La desigualdad de productos de Young

Concepto matemático

El área del rectángulo a,b no puede ser mayor que la suma de las áreas bajo las funciones (rojo) y (amarillo) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

En matemáticas , la desigualdad de Young para productos es una desigualdad matemática sobre el producto de dos números. ^[1] La desigualdad lleva el nombre de William Henry Young y no debe confundirse con la desigualdad convolucional de Young .

La desigualdad de Young para productos se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Hölder . También se usa ampliamente para estimar la norma de términos no lineales en la teoría PDE , ya que permite estimar un producto de dos términos por una suma de los mismos términos elevado a una potencia y escalada.

Versión estándar para exponentes conjugados de Hölder

La forma estándar de la desigualdad es la siguiente, que puede usarse para probar la desigualdad de Hölder .

Teorema  :  si y son números reales no negativos y si y son números reales tales que entonces ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle b\geq 0}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

$${\displaystyle ab~\leq ~{\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$$

La igualdad se cumple si y sólo si ${\displaystyle a^{p}=b^{q}.}$

Prueba ^[2]

Dado que una gráfica en el plano también es una gráfica, de dibujar una representación visual de las integrales del área entre esta curva y los ejes, y el área en el rectángulo delimitado por las líneas y el hecho de que siempre aumenta al aumentar y viceversa, podemos ver que limita superiormente el área del rectángulo debajo de la curva (con igualdad cuando ) y limita superior el área del rectángulo arriba de la curva (con igualdad cuando ). Así, con igualdad cuando (o equivalentemente, ). La desigualdad de Young se deriva de la evaluación de las integrales. (Consulte a continuación una generalización). ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$ ${\displaystyle p-1={\tfrac {1}{q-1}}.}$ ${\displaystyle y=x^{p-1}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x=y^{q-1}.}$ ${\displaystyle x=0,x=a,y=0,y=b,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{p-1}\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle b\geq a^{p-1}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{b}y^{q-1}\mathrm {d} y}$ ${\displaystyle b\leq a^{p-1}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{p-1}\mathrm {d} x+\int _{0}^{b}y^{q-1}\mathrm {d} y\geq ab,}$ ${\displaystyle b=a^{p-1}}$ ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$

Una segunda prueba es a través de la desigualdad de Jensen .

Prueba ^[3]

La afirmación es ciertamente cierta si de ahora en adelante se supone que y Put y Debido a que la función logaritmo es cóncava , ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0.}$ ${\displaystyle t=1/p}$ ${\displaystyle (1-t)=1/q.}$

$${\displaystyle \ln \left(ta^{p}+(1-t)b^{q}\right)~\geq ~t\ln \left(a^{p}\right)+(1-t)\ln \left(b^{q}\right)=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)}$$

siendo la igualdad válida si y sólo si la desigualdad de Young se sigue exponencializando. ${\displaystyle a^{p}=b^{q}.}$

Otra prueba más es probarlo primero con y luego aplicar la desigualdad resultante a . La siguiente prueba ilustra también por qué el exponente conjugado de Hölder es el único parámetro posible que hace que la desigualdad de Young sea válida para todos los valores no negativos. Los detalles siguen: ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b^{q}}}}$

Prueba

Deja y . La desigualdad ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

$${\displaystyle x~\leq ~\alpha x^{p}+\beta ,\qquad \,for\quad \ all\quad \ x~\geq ~0}$$

se cumple si y sólo si (y por tanto ). Esto se puede demostrar mediante argumentos de convexidad o simplemente minimizando la función de una sola variable. ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{p}}}$ ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{q}}}$

Para demostrar la desigualdad total de Young, asumimos claramente que y . Ahora aplicamos la desigualdad anterior para obtener: ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b^{s}}}}$

$${\displaystyle {\tfrac {a}{b^{s}}}~\leq ~{\tfrac {1}{p}}{\tfrac {a^{p}}{b^{sp}}}+{\tfrac {1}{q}}.}$$

Es fácil ver que elegir y multiplicar ambos lados por produce la desigualdad de Young. ${\displaystyle s=q-1}$ ${\displaystyle b^{q+1}}$

La desigualdad de Young puede escribirse de manera equivalente como

$${\displaystyle a^{\alpha }b^{\beta }\leq \alpha a+\beta b,\qquad \,0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \ \alpha +\beta =1.}$$

Donde esto es solo la concavidad de la función logaritmo . La igualdad se cumple si y sólo si o Esto también se deduce de la desigualdad ponderada AM-GM . ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \{\alpha ,\beta \}=\{0,1\}.}$

Generalizaciones

Teorema ^[4]  -  Supongamos y Si y son tales que entonces ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0.}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$

$${\displaystyle ab~=~\min _{0<t<\infty }\left({\frac {t^{p}a^{p}}{p}}+{\frac {t^{-q}b^{q}}{q}}\right).}$$

Usar y reemplazar con y con da como resultado la desigualdad: ${\displaystyle t:=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{1/p}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{1/q}}$

$${\displaystyle a^{1/p}\,b^{1/q}~\leq ~{\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}},}$$

lo cual es útil para demostrar la desigualdad de Hölder .

Prueba ^[4]

Defina una función de valor real sobre los números reales positivos mediante ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(t)~=~{\frac {t^{p}a^{p}}{p}}+{\frac {t^{-q}b^{q}}{q}}}$$

para cada y luego calcular su mínimo. ${\displaystyle t>0}$

Teorema  :  si con entonces ${\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}$ ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$

$${\displaystyle \prod _{i}{a_{i}}^{p_{i}}~\leq ~\sum _{i}p_{i}a_{i}.}$$

La igualdad se cumple si y sólo si todos los s con s distintos de cero son iguales. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Caso elemental

Un caso elemental de la desigualdad de Young es la desigualdad con exponente ${\displaystyle 2,}$

$${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}},}$$

^[5] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

$${\displaystyle ab~\leq ~{\frac {a^{2}}{2\varepsilon }}+{\frac {\varepsilon b^{2}}{2}}.}$$

Prueba : La desigualdad de Young con exponente es el caso especial. Sin embargo, tiene una prueba más elemental. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p=q=2.}$

Comienza observando que el cuadrado de todo número real es cero o positivo. Por tanto, para cada par de números reales y podemos escribir: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}}$$

$${\displaystyle 0\leq a^{2}-2ab+b^{2}}$$

${\displaystyle 2ab}$

$${\displaystyle 2ab\leq a^{2}+b^{2}}$$

${\displaystyle 2:}$

$${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}}$$

La desigualdad de Young se sigue sustituyendo y como se muestra a continuación en la desigualdad de Young con exponente ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle 2:}$

$${\displaystyle a'=a/{\sqrt {\varepsilon }},\;b'={\sqrt {\varepsilon }}b.}$$

Generalización matricial

T. Ando demostró una generalización de la desigualdad de Young para matrices complejas ordenadas según el orden de Loewner . ^[6] Afirma que para cualquier par de matrices complejas de orden existe una matriz unitaria tal que ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U^{*}|AB^{*}|U\preceq {\tfrac {1}{p}}|A|^{p}+{\tfrac {1}{q}}|B|^{q},}$$

transpuesta conjugada ${\displaystyle {}^{*}}$ ${\displaystyle |A|={\sqrt {A^{*}A}}.}$

Versión estándar para funciones crecientes.

Para la versión estándar ^{[7] [8]} de la desigualdad, denotemos una función con valor real, continua y estrictamente creciente en con y Denotemos la función inversa de Entonces, para todos y ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,c]}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle a\in [0,c]}$ ${\displaystyle b\in [0,f(c)],}$

$${\displaystyle ab~\leq ~\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx}$$

${\displaystyle b=f(a).}$

Con y esto se reduce a la versión estándar para exponentes conjugados de Hölder. ${\displaystyle f(x)=x^{p-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=y^{q-1},}$

Para detalles y generalizaciones nos remitimos al artículo de Mitroi & Niculescu. ^[9]

Generalización mediante transformadas de Fenchel-Legendre

Al denotar el conjugado convexo de una función real por obtenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g,}$

$${\displaystyle ab~\leq ~f(a)+g(b).}$$

transformación de Legendre ${\displaystyle f}$

De manera más general, si se define en un espacio vectorial real y su conjugado convexo se denota por (y se define en el espacio dual ), entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{\star }}$ ${\displaystyle X^{\star }}$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle \leq f^{\star }(u)+f(v).}$$

emparejamiento dual ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{\star }\times X\to \mathbb {R} }$

Ejemplos

El conjugado convexo de es con tal que y, por tanto, la desigualdad de Young para los exponentes conjugados de Hölder mencionada anteriormente es un caso especial. ${\displaystyle f(a)=a^{p}/p}$ ${\displaystyle g(b)=b^{q}/q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$

La transformada de Legendre es , por lo tanto, para todos los no negativos y. Esta estimación es útil en la teoría de grandes desviaciones en condiciones de momento exponencial, porque aparece en la definición de entropía relativa , que es la función de tasa en el teorema de Sanov . ${\displaystyle f(a)=e^{a}-1}$ ${\displaystyle g(b)=1-b+b\ln b}$ ${\displaystyle ab\leq e^{a}-b+b\ln b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle b\ln b}$

Ver también

• Conjugado convexo  – Generalización de la transformación de Legendre
• Integral de funciones inversas  - Teorema matemático, utilizado en cálculo
• Transformación de Legendre  – Transformación matemática
• Desigualdad de convolución de Young  : desigualdad matemática sobre la convolución de dos funciones

Notas

1. Young, WH (1912), "Sobre clases de funciones sumables y sus series de Fourier", Actas de la Royal Society A , 87 (594): 225–229, Bibcode :1912RSPSA..87..225Y, doi : 10.1098/ rspa.1912.0076 , JFM  43.1114.12, JSTOR  93236
2. Pearse, Erin. "Matemáticas 209D - Notas de la conferencia del seminario preparatorio de verano de análisis real" (PDF) . Consultado el 17 de septiembre de 2022 .
3. Bahouri, Chemin y Danchin 2011.
4. Jarchow 1981, págs.
5. Tisdell, Chris (2013), The Peter Paul Inequality, vídeo de YouTube en el canal de YouTube del Dr. Chris Tisdell,
6. T. Ando (1995). "Matriz de desigualdades jóvenes". En Huijsmans, CB; Kaashoek, MA; Luxemburgo, WAJ; et al. (eds.). Teoría del operador en espacios funcionales y redes de Banach . Saltador. págs. 33–38. ISBN 978-3-0348-9076-2.
7. Resistente, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1952) [1934], Desigualdades, Biblioteca Matemática de Cambridge (2ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-05206-8, SEÑOR  0046395, Zbl  0047.05302, Capítulo 4.8
8. Henstock, Ralph (1988), Conferencias sobre la teoría de la integración , Serie de análisis real Volumen I, Singapur, Nueva Jersey: World Scientific, ISBN 9971-5-0450-2, SEÑOR  0963249, Zbl  0668.28001, Teorema 2.9
9. Mitroi, FC y Niculescu, CP (2011). Una extensión de la desigualdad de Young. En Análisis abstracto y aplicado (Vol. 2011). Hindawi.

Referencias

• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Bahouri, Hajer ; Chemin, Jean-Yves ; Danchin, Raphaël (2011). Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 343. Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128.

enlaces externos

• La desigualdad de Young en PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "La desigualdad de los jóvenes". MundoMatemático .