Producto puntual

Product of the images of two functions at every value in the domain

En matemáticas , el producto puntual de dos funciones es otra función, obtenida multiplicando las imágenes de las dos funciones en cada valor del dominio . Si f y g son funciones con dominio X y codominio Y , y los elementos de Y se pueden multiplicar (por ejemplo, Y podría ser algún conjunto de números), entonces el producto puntual de f y g es otra función de X a Y que asigna x en X a f ( x ) g ( x ) en Y.​

Definicion formal

Sean X e Y conjuntos tales que Y tiene una noción de multiplicación, es decir, hay una operación binaria.

${\displaystyle \cdot :Y\times Y\longrightarrow Y}$dada por ${\displaystyle y\cdot z=yz.}$

Entonces, dadas dos funciones, el producto puntual está definido por ${\displaystyle f,g:X\to Y,}$ ${\displaystyle (f\cdot g):X\to Y}$

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

para todo x en X . Así como a menudo omitimos el símbolo para la operación binaria ⋅ (es decir, escribimos yz en lugar de y ⋅ z ), a menudo escribimos fg para f ⋅ g .

Ejemplos

El caso más común del producto puntual de dos funciones es cuando el codominio es un anillo (o campo ), en el que la multiplicación está bien definida.

• Si Y es el conjunto de números reales , entonces el producto puntual de es simplemente la multiplicación normal de las imágenes. Por ejemplo, si tenemos y luego ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=2x}$ ${\displaystyle g(x)=x+1}$

  ${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)=2x(x+1)=2x^{2}+2x\,}$

  por cada x en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• El teorema de convolución establece que la transformada de Fourier de una convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier:

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}.}$

Aplicación algebraica de productos puntuales.

Sea X un conjunto y R un anillo . Dado que la suma y la multiplicación están definidas en R , podemos construir una estructura algebraica conocida como álgebra a partir de las funciones de X a R definiendo la suma, la multiplicación y la multiplicación escalar de funciones que se realizarán puntualmente.

Si R ^X denota el conjunto de funciones de X a R , entonces decimos que si f, g son elementos de R ^X , entonces f + g , fg y rf , el último de los cuales está definido por

${\displaystyle (rf)(x)=rf(x)\,}$

para todo r en R - son todos elementos de R ^X .

Generalización

Si tanto f como g tienen como dominio todas las asignaciones posibles de un conjunto de variables discretas, entonces su producto puntual es una función cuyo dominio está construido por todas las asignaciones posibles de la unión de ambos conjuntos. El valor de cada asignación se calcula como el producto de los valores de ambas funciones dados a cada uno del subconjunto de la asignación que se encuentra en su dominio.

Por ejemplo, dada la función f ₁ de las variables booleanas p y q , y f ₂ de las variables booleanas q y r , ambas con el rango en el producto puntual de f ₁ y f ₂ se muestra en la siguiente tabla: ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}p&q&r&f_{1}(p,q)&f_{2}(q,r)&{\text{Pointwise product}}\\\hline {\rm {T}}&{\rm {T}}&{\rm {T}}&0.1&0.2&0.1\times 0.2\\{\rm {T}}&{\rm {T}}&{\rm {F}}&0.1&0.4&0.1\times 0.4\\{\rm {T}}&{\rm {F}}&{\rm {T}}&0.3&0.6&0.3\times 0.6\\{\rm {T}}&{\rm {F}}&{\rm {F}}&0.3&0.8&0.3\times 0.8\\{\rm {F}}&{\rm {T}}&{\rm {T}}&0.5&0.2&0.5\times 0.2\\{\rm {F}}&{\rm {T}}&{\rm {F}}&0.5&0.4&0.5\times 0.4\\{\rm {F}}&{\rm {F}}&{\rm {T}}&0.7&0.6&0.7\times 0.6\\{\rm {F}}&{\rm {F}}&{\rm {F}}&0.7&0.8&0.7\times 0.8\\\end{array}}}$

Ver también

• Puntualmente