoría de clases características .

Sea G un grupo de Lie real o complejo con álgebra de Lie , y sea denotar el álgebra de polinomios con valores en (exactamente el mismo argumento funciona si usamos en lugar de ). Sea la subálgebra de puntos fijos en bajo la acción adjunta de G ; es decir, la subálgebra que consiste en todos los polinomios f tales que , para todo g en G y x en , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Dado un G-fibrado principal P en M , existe un homomorfismo asociado de -álgebras, ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$,

llamado homomorfismo de Chern–Weil , donde a la derecha la cohomología es la cohomología de De Rham . Este homomorfismo se obtiene tomando polinomios invariantes en la curvatura de cualquier conexión en el fibrado dado. Si G es compacto o semisimple, entonces el anillo de cohomología del espacio de clasificación para los fibrados G , es isomorfo al álgebra de polinomios invariantes: ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$

${\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}$

(El anillo de cohomología de BG todavía se puede dar en el sentido de De Rham:

${\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}$

cuando y son variedades.) ${\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}$ ${\displaystyle B_{j}G}$

Definición del homomorfismo

Elija cualquier forma de conexión ω en P , y sea Ω la forma de curvatura asociada ; es decir, , la derivada covariante exterior de ω. Si es una función polinómica homogénea de grado  k ; es decir, para cualquier número complejo a y x en , entonces, considerando f como una función multilineal simétrica en (ver el anillo de funciones polinómicas ), sea ${\displaystyle \Omega =D\omega }$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ ${\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle f(\Omega )}$

sea ​​la forma 2 k (escalar) en P dada por

${\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}$

donde v _i son vectores tangentes a P , es el signo de la permutación en el grupo simétrico en 2 k números (ver formas con valores del álgebra de Lie#Operaciones así como Pfaffian ). ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$

Si, además, f es invariante, es decir, , entonces se puede demostrar que es una forma cerrada , desciende a una forma única en M y que la clase de cohomología de De Rham de la forma es independiente de . En primer lugar, que es una forma cerrada se sigue de los dos lemas siguientes: ^[1] ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Lema 1: La forma en P desciende a una forma (única) en M ; es decir, hay una forma en M que retrocede a . ${\displaystyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Lema 2: Si una forma de en P desciende a una forma en M , entonces . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi =D\varphi }$

De hecho, la segunda identidad de Bianchi dice y, puesto que D es una derivación graduada, Finalmente, el Lema 1 dice satisface la hipótesis del Lema 2. ${\displaystyle D\Omega =0}$ ${\displaystyle Df(\Omega )=0.}$ ${\displaystyle f(\Omega )}$

Para ver el Lema 2, sea la proyección y h la proyección de sobre el subespacio horizontal. Entonces el Lema 2 es una consecuencia del hecho de que (el núcleo de es precisamente el subespacio vertical). En cuanto al Lema 1, primero observemos ${\displaystyle \pi \colon P\to M}$ ${\displaystyle T_{u}P}$ ${\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}$ ${\displaystyle d\pi }$

${\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;}$

lo cual es así porque y f es invariante. Por lo tanto, se puede definir mediante la fórmula: ${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$

${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),}$

¿Dónde hay ascensores de : . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {v_{i}}}}$ ${\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}$

A continuación, demostramos que la clase de cohomología de De Rham de en M es independiente de la elección de la conexión. ^[2] Sean formas de conexión arbitrarias en P y sea la proyección. ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}$

${\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}$

donde t es una función suave en dada por . Sean las formas de curvatura de . Sean las inclusiones. Entonces es homotópico a . Por lo tanto, y pertenecen a la misma clase de cohomología de De Rham por la invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham . Finalmente, por naturalidad y por unicidad de descendente, ${\displaystyle P\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,s)\mapsto s}$ ${\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$ ${\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$

${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}$

y lo mismo para . Por lo tanto, pertenecen a la misma clase de cohomología. ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}$

La construcción da así la función lineal: (cf. Lema 1)

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].}$

De hecho, se puede comprobar que el mapa así obtenido:

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$

es un homomorfismo de álgebra .

Ejemplo: Clases Chern y personajes Chern

Sea y su álgebra de Lie. Para cada x en , podemos considerar su polinomio característico en t : ^[3] ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}$

donde i es la raíz cuadrada de -1. Entonces son polinomios invariantes en , ya que el lado izquierdo de la ecuación es. La k -ésima clase de Chern de un fibrado complejo-vectorial suave E de rango n en una variedad M : ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}$

se da como la imagen de bajo el homomorfismo de Chern–Weil definido por E (o más precisamente el fibrado de marco de E ). Si t = 1, entonces es un polinomio invariante. La clase Chern total de E es la imagen de este polinomio; es decir, ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}$

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}$

Directamente a partir de la definición, se puede demostrar que y c dados anteriormente satisfacen los axiomas de las clases de Chern. Por ejemplo, para la fórmula de la suma de Whitney, consideramos ${\displaystyle c_{j}}$

${\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)],}$

donde escribimos para la forma 2-curvatura en M del fibrado vectorial E (por lo que es el descendiente de la forma curvatura en el fibrado de marco de E ). El homomorfismo de Chern–Weil es el mismo si se usa este . Ahora, supongamos que E es una suma directa de fibrados vectoriales 's y la forma curvatura de de modo que, en el término matricial, es la matriz diagonal en bloques con Ω _I 's en la diagonal. Entonces, como , tenemos: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \Omega _{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$

${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}$

donde a la derecha la multiplicación es la de un anillo de cohomología: producto de copa . Para la propiedad de normalización, se calcula la primera clase de Chern de la línea proyectiva compleja ; véase la clase de Chern#Ejemplo: el fibrado tangente complejo de la esfera de Riemann .

Como , ^[4] también tenemos: ${\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}$

${\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}$

Finalmente, el carácter Chern de E viene dado por

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}$

donde es la forma de curvatura de alguna conexión en E (ya que es nilpotente, es un polinomio en ). Entonces ch es un homomorfismo de anillo : ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}$

Supongamos ahora que en algún anillo R que contiene el anillo de cohomología , existe la factorización del polinomio en t : ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}$

donde están en R (a veces se les llama raíces de Chern). Entonces . ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}$

Ejemplo: Clases de Pontrjagin

Si E es un fibrado vectorial real suave en una variedad M , entonces la k -ésima clase de Pontrjagin de E se da como:

${\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}$

donde escribimos para la complejización de E . Equivalentemente, es la imagen bajo el homomorfismo de Chern–Weil del polinomio invariante en dado por: ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g_{2k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}$

El homomorfismo para los fibrados vectoriales holomorfos

Sea E un fibrado vectorial (complejo) holomorfo en una variedad compleja M . La forma de curvatura de E , con respecto a alguna métrica hermítica, no es solo una 2-forma, sino que es de hecho una (1, 1)-forma (véase fibrado vectorial holomorfo#Métricas hermíticas en un fibrado vectorial holomorfo ). Por lo tanto, el homomorfismo de Chern–Weil asume la forma: con , ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].}$

Notas

1. Kobayashi y Nomizu 1969, cap. XII.
2. El argumento a favor de la independencia de la elección de la conexión se ha tomado de: Akhil Mathew, Notas sobre la desaparición de Kodaira "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de diciembre de 2014. Consultado el 11 de diciembre de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)Kobayashi-Nomizu, la referencia principal, da un argumento más concreto.
3. Nota editorial: Esta definición es coherente con la referencia, excepto que tenemos t , que es t ⁻¹ . Nuestra elección parece más estándar y es coherente con nuestro artículo sobre la " clase de Chern ".
4. Demostración: Por definición, . Ahora calcula el cuadrado de usando la regla de Leibniz. ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'}$ ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}}$

Referencias

• Bott, Raoul (1973), "Sobre el homomorfismo de Chern–Weil y la cohomología continua de los grupos de Lie", Advances in Mathematics , 11 (3): 289–303, doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1.
• Chern, Shiing-Shen (1951), Temas de geometría diferencial , Instituto de Estudios Avanzados, notas de clase mimeografiadas.
• Chern, Shiing-Shen (1995), Variedades complejas sin teoría del potencial , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0 . (El apéndice de este libro, "Geometría de clases características", es una introducción muy clara y profunda al desarrollo de las ideas de las clases características). 
• Chern, Shiing-Shen ; Simons, James (1974), "Formas características e invariantes geométricos", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 99 (1): 48–69, doi :10.2307/1971013, JSTOR  1971013.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1969), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 2 (nueva ed.), Wiley-Interscience (publicado en 2004), MR  0152974.
• Narasimhan, MS ; Ramanan, S. (1961), "Existencia de conexiones universales" (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572, doi :10.2307/2372896, hdl : 10338.dmlcz/700905 , JSTOR  2372896, MR  0133772.
• Morita, Shigeyuki (2000), "Geometría de formas diferenciales", Traducciones de monografías matemáticas , 201 , MR  1851352.

Lectura adicional

• Freed, Daniel S. ; Hopkins, Michael J. (2013). "Formas de Chern-Weil y teoría abstracta de homotopía". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 50 (3): 431–468. arXiv : 1301.5959 . doi :10.1090/S0273-0979-2013-01415-0. MR  3049871. S2CID  51755613.