σ-medida finita

Concepto en teoría de la medida.

En matemáticas , una medida positiva (o con signo ) μ definida en una σ -álgebra Σ de subconjuntos de un conjunto X se llama medida finita si μ ( X ) es un número real finito (en lugar de ∞). Un conjunto A en Σ es de medida finita si μ ( A ) < ∞ . La medida μ se llama σ-finita si X es una unión contable de conjuntos mensurables, cada uno de ellos con medida finita. Se dice que un conjunto en un espacio de medidas tiene σ -medida finita si es una unión contable de conjuntos medibles con medida finita. Que una medida sea σ-finita es una condición más débil que ser finita, es decir, todas las medidas finitas son σ-finitas pero hay (muchas) medidas σ-finitas que no son finitas.

Una noción diferente pero relacionada que no debe confundirse con σ-finitud es s-finitud .

Definición

Sea un espacio mensurable y una medida sobre él. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$

La medida se denomina medida σ-finita si satisface uno de los cuatro criterios equivalentes siguientes: ${\displaystyle \mu }$

1. el conjunto se puede cubrir con como máximo un número contable de conjuntos mensurables con medida finita. Esto significa que hay conjuntos con para todos los que satisfacen . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$
2. el conjunto se puede cubrir con como máximo un número contable de conjuntos disjuntos medibles con medida finita. Esto significa que hay conjuntos con para todos y para eso que satisfacen . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(B_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X}$
3. el conjunto puede cubrirse con una secuencia monótona de conjuntos mensurables con medida finita. Esto significa que hay conjuntos con y para todo que satisfacen . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle \mu \left(C_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X}$
4. existe una función medible estrictamente positiva cuya integral es finita. ^[2] Esto significa que para todos y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$

Si es una medida finita, el espacio de medidas se llama espacio de medidas finitas . ^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$

Ejemplos

medida de lebesgue

Por ejemplo, la medida de Lebesgue en números reales no es finita, pero sí σ-finita. De hecho, considere los intervalos [ k ,  k  + 1) para todos los números enteros k ; hay muchos intervalos de este tipo, cada uno tiene medida 1 y su unión es la línea real completa.

medida de conteo

Alternativamente, considere los números reales con la medida de conteo ; la medida de cualquier conjunto finito es el número de elementos del conjunto y la medida de cualquier conjunto infinito es el infinito. Esta medida no es σ -finita, porque cada conjunto con medida finita contiene sólo un número finito de puntos, y se necesitarían incontables conjuntos de este tipo para cubrir toda la línea real. Pero el conjunto de números naturales con medida de conteo es σ -finito. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Grupos localmente compactos

Los grupos localmente compactos que son σ-compactos son σ-finitos según la medida de Haar . Por ejemplo, todos los grupos G conectados y localmente compactos son σ-compactos. Para ver esto, sea V una vecindad abierta relativamente compacta y simétrica (es decir, V  =  V ⁻¹ ) de la identidad. Entonces

${\displaystyle H=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V^{n}}$

es un subgrupo abierto de G . Por lo tanto H también es cerrado ya que su complemento es una unión de conjuntos abiertos y por conectividad de G , debe ser G mismo. Por tanto, todos los grupos de Lie conectados son σ-finitos según la medida de Haar.

No ejemplos

Cualquier medida no trivial que tome solo los dos valores 0 y sea claramente no σ-finita. Un ejemplo es: para todos , si y sólo si A no está vacío; otro es: para todos , si y sólo si A es incontable, 0 en caso contrario. Por cierto, ambos son invariantes en la traducción. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$

Propiedades

La clase de medidas σ-finitas tiene algunas propiedades muy convenientes; La σ-finitud se puede comparar a este respecto con la separabilidad de espacios topológicos. Algunos teoremas en análisis requieren σ-finitud como hipótesis. Por lo general, tanto el teorema de Radón-Nikodym como el teorema de Fubini se expresan bajo el supuesto de σ-finitud de las medidas involucradas. Sin embargo, como lo muestra Irving Segal , ^[4] sólo requieren una condición más débil, a saber, la localizabilidad .

Aunque las medidas que no son σ -finitas a veces se consideran patológicas, de hecho ocurren de forma bastante natural. Por ejemplo, si X es un espacio métrico de dimensión de Hausdorff r , entonces todas las medidas de Hausdorff de dimensiones inferiores no son finitas si se consideran medidas en X.

Equivalencia a una medida de probabilidad

Cualquier medida σ-finita μ en un espacio X es equivalente a una medida de probabilidad en X : sea V _n , n  ∈  N , una cobertura de X por conjuntos medibles por pares disjuntos de μ -medida finita, y sea w _n , n  ∈  N , sea una secuencia de números positivos (pesos) tal que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}$

La medida ν definida por

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}}$

es entonces una medida de probabilidad en X con precisamente los mismos conjuntos nulos que  μ .

Conceptos relacionados

Medidas moderadas

Una medida de Borel (en el sentido de una medida localmente finita en el álgebra de Borel ^[5] ) se denomina medida moderada si y solo hay muchos conjuntos abiertos contables con para todos y . ^[6] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=X}$

Toda medida moderada es una medida finita; lo contrario no es cierto. ${\displaystyle \sigma }$

Medidas descomponibles

Una medida se llama medida descomponible; hay conjuntos mensurables disjuntos con para todos y . Para medidas descomponibles, no hay restricción en el número de conjuntos mensurables con medida finita. ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$

Cada medida finita es una medida descomponible; lo contrario no es cierto. ${\displaystyle \sigma }$

s-medidas finitas

Una medida se llama medida s-finita si es la suma de, como máximo, un número contable de medidas finitas . ^[2] ${\displaystyle \mu }$

Cada medida σ-finita es s-finita, lo contrario no es cierto. Para ver una prueba y un contraejemplo, consulte Medida s-finita # Relación con medidas σ-finitas .

Ver también

• medida finita
• Aditividad sigma

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 12. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 21.doi :10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
3. Anosov, DV (2001) [1994], "Medir el espacio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
4. Segal, es decir (1951). "Equivalencias de espacios de medidas". Revista Estadounidense de Matemáticas . 73 (2): 275–313. JSTOR  2372178.
5. Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Teoría de la medida y la integración ] (en alemán). Berlín: Springer Verlag. pag. 313.doi :10.1007/978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.
6. Elstrodt, Jürgen (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Teoría de la medida y la integración ] (en alemán). Berlín: Springer Verlag. pag. 318.doi :10.1007/978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.