Desigualdad de convolución de Young

Desigualdad matemática sobre la convolución de dos funciones.

En matemáticas , la desigualdad de convolución de Young es una desigualdad matemática sobre la convolución de dos funciones, ^[1] que lleva el nombre de William Henry Young .

Declaración

espacio euclidiano

En análisis real , el siguiente resultado se llama desigualdad de convolución de Young: ^[2]

Supongamos que está en el espacio de Lebesgue y está en y ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}$

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$

${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty .}$

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

Aquí la estrella denota convolución , es el espacio de Lebesgue y ${\displaystyle L^{p}}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}$$

${\displaystyle L^{p}}$

De manera equivalente, si y entonces ${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$

$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$$

Generalizaciones

La desigualdad de convolución de Young tiene una generalización natural en la que reemplazamos por un grupo unimodular. Si dejamos que sea una medida de Haar bi-invariante y dejamos que o sean funciones integrables, entonces definimos por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f*g}$

$${\displaystyle f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y).}$$

${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(G,\mu )}$ ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$$

$${\displaystyle \lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}.}$$

${\displaystyle p,q,r\geq 1}$ ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$

$${\displaystyle \left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.}$$

grupo abeliano localmente compacto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Esta generalización puede perfeccionarse. Sea y sea como antes y supongamos que satisface . Entonces existe una constante tal que para cualquier función medible que pertenezca al espacio débil que, por definición, significa que el siguiente supremo ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$ ${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(G,\mu )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{q,w}(G,\mu ),}$

$${\displaystyle \|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)}$$

^[3] ${\displaystyle f*g\in L^{r}(G,\mu )}$

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}.}$$

Aplicaciones

Una aplicación de ejemplo es que la desigualdad de Young se puede utilizar para mostrar que el semigrupo de calor es un semigrupo que se contrae usando la norma (es decir, la transformada de Weierstrass no amplía la norma). ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Prueba

Prueba por la desigualdad de Hölder

La desigualdad de Young tiene una prueba elemental con la constante no óptima 1. ^[4]

Suponemos que las funciones son no negativas e integrables, donde es un grupo unimodular dotado de una medida de Haar bi-invariante Usamos el hecho de que para cualquier medible Dado que ${\displaystyle f,g,h:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$ ${\displaystyle S\subseteq G.}$ ${\textstyle p(2-{\tfrac {1}{q}}-{\tfrac {1}{r}})=q(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{r}})=r(2-{\tfrac {1}{p}}-{\tfrac {1}{q}})=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\={}&\int _{G}\int _{G}\left(f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(f(x)^{p}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\end{aligned}}}$$

desigualdad de Hölder

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\\&\leq \left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{r}}}\left(\int _{G}\int _{G}f(x)^{p}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\left(\int _{G}\int _{G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right)^{1-{\frac {1}{p}}}.\end{aligned}}}$$

teorema de Fubini

Prueba por interpolación

La desigualdad de Young también puede demostrarse mediante interpolación; consulte el artículo sobre la interpolación de Riesz-Thorin para obtener una prueba.

Constante aguda

En caso de que la desigualdad de Young pueda reforzarse hasta alcanzar una forma marcada, mediante ${\displaystyle p,q>1,}$

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$$

^{[5] [6] [7]}funciones gaussianas multidimensionales ${\displaystyle c_{p,q}<1.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Ver también

• Desigualdad de Minkowski  : desigualdad que estableció que los espacios L ^p son espacios vectoriales normados

Notas

1. Young, WH (1912), "Sobre la multiplicación de sucesiones de constantes de Fourier", Actas de la Royal Society A , 87 (596): 331–339, doi : 10.1098/rspa.1912.0086 , JFM  44.0298.02, JSTOR  93120
2. Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoría de la medida , vol. I, Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8, SEÑOR  2267655, Zbl  1120.28001, Teorema 3.9.4
3. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
4. Lieb, Elliott H .; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Estudios de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 100.ISBN​ 978-0-8218-2783-3. OCLC  45799429.
5. Beckner, William (1975). "Desigualdades en el análisis de Fourier". Anales de Matemáticas . 102 (1): 159–182. doi :10.2307/1970980. JSTOR  1970980.
6. Brascamp, Herm Jan; Lieb, Elliott H (1 de mayo de 1976). "Las mejores constantes en la desigualdad de Young, su inversa y su generalización a más de tres funciones". Avances en Matemáticas . 20 (2): 151-173. doi :10.1016/0001-8708(76)90184-5.
7. Fournier, John JF (1977), "Nitidez en la desigualdad de Young para la convolución", Pacific Journal of Mathematics , 72 (2): 383–397, doi : 10.2140/pjm.1977.72.383 , MR  0461034, Zbl  0357.43002

Referencias

• Bahouri, Hajer ; Chemin, Jean-Yves ; Danchin, Raphaël (2011). Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 343. Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC  704397128.

enlaces externos

• Desigualdad de Young para convoluciones en ProofWiki