La desigualdad de Young para productos se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Hölder . También se usa ampliamente para estimar la norma de términos no lineales en la teoría PDE , ya que permite estimar un producto de dos términos por una suma de los mismos términos elevado a una potencia y escalada.
Versión estándar para exponentes conjugados de Hölder
La forma estándar de la desigualdad es la siguiente, que puede usarse para probar la desigualdad de Hölder .
Dado que una gráfica en el plano también es una gráfica, de dibujar una representación visual de las integrales del área entre esta curva y los ejes, y el área en el rectángulo delimitado por las líneas y el hecho de que siempre aumenta al aumentar y viceversa, podemos ver que limita superiormente el área del rectángulo debajo de la curva (con igualdad cuando ) y limita superior el área del rectángulo arriba de la curva (con igualdad cuando ). Así, con igualdad cuando (o equivalentemente, ). La desigualdad de Young se deriva de la evaluación de las integrales. (Consulte a continuación una generalización).
La afirmación es ciertamente cierta si de ahora en adelante se supone que y
Put y
Debido a que la función logaritmo es cóncava ,
siendo la igualdad válida si y sólo si
la desigualdad de Young se sigue exponencializando.
Otra prueba más es probarlo primero con y luego aplicar la desigualdad resultante a . La siguiente prueba ilustra también por qué el exponente conjugado de Hölder es el único parámetro posible que hace que la desigualdad de Young sea válida para todos los valores no negativos. Los detalles siguen:
Prueba
Deja y . La desigualdad
se cumple si y sólo si (y por tanto ). Esto se puede demostrar mediante argumentos de convexidad o simplemente minimizando la función de una sola variable.
Para demostrar la desigualdad total de Young, asumimos claramente que y . Ahora aplicamos la desigualdad anterior para obtener:
Es fácil ver que elegir y multiplicar ambos lados por produce la desigualdad de Young.
La desigualdad de Young puede escribirse de manera equivalente como
Donde esto es solo la concavidad de la función logaritmo . La igualdad se cumple si y sólo si o
Esto también se deduce de la desigualdad ponderada AM-GM .
Generalizaciones
Teorema [4] - Supongamos y
Si y son tales que entonces
Usar y reemplazar con y con da como resultado la desigualdad:
Defina una función de valor real sobre los números reales positivos mediante
para cada y luego calcular su mínimo.
Teorema : si con entonces
La igualdad se cumple si y sólo si todos los s con s distintos de cero son iguales.
Caso elemental
Un caso elemental de la desigualdad de Young es la desigualdad con exponente
[5]
Prueba : La desigualdad de Young con exponente es el caso especial. Sin embargo, tiene una prueba más elemental.
Comienza observando que el cuadrado de todo número real es cero o positivo. Por tanto, para cada par de números reales y podemos escribir:
La desigualdad de Young se sigue sustituyendo y como se muestra a continuación en la desigualdad de Young con exponente
Generalización matricial
T. Ando demostró una generalización de la desigualdad de Young para matrices complejas ordenadas según el orden de Loewner . [6] Afirma que para cualquier par de matrices complejas de orden existe una matriz unitaria tal que
Para la versión estándar [7] [8] de la desigualdad, denotemos una función con valor real, continua y estrictamente creciente en con y Denotemos la función inversa de Entonces, para todos y
Con y esto se reduce a la versión estándar para exponentes conjugados de Hölder.
Para detalles y generalizaciones nos remitimos al artículo de Mitroi & Niculescu. [9]
Generalización mediante transformadas de Fenchel-Legendre
El conjugado convexo de es con tal que y, por tanto, la desigualdad de Young para los exponentes conjugados de Hölder mencionada anteriormente es un caso especial.
^ Young, WH (1912), "Sobre clases de funciones sumables y sus series de Fourier", Actas de la Royal Society A , 87 (594): 225–229, Bibcode :1912RSPSA..87..225Y, doi : 10.1098/ rspa.1912.0076 , JFM 43.1114.12, JSTOR 93236
^ Pearse, Erin. "Matemáticas 209D - Notas de la conferencia del seminario preparatorio de verano de análisis real" (PDF) . Consultado el 17 de septiembre de 2022 .
^ Bahouri, Chemin y Danchin 2011.
^ ab Jarchow 1981, págs.
^ Tisdell, Chris (2013), The Peter Paul Inequality, vídeo de YouTube en el canal de YouTube del Dr. Chris Tisdell,
^ T. Ando (1995). "Matriz de desigualdades jóvenes". En Huijsmans, CB; Kaashoek, MA; Luxemburgo, WAJ; et al. (eds.). Teoría del operador en espacios funcionales y redes de Banach . Saltador. págs. 33–38. ISBN978-3-0348-9076-2.
^ Resistente, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1952) [1934], Desigualdades, Biblioteca Matemática de Cambridge (2ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN0-521-05206-8, SEÑOR 0046395, Zbl 0047.05302, Capítulo 4.8
^ Henstock, Ralph (1988), Conferencias sobre la teoría de la integración , Serie de análisis real Volumen I, Singapur, Nueva Jersey: World Scientific, ISBN9971-5-0450-2, SEÑOR 0963249, Zbl 0668.28001, Teorema 2.9
^ Mitroi, FC y Niculescu, CP (2011). Una extensión de la desigualdad de Young. En Análisis abstracto y aplicado (Vol. 2011). Hindawi.
Referencias
Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Bahouri, Hajer ; Chemin, Jean-Yves ; Danchin, Raphaël (2011). Análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 343. Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC 704397128.