Integral iterada

Tipo de integral de funciones de múltiples variables

En cálculo multivariable , una integral iterada es el resultado de aplicar integrales a una función de más de una variable (por ejemplo o ) de tal forma que cada una de las integrales considere algunas de las variables como constantes dadas . Por ejemplo, la función , si se considera un parámetro dado , se puede integrar con respecto a , . El resultado es función de y por tanto se puede considerar su integral. Si se hace esto, el resultado es la integral iterada. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \int f(x,y)\,dx}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

Es clave para la noción de integrales iteradas que ésta sea diferente, en principio, de la integral múltiple .

${\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy.}$

En general, aunque estos dos pueden ser diferentes, el teorema de Fubini establece que bajo condiciones específicas son equivalentes.

La notación alternativa para integrales iteradas.

${\displaystyle \int dy\int dx\,f(x,y)}$

también se utiliza.

En la notación que utiliza paréntesis, las integrales iteradas se calculan siguiendo el orden operativo indicado por los paréntesis comenzando desde la integral más interna y externa. En la notación alternativa, escribiendo , primero se calcula el integrando más interno. ${\textstyle \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$

Ejemplos

Un cálculo sencillo

Para la integral iterada

${\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}$

la integral

${\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}$

se calcula primero y luego el resultado se usa para calcular la integral con respecto a  y .

${\displaystyle \int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

Este ejemplo omite las constantes de integración. Después de la primera integración con respecto a  x , necesitaríamos rigurosamente introducir una función "constante" de  y . Es decir, si tuviéramos que diferenciar esta función con respecto a x , cualquier término que contenga solo  y desaparecería, dejando el integrando original. De manera similar, para la segunda integral, introduciríamos una función "constante" de  x , porque hemos integrado con respecto a  y . De esta forma, la integración indefinida no tiene mucho sentido para funciones de varias variables.

El orden es importante

El orden en el que se calculan las integrales es importante en las integrales iteradas, particularmente cuando el integrando no es continuo en el dominio de integración. Los ejemplos en los que los diferentes órdenes conducen a resultados diferentes suelen ser para funciones complicadas como la que sigue.

Defina la secuencia de manera que . Sea una secuencia de funciones continuas que no desaparecen en el intervalo y son cero en otros lugares, tal que para cada . Definir ${\displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle a_{n}\to 1}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n},a_{n+1})}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n}(y).}$

En la suma anterior, en cada , como máximo un término es distinto de cero. Para esta función sucede que ^[1] ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$

Ver también

• Teorema de Fubini  : condiciones para cambiar el orden de integración en cálculo

Referencias

1. Rudin, W., Análisis real y complejo , 1970