La desigualdad de Holder

Desigualdad entre integrales en espacios Lp

En análisis matemático , la desigualdad de Hölder , llamada así en honor a Otto Hölder , es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios L p .

Desigualdad de Hölder  :  Sea ( S , Σ, μ ) un espacio de medida y sea p , q ∈ [1, ∞] con 1/ p + 1/ q = 1 . Entonces, para todas las funciones medibles de valores reales o complejos f y g en S ,

$${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

Si, además, p , q ∈ (1, ∞) y f ∈ L ^p ( μ ) y g ∈ L ^q ( μ ) , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en igualdad si y sólo si | f  | ^p y | gramo | ^q son linealmente dependientes en L ¹ ( μ ) , lo que significa que existen números reales α , β ≥ 0 , no ambos cero, tales que α | f  | ^pag = β | gramo | ^q μ - casi en todas partes .

Se dice que los números p y q anteriores son conjugados de Hölder entre sí. El caso especial p = q = 2 da una forma de desigualdad de Cauchy-Schwarz . ^[1] La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ‖ fg ‖ ₁ es infinito , siendo el lado derecho también infinito en ese caso. Por el contrario, si f está en L ^p ( μ ) y g está en L ^q ( μ ) , entonces el producto puntual fg está en L ¹ ( μ ) .

La desigualdad de Hölder se utiliza para demostrar la desigualdad de Minkowski , que es la desigualdad del triángulo en el espacio L ^p ( μ ) , y también para establecer que L ^q ( μ ) es el espacio dual de L ^p ( μ ) para p ∈ [1, ∞) .

La desigualdad de Hölder (en una forma ligeramente diferente) fue descubierta por primera vez por Leonard James Rogers  (1888). Inspirándose en el trabajo de Rogers, Hölder (1889) dio otra prueba como parte de un trabajo que desarrollaba el concepto de funciones convexas y cóncavas e introducía la desigualdad de Jensen , ^[2] que a su vez recibió el nombre del trabajo de Johan Jensen basado en el trabajo de Hölder. ^[3]

Observaciones

Convenciones

El breve enunciado de la desigualdad de Hölder utiliza algunas convenciones.

• En la definición de conjugados de Hölder, 1/∞ significa cero.
• Si p , q ∈ [1, ∞) , entonces ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q representan las expresiones (posiblemente infinitas)

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}}$

• Si p = ∞ , entonces ‖ f  ‖ _∞ representa el supremo esencial de | f  | , de manera similar para ‖ g ‖ _∞ .
• La notación ‖ f  ‖ _p con 1 ≤ p ≤ ∞ es un ligero abuso, porque en general es sólo una norma de f si ‖ f  ‖ _p es finito y f se considera como clase de equivalencia de μ -funciones iguales en casi todas partes. Si f ∈ L ^p ( μ ) y g ∈ L ^q ( μ ) , entonces la notación es adecuada.
• En el lado derecho de la desigualdad de Hölder, 0 × ∞ y ∞ × 0 significan 0. Multiplicar a > 0 por ∞ da ∞.

Estimaciones para productos integrables.

Como arriba, sean f y g funciones medibles de valores reales o complejos definidas en S . Si ‖ fg ‖ ₁ es finito, entonces los productos puntuales de f con g y su función conjugada compleja son μ -integrables, la estimación

${\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}}$

y se mantiene una similar para fg , y la desigualdad de Hölder se puede aplicar al lado derecho. En particular, si f y g están en el espacio de Hilbert L ² ( μ ) , entonces la desigualdad de Hölder para p = q = 2 implica

${\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},}$

donde los paréntesis angulares se refieren al producto interno de L ² ( μ ) . Esto también se llama desigualdad de Cauchy-Schwarz , pero requiere que su afirmación de que ‖ f  ‖ ₂ y ‖ g ‖ ₂ sean finitas para garantizar que el producto interno de f y g esté bien definido. Podemos recuperar la desigualdad original (para el caso p = 2 ) usando las funciones | f  | y | gramo | en lugar de f y g .

Generalización para medidas de probabilidad.

Si ( S , Σ, μ ) es un espacio de probabilidad , entonces p , q ∈ [1, ∞] solo necesita satisfacer 1/ p + 1/ q ≤ 1 , en lugar de ser conjugados de Hölder. Una combinación de la desigualdad de Hölder y la desigualdad de Jensen implica que

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$

para todas las funciones f y g medibles de valores reales o complejos en  S .

Casos especiales notables

Para los siguientes casos, supongamos que p y q están en el intervalo abierto (1,∞) con 1/ p + 1/ q = 1 .

medida de conteo

Para el espacio euclidiano de dimensiones , cuando el conjunto tiene la medida de conteo , tenemos ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}\mathbb {C} ^{n}.}$

A menudo se utiliza la siguiente forma práctica para cualquier : ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}{\biggr )}^{r+s}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{r}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{\biggr )}^{s}.}$

Para más de dos sumas, se cumple la siguiente generalización (Chen (2015)), con exponentes positivos reales y : ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{a}+\lambda _{b}+\cdots +\lambda _{z}=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{\lambda _{a}}\,|b_{k}|^{\lambda _{b}}\cdots |z_{k}|^{\lambda _{z}}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{a}}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{b}}\cdots {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|z_{k}|{\biggr )}^{\lambda _{z}}.}$

La igualdad se cumple si . ${\displaystyle |a_{1}|:|a_{2}|:\cdots :|a_{n}|=|b_{1}|:|b_{2}|:\cdots :|b_{n}|=\cdots =|z_{1}|:|z_{2}|:\cdots :|z_{n}|}$

Si utilizamos la medida de conteo, obtenemos la desigualdad de Hölder para espacios de secuencia : ${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ for all }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ or }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.}$

medida de lebesgue

Si es un subconjunto medible de con la medida de Lebesgue , y y son funciones medibles de valores reales o complejos en , entonces la desigualdad de Hölder es ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{S}{\bigl |}f(x)g(x){\bigr |}\,\mathrm {d} x\leq {\biggl (}\int _{S}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\int _{S}|g(x)|^{q}\,\mathrm {d} x{\biggr )}^{\frac {1}{q}}.}$

Medida de probabilidad

Para el espacio de probabilidad , denotemos el operador de expectativa . Para variables aleatorias de valores reales o complejos y en la desigualdad de Hölder se lee ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

${\displaystyle \mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Dejemos y definamos Entonces es el conjugado de Hölder de Aplicando la desigualdad de Hölder a las variables aleatorias y obtenemos ${\displaystyle 1<r<s<\infty }$ ${\displaystyle p={\tfrac {s}{r}}.}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle |X|^{r}}$ ${\displaystyle 1_{\Omega }}$

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}$

En particular, si el s ^-ésimo momento absoluto es finito, entonces el r  ^-ésimo momento absoluto también es finito. (Esto también se sigue de la desigualdad de Jensen ).

Medida del producto

Para dos espacios de medidas σ-finitas ( S ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) y ( S ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) defina el espacio de medidas del producto por

${\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},}$

donde S es el producto cartesiano de S ₁ y S ₂ , la σ-álgebra Σ surge como producto σ-álgebra de Σ ₁ y Σ ₂ , y μ denota la medida del producto de μ ₁ y μ ₂ . Entonces el teorema de Tonelli nos permite reescribir la desigualdad de Hölder usando integrales iteradas : si  f y g son Σ -funciones reales medibles o de valores complejos en el producto cartesiano  S , entonces

${\displaystyle \int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Esto se puede generalizar a más de dos espacios σ-de medidas finitas .

Funciones con valores vectoriales

Sea ( S , Σ, μ ) un espacio de medidas σ-finito y supongamos que f = ( f ₁ , ..., f _n ) y g = ( g ₁ , ..., g _n ) son funciones Σ -medibles en S , tomando valores en el espacio euclidiano real o complejo de n dimensiones. Al tomar el producto con la medida de conteo en {1, ..., n } , podemos reescribir la versión anterior de la medida del producto de la desigualdad de Hölder en la forma

${\displaystyle \int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.}$

Si las dos integrales del lado derecho son finitas, entonces la igualdad se cumple si y sólo si existen números reales α , β ≥ 0 , no ambos cero, tales que

${\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),}$

para μ -casi todo x en S .

Esta versión de dimensión finita se generaliza a funciones f y g que toman valores en un espacio normado que podría ser, por ejemplo, un espacio de secuencia o un espacio de producto interno .

Prueba de la desigualdad de Hölder

Hay varias pruebas de la desigualdad de Hölder; La idea principal a continuación es la desigualdad de productos de Young .

Prueba

Si ‖ f  ‖ _p = 0 , entonces f es cero μ -casi en todas partes, y el producto fg es cero μ -casi en todas partes, por lo tanto, el lado izquierdo de la desigualdad de Hölder es cero. Lo mismo ocurre si ‖ g ‖ _q = 0 . Por lo tanto, podemos suponer ‖ f  ‖ _p > 0 y ‖ g ‖ _q > 0 en lo siguiente.

Si ‖ f  ‖ _p = ∞ o ‖ g ‖ _q = ∞ , entonces el lado derecho de la desigualdad de Hölder es infinito. Por lo tanto, podemos suponer que ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q están en (0, ∞) .

Si p = ∞ y q = 1 , entonces | fg | ≤ ‖ f  ‖ _∞ | gramo | casi en todas partes y la desigualdad de Hölder se deriva de la monotonicidad de la integral de Lebesgue. De manera similar para p = 1 y q = ∞ . Por lo tanto, podemos suponer p , q ∈ (1,∞) .

Dividiendo f y g por ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q , respectivamente, podemos suponer que

${\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}$

Ahora usamos la desigualdad de Young para productos , que establece que siempre que estén en (1,∞) con ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$

para todos los a y b no negativos , donde la igualdad se logra si y solo si a ^p = b ^q . Por eso

${\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}$

La integración de ambos lados da

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p}}+{\frac {\|g\|_{q}^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

lo que prueba la afirmación.

Bajo los supuestos p ∈ (1, ∞) y ‖ f  ‖ _p = ‖ g ‖ _q , la igualdad se cumple si y solo si | f  | ^pag = | gramo | ^q casi en todos lados. De manera más general, si ‖ f  ‖ _p y ‖ g ‖ _q están en (0, ∞) , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en igualdad si y sólo si existen números reales α , β > 0 , es decir

${\displaystyle \alpha =\|g\|_{q}^{q},\qquad \beta =\|f\|_{p}^{p},}$

tal que

${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$   μ -casi en todas partes (*).

El caso ‖ f  ‖ _p = 0 corresponde a β = 0 en (*). El caso ‖ g ‖ _q = 0 corresponde a α = 0 en (*).

Prueba alternativa utilizando la desigualdad de Jensen:

Prueba

La función en (0,∞) es convexa porque , por la desigualdad de Jensen, ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \int h\mathrm {d} \nu \leq \left(\int h^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}}$

donde ν es cualquier distribución de probabilidad y h cualquier ν -función medible. Sea μ cualquier medida y ν la distribución cuya densidad con respecto a μ es proporcional a , es decir ${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu }$

Por lo tanto tenemos, usando , por lo tanto , y dejando , ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle p(1-q)+q=0}$ ${\displaystyle h=fg^{1-q}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int fg\,\mathrm {d} \mu =&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\\\leq &\left(\int g^{q}\mathrm {d} \mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\right)^{\frac {1}{p}}\\=&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}$

Finalmente, obtenemos

${\displaystyle \int fg\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int f^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}}$

Esto supone que f , g son reales y no negativos, pero la extensión a funciones complejas es sencilla (use el módulo de f , g ). También supone que no son nulos ni infinitos, y que todos estos supuestos también pueden eliminarse como en la prueba anterior. ${\displaystyle \|f\|_{p},\|g\|_{q}}$ ${\displaystyle p,q>1}$

También podríamos evitar el uso de las desigualdades de Young y de Jensen. La siguiente prueba también explica por qué y dónde entra de forma natural el exponente de Hölder.

Prueba

Como en la prueba anterior, basta demostrar

${\displaystyle \int _{X}|h|\mathrm {d} \nu \leq \left(\int _{X}|h|^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}}$

donde y es -función medible (real o compleja) en . Para probar esto, debemos sujetarnos a . No hay una constante que funcione para todos . Por tanto, buscamos una desigualdad de la forma ${\displaystyle \nu (X)=1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |h|}$ ${\displaystyle |h|^{p}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |h(x)|~\leq ~C|h(x)|^{p}}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle |h(x)|~\leq ~a'|h(x)|^{p}+b',\quad for\quad all\quad x>0}$

para opciones adecuadas de y . ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b'}$

Deseamos obtener en el lado derecho después de integrar esta desigualdad. Por prueba y error, vemos que la desigualdad que deseamos debe tener la forma ${\displaystyle A:=\|f\|_{p}}$

${\displaystyle |h(x)|~\leq ~aA^{1-p}|h(x)|^{p}+bA,\quad for\quad all\quad x>0,}$

donde son no negativos y . De hecho, la integral del lado derecho es precisamente . Por lo tanto, queda por demostrar que tal desigualdad se cumple con la elección correcta de ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a,b.}$

La desigualdad que buscamos se derivaría de:

${\displaystyle {\tfrac {y}{A}}~\leq ~a({\tfrac {y}{a}})^{p}+b,\quad for\quad all\quad y>0,}$

que a su vez equivale a

${\displaystyle (*)\quad z~\leq ~az^{p}+b,\quad for\quad all\quad z>0.}$

Resulta que hay una y sólo una elección de , sujeto a , que hace que esto sea cierto: y, necesariamente, . (¡Aquí es donde nace el exponente conjugado de Hölder!) Esto completa la prueba de la desigualdad en el primer párrafo de esta prueba. De aquí se sigue la prueba de la desigualdad de Hölder como en la prueba anterior. Alternativamente, podemos deducir la desigualdad de Young y luego recurrir a la primera prueba dada anteriormente. La desigualdad de Young se deriva de la desigualdad (*) anterior eligiendo y multiplicando ambos lados por . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a+b=1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle b=1-{\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{b^{q-1}}}}$ ${\displaystyle b^{q}}$

Igualdad extrema

Declaración

Supongamos que 1 ≤ p < ∞ y sea q el conjugado de Hölder. Entonces para cada f ∈ L ^p ( μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$

donde max indica que en realidad hay una g que maximiza el lado derecho. Cuando p = ∞ y si cada conjunto A en el campo σ Σ con μ ( A ) = ∞ contiene un subconjunto B ∈ Σ con 0 < μ ( B ) < ∞ (lo cual es cierto en particular cuando μ es σ-finito ) , entonces

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Prueba de la igualdad extrema:

Prueba

Por la desigualdad de Hölder, las integrales están bien definidas y, para 1 ≤ p ≤ ∞ ,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu \leq \|f\|_{p},}$

por lo tanto, el lado izquierdo siempre está limitado arriba por el lado derecho.

Por el contrario, para 1 ≤ p ≤ ∞ , observe primero que la afirmación es obvia cuando ‖ f  ‖ _p = 0 . Por lo tanto, asumimos ‖ f  ‖ _p > 0 en lo siguiente.

Si 1 ≤ p < ∞ , defina g en S por

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Al verificar los casos p = 1 y 1 < p < ∞ por separado, vemos que ‖ g ‖ _q = 1 y

${\displaystyle \int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.}$

Queda por considerar el caso p = ∞ . Para ε ∈ (0, 1) defina

${\displaystyle A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }\right\}.}$

Como f es medible, A ∈ Σ . Por la definición de ‖ f  ‖ _∞ como el supremo esencial de f y el supuesto ‖ f  ‖ _∞ > 0 , tenemos μ ( A ) > 0 . Utilizando el supuesto adicional sobre el campo σ Σ si es necesario, existe un subconjunto B ∈ Σ de A con 0 < μ ( B ) < ∞ . Definir g en S por

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}{\frac {\|f\|_{\infty }}{f(x)}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Entonces g está bien definido, es mensurable y | gramo ( x ) | ≤ 1/ μ ( B ) para x ∈ B , por lo tanto ‖ g ‖ ₁ ≤ 1 . Además,

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}\|f\|_{\infty }\,\mathrm {d} \mu =(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }.}$

Observaciones y ejemplos

• La igualdad para falla siempre que exista un conjunto de medidas infinitas en el campo con que no tenga ningún subconjunto que satisfaga: (el ejemplo más simple es el campo que contiene solo el conjunto vacío y la medida con ) Entonces la función indicadora satisface pero cada tiene que ser -casi en todas partes constante porque es -medible, y esta constante tiene que ser cero, porque es -integrable. Por lo tanto, el supremo anterior para la función indicadora es cero y la igualdad extrema falla. ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ${\displaystyle 0<\mu (B)<\infty .}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=\infty .}$ ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle \|1_{A}\|_{\infty }=1,}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1_{A}}$
• Porque el supremo en general no se alcanza. Como ejemplo, dejemos y la medida de conteo. Definir: ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} ,\Sigma ={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \\f(n)={\frac {n-1}{n}}\end{cases}}}$

Entonces For con denota el número natural más pequeño con Entonces ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1.}$ ${\displaystyle g\in L^{1}(\mu ,\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle 0<\|g\|_{1}\leqslant 1,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g(m)\neq 0.}$

${\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leqslant {\frac {m-1}{m}}|g(m)|+\sum _{n=m+1}^{\infty }|g(n)|=\|g\|_{1}-{\frac {|g(m)|}{m}}<1.}$

Aplicaciones

• La igualdad extrema es una de las formas de demostrar la desigualdad del triángulo ‖ f ₁ + f ₂ ‖ _p ≤ ‖ f ₁ ‖ _p + ‖ f ₂ ‖ _p para todos f ₁ y f ₂ en L ^p ( μ ) , ver desigualdad de Minkowski .
• La desigualdad de Hölder implica que cada f ∈ L ^p ( μ ) define un funcional lineal acotado (o continuo) κ _f en L ^q ( μ ) mediante la fórmula

${\displaystyle \kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).}$

La igualdad extrema (cuando es verdadera) muestra que la norma de este funcional κ _f como elemento del espacio dual continuo L ^q ( μ ) ^* coincide con la norma de f en L ^p ( μ ) (ver también el artículo L ^p -space ).

Generalización con más de dos funciones.

Declaración

Supongamos que r ∈ (0, ∞] y p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] tal que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

donde 1/∞ se interpreta como 0 en esta ecuación. Entonces, para todas las funciones medibles reales o de valores complejos f ₁ , ..., f _n definidas en S ,

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}}$

donde interpretamos cualquier producto con un factor de ∞ como ∞ si todos los factores son positivos, pero el producto es 0 si algún factor es 0.

En particular, si por todos entonces ${\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )}$ ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}$

Nota: Al contrario de la notación, ‖ . ‖ _r en general no es una norma porque no satisface la desigualdad del triángulo . ${\displaystyle r\in (0,1),}$

Prueba de la generalización:

Prueba

Usamos la desigualdad de Hölder y la inducción matemática . Si entonces el resultado es inmediato. Pasemos ahora de a Sin pérdida de generalidad supongamos que ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{n}.}$

Caso 1: Si entonces ${\displaystyle p_{n}=\infty }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}.}$

Sacando el supremo esencial de | f _norte | y usando la hipótesis de inducción, obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{1}\cdots f_{n}\right\|_{r}&\leq \left\|f_{1}\cdots f_{n-1}\right\|_{r}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }\\&\leq \left\|f_{1}\right\|_{p_{1}}\cdots \left\|f_{n-1}\right\|_{p_{n-1}}\left\|f_{n}\right\|_{\infty }.\end{aligned}}}$

Caso 2: Si entonces necesariamente también, y entonces ${\displaystyle p_{n}<\infty }$ ${\displaystyle r<\infty }$

${\displaystyle p:={\frac {p_{n}}{p_{n}-r}},\qquad q:={\frac {p_{n}}{r}}}$

son conjugados de Hölder en (1, ∞) . La aplicación de la desigualdad de Hölder da

${\displaystyle \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\,|f_{n}|^{r}\right\|_{1}\leq \left\||f_{1}\cdots f_{n-1}|^{r}\right\|_{p}\,\left\||f_{n}|^{r}\right\|_{q}.}$

Elevándose al poder y reescribiendo, ${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle \|f_{1}\cdots f_{n}\|_{r}\leq \|f_{1}\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_{n}\|_{qr}.}$

Desde y ${\displaystyle qr=p_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={\frac {1}{pr}},}$

la desigualdad afirmada ahora se sigue utilizando la hipótesis de inducción.

Interpolación

Sea p ₁ , ..., p _n ∈ (0, ∞] y sea θ ₁ , ..., θ _n ∈ (0, 1) denota pesos con θ ₁ + ... + θ _n = 1. Definir como la media armónica ponderada , es decir, ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.}$

Dadas funciones medibles de valores reales o complejos en S , entonces la generalización anterior de la desigualdad de Hölder da ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.}$

En particular, tomar da ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.}$

Especificando además θ ₁ = θ y θ ₂ = 1- θ , en el caso de que obtengamos el resultado de la interpolación ${\displaystyle n=2,}$

La desigualdad de Littlewood  :  para y , ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}}$

$${\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta }\cdot \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta },}$$

Una aplicación de Hölder da

La desigualdad de Lyapunov  :  si entonces ${\displaystyle p=(1-\theta )p_{0}+\theta p_{1},\qquad \theta \in (0,1),}$

$${\displaystyle \left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta )}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1}\theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\|f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }}$$

y en particular

$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }.}$$

Tanto Littlewood como Lyapunov dan a entender que si entonces para todos ^[4] ${\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}}$ ${\displaystyle f\in L^{p}}$ ${\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.}$

Desigualdades inversas de Hölder

Dos funciones

Supongamos que p ∈ (1, ∞) y que el espacio de medida ( S , Σ, μ ) satisface μ ( S ) > 0 . Entonces, para todas las funciones medibles de valores reales o complejos f y g en S tales que g ( s ) ≠ 0 para μ -casi todos s ∈ S ,

${\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.}$

Si

${\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,}$

entonces la desigualdad inversa de Hölder es una igualdad si y sólo si

${\displaystyle \exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.}$

Nota: Las expresiones:

${\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}}$y ${\displaystyle \|g\|_{\frac {-1}{p-1}},}$

no son normas, son sólo notaciones compactas para

${\displaystyle \left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.}$

Prueba de la desigualdad inversa de Hölder (oculta, haga clic en mostrar para revelar).

Tenga en cuenta que p y

${\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )}$

son conjugados de Hölder. La aplicación de la desigualdad de Hölder da

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1}{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1}{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\|_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac {p-1}{p}}\end{aligned}}}$

Elevando a la potencia p nos da:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.}$

Por lo tanto:

${\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.}$

Ahora sólo necesitamos recordar nuestra notación.

Dado que g no es casi en todas partes igual a la función cero, podemos tener igualdad si y sólo si existe una constante α ≥ 0 tal que | fg | = α  | gramo | ^{− q / p} en casi todas partes. Resolviendo para el valor absoluto de f se obtiene la afirmación.

Múltiples funciones

La desigualdad inversa de Hölder (arriba) se puede generalizar al caso de funciones múltiples si todos los conjugados menos uno son negativos. Eso es,

Sea y sea tal que (por lo tanto ). Sean funciones medibles para . Entonces ${\displaystyle p_{1},...,p_{m-1}<0}$ ${\displaystyle p_{m}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{p_{k}}}=1}$ ${\displaystyle 0<p_{m}<1}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle k=1,...,m}$

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{1}\geq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}.}$

Esto se desprende de la forma simétrica de la desigualdad de Hölder (ver más abajo).

Formas simétricas de la desigualdad de Hölder

Aczél y Beckenbach ^[5] observaron que la desigualdad de Hölder se puede expresar en una forma más simétrica, al precio de introducir un vector (o función) adicional:

Sean vectores con entradas positivas y tales que para todos . Si los números reales distintos de cero son tales que , entonces: ${\displaystyle f=(f(1),\dots ,f(m)),g=(g(1),\dots ,g(m)),h=(h(1),\dots ,h(m))}$ ${\displaystyle f(i)g(i)h(i)=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=0}$

• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\geq 1}$si todos menos uno son positivos; ${\displaystyle p,q,r}$
• ${\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\leq 1}$si todos menos uno son negativos. ${\displaystyle p,q,r}$

La desigualdad estándar de Hölder se deriva inmediatamente de esta forma simétrica (y de hecho se ve fácilmente que es equivalente a ella). El enunciado simétrico también implica la desigualdad inversa de Hölder (ver arriba).

El resultado se puede extender a múltiples vectores:

Sean vectores con entradas positivas y tales que para todos . Si los números reales distintos de cero son tales que , entonces: ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f_{1}(i)\dots f_{n}(i)=1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}=0}$

• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\geq 1}$si todos los números menos uno son positivos; ${\displaystyle p_{i}}$
• ${\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\leq 1}$si todos los números menos uno son negativos. ${\displaystyle p_{i}}$

Como en las desigualdades estándar de Hölder, existen enunciados correspondientes para sumas e integrales infinitas.

Desigualdad condicional de Hölder

Sea (Ω, F , ) ${\displaystyle \mathbb {P} }$ un espacio de probabilidad, G ⊂ F una sub- σ-álgebra , y p , q ∈ (1, ∞) conjugados de Hölder, lo que significa que 1/ p + 1/ q = 1 . Luego, para todas las variables aleatorias X e Y de valores reales o complejos en  Ω ,

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}}$

Observaciones:

• Si una variable aleatoria no negativa Z tiene un valor esperado infinito , entonces su expectativa condicional está definida por

${\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}}$

• En el lado derecho de la desigualdad condicional de Hölder, 0 por ∞ así como ∞ por 0 significa 0. Multiplicar a > 0 por ∞ da ∞.

Prueba de la desigualdad condicional de Hölder:

Prueba

Definir las variables aleatorias.

${\displaystyle U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}}$

y tenga en cuenta que son mensurables con respecto a la sub-σ-álgebra . Desde

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}$

se deduce que | X | = 0 como en el conjunto { U = 0} . De manera similar, | Y | = 0 como en el conjunto { V = 0} , por lo tanto

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}$

y la desigualdad condicional de Hölder se cumple en este conjunto. En el set

${\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}}$

el lado derecho es infinito y la desigualdad condicional de Hölder también se cumple. Dividiendo por el lado derecho, queda por tanto demostrar que

${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{a.s. on the set }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}.}$

Esto se hace verificando que la desigualdad se cumple después de la integración sobre un parámetro arbitrario.

${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.}$

Usando la mensurabilidad de U, V, 1 _G con respecto a la sub-σ-álgebra , las reglas para expectativas condicionales, la desigualdad de Hölder y 1/ p + 1/ q = 1 , vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}$

Desigualdad de Hölder para seminormas crecientes

Sea S un conjunto y sea el espacio de todas las funciones de valores complejos en S. Sea N una seminorma creciente, lo que significa que, para todas las funciones de valor real, tenemos la siguiente implicación (a la seminorma también se le permite alcanzar el valor ∞): ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle F(S,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle f,g\in F(S,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).}$

Entonces:

${\displaystyle \forall f,g\in F(S,\mathbb {C} )\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl (}N(|f|^{p}){\bigr )}^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},}$

donde los números y son conjugados de Hölder. ^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Observación: Si ( S , Σ, μ ) es un espacio de medida y es la integral de Lebesgue superior de entonces la restricción de N a todas las Σ -funciones medibles da la versión habitual de la desigualdad de Hölder. ${\displaystyle N(f)}$ ${\displaystyle |f|}$

Distancias basadas en la desigualdad de Hölder

La desigualdad de Hölder se puede utilizar para definir medidas de disimilitud estadística ^[7] entre distribuciones de probabilidad. Esas divergencias de Hölder son proyectivas: no dependen del factor de normalización de las densidades.

Ver también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Desigualdad de Minkowski
• La desigualdad de Jensen
• La desigualdad de productos de Young
• Las desigualdades de Clarkson
• Desigualdad de Brascamp-Lieb

Citas

1. Romano 2008, pag. 303 §12
2. Maligranda, Lech (1998), "Por qué la desigualdad de Hölder debería llamarse desigualdad de Rogers", Desigualdades y aplicaciones matemáticas , 1 (1): 69–83, doi : 10.7153/mia-01-05 , MR  1492911
3. Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013), "Condiciones necesarias y suficientes para la validez de la desigualdad de Jensen", Archiv der Mathematik , 100 (6): 561–570, doi :10.1007/s00013-013-0522-3, MR  3069109, S2CID  253600514, bajo el supuesto adicional que existe, esta desigualdad ya fue obtenida por Hölder en 1889 ${\displaystyle \varphi ''}$
4. Wojtaszczyk, P. (1991). Espacios Banach para Analistas. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-56675-9.
5. Beckenbach, EF (1980). Desigualdades generales 2. Serie Internacional de Matemáticas Numéricas / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik / Série Internationale d'Analyse Numérique. vol. 47. Birkhäuser Basilea. págs. 145-150. doi :10.1007/978-3-0348-6324-7. ISBN 978-3-7643-1056-1.
6. Para ver una prueba, consulte (Trèves 1967, Lema 20.1, págs. 205-206).
7. Nielsen, Frank; Sol, Ke; Marchand-Maillet, Stéphane (2017). "Sobre las divergencias proyectivas de Hölder". Entropía . 3 (19): 122. arXiv : 1701.03916 . Código Bib : 2017Entrp..19..122N. doi : 10.3390/e19030122 .

Referencias

• Grinshpan, AZ (2010), "Desigualdades ponderadas y binomios negativos", Avances en Matemáticas Aplicadas , 45 (4): 564–606, doi : 10.1016/j.aam.2010.04.004
• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1934), Desigualdades , Cambridge University Press , págs. XII+314, ISBN 0-521-35880-9, JFM  60.0169.01, Zbl  0010.10703.
• Hölder, O. (1889), "Ueber einen Mittelwertsatz", Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , Band (en alemán), 1889 (2): 38–47, JFM  21.0260.07. Disponible en Digi Zeitschriften.
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Desigualdad de Hölder", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Rogers, LJ (febrero de 1888), "Una extensión de un determinado teorema en desigualdades", Messenger of Mathematics , New Series, XVII (10): 145–150, JFM  20.0254.02, archivado desde el original el 21 de agosto de 2007.
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5
• Trèves, François (1967), Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos , Matemática pura y aplicada. Una serie de monografías y libros de texto, vol. 25, Nueva York, Londres: Academic Press, MR  0225131, Zbl  0171.10402.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

enlaces externos

• Chen, Evan (2015), Breve introducción a las desigualdades de las Olimpiadas (PDF).
• Kuttler, Kenneth (2007), Introducción al álgebra lineal (PDF) , libro electrónico en línea en formato PDF, Universidad Brigham Young.
• Lohwater, Arthur (1982), Introducción a las desigualdades (PDF).
• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Tisdell, Chris (2012), Holder's Inequality, YouTube.