Riesz–Thorin theorem

Teorema sobre la interpolación de operadores

In mathematics, the Riesz–Thorin theorem, often referred to as the Riesz–Thorin interpolation theorem or the Riesz–Thorin convexity theorem, is a result about interpolation of operators. It is named after Marcel Riesz and his student G. Olof Thorin.

This theorem bounds the norms of linear maps acting between Lp spaces. Its usefulness stems from the fact that some of these spaces have rather simpler structure than others. Usually that refers to L² which is a Hilbert space, or to L¹ and L^∞. Therefore one may prove theorems about the more complicated cases by proving them in two simple cases and then using the Riesz–Thorin theorem to pass from the simple cases to the complicated cases. The Marcinkiewicz theorem is similar but applies also to a class of non-linear maps.

Motivation

First we need the following definition:

Definition. Let p₀, p₁ be two numbers such that 0 < p₀ < p₁ ≤ ∞. Then for 0 < θ < 1 define p_θ by:  1/p_θ = 1 − θ/p₀ + θ/p₁.

By splitting up the function  f  in L^p_θ as the product | f | = | f |^1−θ | f |^θ and applying Hölder's inequality to its p_θ power, we obtain the following result, foundational in the study of L^p-spaces:

Proposition (log-convexity of L^p-norms) — Each  f  ∈ L^p₀ ∩ L^p₁ satisfies:

This result, whose name derives from the convexity of the map 1⁄p ↦ log || f ||_p on [0, ∞], implies that L^p₀ ∩ L^p₁ ⊂ L^p_θ.

Por otro lado, si tomamos la descomposición en capas f   =   f 1 _{{| f |>1}} +   f 1 _{{| f |≤1}} , entonces vemos que f 1 _{{| f |>1}} ∈ L ^{p ₀} y f 1 _{{| f |≤1}} ∈ L ^{p ₁} , de donde obtenemos el siguiente resultado:  

Proposición  :  cada f en L ^{p _θ} se puede escribir como una suma: f   = g + h , donde g ∈ L ^{p ₀} y h ∈ L ^{p ₁} .   

En particular, el resultado anterior implica que L ^{p _θ} está incluido en L ^{p ₀} + L ^{p ₁} , la suma de L ^{p ₀} y L ^{p ₁} en el espacio de todas las funciones medibles. Por tanto, tenemos la siguiente cadena de inclusiones:

Corolario  -  L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} ⊂ L ^{p _θ} ⊂ L ^{p ₀} + L ^{p ₁} .

En la práctica, a menudo nos encontramos con operadores definidos en la suma L ^{p ₀} + L ^{p ₁} . Por ejemplo, el lema de Riemann-Lebesgue muestra que la transformada de Fourier asigna L ¹ ( R ^d ) de forma acotada a L ^∞ ( R ^d ) , y el teorema de Plancherel muestra que la transformada de Fourier asigna L ² ( R ^d ) de forma acotada a sí misma, de ahí la La transformada de Fourier se extiende a ( L ¹ + L ² ) ( R ^d ) estableciendo ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1}+f_{2})={\mathcal {F}}_{L^{1}}(f_{1})+{\mathcal {F}}_{L^{2}}(f_{2})}$$

f ₁   ∈ L ¹ ( R ^d )f ₂   ∈ L ² ( R ^d )subespacios intermedios L ^{p _θ}  

Para este fin, volvemos a nuestro ejemplo y observamos que la transformada de Fourier en la suma L ¹ + L ² se obtuvo tomando la suma de dos instanciaciones del mismo operador, a saber

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}:L^{1}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{\infty }(\mathbf {R} ^{d}),}$$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}:L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}).}$$

Estos realmente son el mismo operador, en el sentido de que concuerdan en el subespacio ( L ¹ ∩ L ² ) ( R ^d ) . Dado que la intersección contiene funciones simples , es densa tanto en L ¹ ( R ^d ) como en L ² ( R ^d ) . Los operadores continuos densamente definidos admiten extensiones únicas, por lo que estamos justificados para considerar y ser lo mismo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}}$

Por lo tanto, el problema de estudiar operadores en el conjunto suma L ^{p ₀} + L ^{p ₁} se reduce esencialmente al estudio de operadores que mapean dos espacios de dominio natural, L ^{p ₀} y L ^{p ₁} , acotados a dos espacios objetivo: L ^{q ₀} y L. ^{q ₁} , respectivamente. Dado que dichos operadores asignan el espacio suma L ^{p ₀} + L ^{p ₁} a L ^{q ₀} + L ^{q ₁} , es natural esperar que estos operadores asignan el espacio intermedio L ^{p _θ} al espacio intermedio correspondiente L ^{q _θ} .

Declaración del teorema

Hay varias formas de enunciar el teorema de interpolación de Riesz-Thorin; ^[1] para ser coherentes con las notaciones de la sección anterior, utilizaremos la formulación sumativa.

Teorema de interpolación de Riesz-Thorin  :  Sean (Ω ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) y (Ω ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) espacios de medidas finitas σ . Supongamos 1 ≤ p ₀ , q ₀ , p ₁ , q ₁ ≤ ∞ , y sea T  : L ^{p ₀} ( μ ₁ ) + L ^{p ₁} ( μ ₁ ) → L ^{q ₀} ( μ ₂ ) + L ^{q ₁} ( μ ₂ ) ser un operador lineal que mapea de forma acotada L ^{p ₀} ( μ ₁ ) en L ^{q ₀} ( μ ₂ ) y L ^{p ₁} ( μ ₁ ) en L ^{q ₁} ( μ ₂ ) . Para 0 < θ < 1 , definamos p _θ , q _θ como se indicó anteriormente. Entonces T asigna de forma acotada L ^{p _θ} ( μ ₁ ) a L ^{q _θ} ( μ ₂ ) y satisface la estimación de la norma del operador

En otras palabras, si T es simultáneamente de tipo ( p ₀ , q ₀ ) y de tipo ( p ₁ , q ₁ ) , entonces T es de tipo ( p _θ , q _θ ) para todo 0 < θ < 1 . De esta manera, el teorema de interpolación se presta a una descripción gráfica. De hecho, el diagrama de Riesz de T es la colección de todos los puntos (1/pag,1/q) en el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] tal que T es de tipo ( p , q ) . El teorema de interpolación establece que el diagrama de Riesz de T es un conjunto convexo: dados dos puntos en el diagrama de Riesz, el segmento de recta que los conecta también estará en el diagrama.

El teorema de interpolación fue establecido y demostrado originalmente por Marcel Riesz en 1927. ^[2] El artículo de 1927 establece el teorema sólo para el triángulo inferior del diagrama de Riesz, es decir, con la restricción de que p ₀ ≤ q ₀ y p ₁ ≤ q ₁ . Olof Thorin extendió el teorema de interpolación a todo el cuadrado, eliminando la restricción del triángulo inferior. La prueba de Thorin se publicó originalmente en 1938 y posteriormente se amplió en su tesis de 1948. ^[3]

Prueba

Primero probaremos el resultado para funciones simples y finalmente mostraremos cómo la densidad puede extender el argumento a todas las funciones mensurables.

Funciones simples

Por simetría, supongamos (el caso se deriva trivialmente de ( 1 )). Sea una función simple , es decir ${\textstyle p_{0}<p_{1}}$ ${\textstyle p_{0}=p_{1}}$ ${\textstyle f}$

$${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{m}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$$

${\textstyle m\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle a_{j}=\left\vert a_{j}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle A_{j}\in \Sigma _{1}}$ ${\textstyle j=1,2,\dots ,m}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle \Omega _{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle g=\sum _{k=1}^{n}b_{k}\mathbf {1} _{B_{k}}}$$

${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle b_{k}=\left\vert b_{k}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle B_{k}\in \Sigma _{2}}$ ${\textstyle k=1,2,\dots ,n}$

Tenga en cuenta que, dado que asumimos que y son espacios métricos finitos, y para todos . Luego, mediante una normalización adecuada, podemos suponer y , con y con , como lo define el enunciado del teorema. ${\textstyle \Omega _{1}}$ ${\textstyle \Omega _{2}}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle f\in L^{r}(\mu _{1})}$ ${\textstyle g\in L^{r}(\mu _{2})}$ ${\textstyle r\in [1,\infty ]}$ ${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$ ${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$ ${\textstyle q_{\theta }'=q_{\theta }(q_{\theta }-1)^{-1}}$ ${\textstyle p_{\theta }}$ ${\textstyle q_{\theta }}$

A continuación, definimos las dos funciones complejas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}u:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} &v:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\z&\mapsto u(z)={\frac {1-z}{p_{0}}}+{\frac {z}{p_{1}}}&z&\mapsto v(z)={\frac {1-z}{q_{0}}}+{\frac {z}{q_{1}}}.\end{aligned}}}$$

${\textstyle z=\theta }$ ${\textstyle u(\theta )=p_{\theta }^{-1}}$ ${\textstyle v(\theta )=q_{\theta }^{-1}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}&=\sum _{j=1}^{m}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\mathbf {1} _{A_{j}}\\g_{z}&=\sum _{k=1}^{n}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\mathbf {1} _{B_{k}}\end{aligned}}}$$

${\textstyle f_{\theta }=f}$ ${\textstyle g_{\theta }=g}$ ${\textstyle q_{0}=q_{1}=1}$ ${\textstyle v\equiv 1}$ ${\textstyle g_{z}=g}$ ${\textstyle z}$

Introduzcamos ahora la función

$${\displaystyle \Phi (z)=\int _{\Omega _{2}}(Tf_{z})g_{z}\,\mathrm {d} \mu _{2}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\gamma _{j,k}}$$

2 ${\textstyle \gamma _{j,k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha _{j}+\beta _{k})}\int _{\Omega _{2}}(T\mathbf {1} _{A_{j}})\mathbf {1} _{B_{k}}\,\mathrm {d} \mu _{2}}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle \Phi (z)}$ ${\textstyle 0\leq \operatorname {\mathbb {R} e} z\leq 1}$

para todos y como se construyó anteriormente. De hecho, si ( 3 ) es cierto, según el teorema de las tres líneas de Hadamard , ${\textstyle f_{z}}$ ${\textstyle g_{z}}$

$${\displaystyle \left\vert \Phi (\theta +\mathrm {i} 0)\right\vert ={\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$

${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f}$

$${\displaystyle \sup _{g}{\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$

^[4] ${\textstyle g}$ ${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$

Lema  :  Sean exponentes conjugados y sea una función en . Entonces ${\textstyle 1\leq p,p'\leq \infty }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle L^{p}(\mu _{1})}$

$${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=\sup {\biggl |}\int _{\Omega _{1}}fg\,\mathrm {d} \mu _{1}{\biggr |}}$$

donde el supremo se hace cargo de todas las funciones simples de tal manera que . ${\textstyle g}$ ${\textstyle L^{p'}(\mu _{1})}$ ${\textstyle \lVert g\rVert _{p'}\leq 1}$

En nuestro caso, el lema anterior implica

$${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$

${\textstyle f}$ ${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$

$${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}$$

Prueba de ( 3 )

Demostremos ahora que nuestra afirmación ( 3 ) es ciertamente cierta. La secuencia consta de subconjuntos disjuntos y, por lo tanto, cada uno pertenece (como máximo) a uno de ellos, digamos . Entonces para , ${\textstyle (A_{j})_{j=1}^{m}}$ ${\textstyle \Sigma _{1}}$ ${\textstyle \xi \in \Omega _{1}}$ ${\textstyle A_{\hat {\jmath }}}$ ${\textstyle z=\mathrm {i} y}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert f_{\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert &=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {u(\mathrm {i} y)}{u(\theta )}}\\&=\exp {\biggl (}\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert {\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}{\biggr )}\exp {\biggl (}-\mathrm {i} y\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert p_{\theta }{\biggl (}{\frac {1}{p_{0}}}-{\frac {1}{p_{1}}}{\biggr )}{\biggr )}\\&=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\\&=\left\vert f(\xi )\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\leq \lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}}$ ${\textstyle \zeta \in \Omega _{2}}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle B_{\hat {k}}}$

$${\displaystyle \left\vert g_{\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert b_{\hat {k}}\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\implies \lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\leq \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}.}$$

Ahora podemos acotar : Aplicando la desigualdad de Hölder con exponentes conjugados y , tenemos ${\textstyle \Phi (\mathrm {i} y)}$ ${\textstyle q_{0}}$ ${\textstyle q_{0}'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert \Phi (\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \lVert Tf_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}.\end{aligned}}}$$

Podemos repetir el mismo proceso para obtener y , finalmente, ${\textstyle z=1+\mathrm {i} y}$ ${\textstyle \left\vert f_{1+\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert =\left\vert f(\xi )\right\vert ^{p_{\theta }/p_{1}}}$ ${\textstyle \left\vert g_{1+\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{q_{\theta }'/q_{1}'}}$

$${\displaystyle \left\vert \Phi (1+\mathrm {i} y)\right\vert \leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert f_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{p_{1}}\lVert g_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{q_{1}'}=\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}.}$$

Extensión a todas las funciones mensurables en L p θ

Hasta ahora hemos demostrado que

cuando es una función simple. Como ya se mencionó, la desigualdad es válida para todos según la densidad de funciones simples en . ${\textstyle f}$ ${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$ ${\textstyle L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$

Formalmente, sea y sea una secuencia de funciones simples tales que , para todos y puntualmente. Dejemos y definamos , , y . Tenga en cuenta que, dado que estamos asumiendo , ${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$ ${\textstyle (f_{n})_{n}}$ ${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle f_{n}\to f}$ ${\textstyle E=\{x\in \Omega _{1}:\left\vert f(x)\right\vert >1\}}$ ${\textstyle g=f\mathbf {1} _{E}}$ ${\textstyle g_{n}=f_{n}\mathbf {1} _{E}}$ ${\textstyle h=f-g=f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}}$ ${\textstyle h_{n}=f_{n}-g_{n}}$ ${\textstyle p_{0}\leq p_{\theta }\leq p_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E}\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert g\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert g\rVert _{p_{0}}^{p_{0}}\\\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert h\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert h\rVert _{p_{1}}^{p_{1}}\end{aligned}}}$$

${\textstyle g\in L^{p_{0}}(\Omega _{1})}$ ${\textstyle h\in L^{p_{1}}(\Omega _{1})}$

Veamos qué sucede en el límite de . Dado que , y , por el teorema de convergencia dominada uno fácilmente tiene ${\textstyle n\to \infty }$ ${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert g_{n}\right\vert \leq \left\vert g\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert h_{n}\right\vert \leq \left\vert h\right\vert }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to \lVert f\rVert _{p_{\theta }}&\lVert g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to \lVert g\rVert _{p_{0}}&\lVert h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to \lVert h\rVert _{p_{1}}.\end{aligned}}}$$

${\textstyle \left\vert f-f_{n}\right\vert \leq 2\left\vert f\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert g-g_{n}\right\vert \leq 2\left\vert g\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert h-h_{n}\right\vert \leq 2\left\vert h\right\vert }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f-f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to 0&\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to 0&\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to 0\end{aligned}}}$$

${\textstyle T}$ ${\textstyle (p_{0},q_{0})}$ ${\textstyle (p_{1},q_{1})}$ ${\textstyle (p_{\theta },q_{\theta })}$ ${\textstyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{p_{0}}&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}\to 0&\lVert Th-Th_{n}\rVert _{p_{1}}&\leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}\to 0.\end{aligned}}}$$

Ahora es fácil demostrarlo y en medida: para cualquiera , la desigualdad de Chebyshev da como resultado ${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$ ${\textstyle Th_{n}\to Th}$ ${\textstyle \epsilon >0}$

$${\displaystyle \mu _{2}(y\in \Omega _{2}:\left\vert Tg-Tg_{n}\right\vert >\epsilon )\leq {\frac {\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{q_{0}}^{q_{0}}}{\epsilon ^{q_{0}}}}}$$

el lema de Fatou4 ${\textstyle Th-Th_{n}}$ ${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$ ${\textstyle Th_{n}\to Th}$ ${\textstyle Tf_{n}\to Tf}$

$${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \liminf _{n\to \infty }\lVert Tf_{n}\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\liminf _{n\to \infty }\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}=\|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}$$

Interpolación de familias analíticas de operadores.

El esquema de prueba presentado en la sección anterior se generaliza fácilmente al caso en el que se permite que el operador T varíe analíticamente. De hecho, se puede realizar una prueba análoga para establecer un límite en toda la función

$${\displaystyle \varphi (z)=\int (T_{z}f_{z})g_{z}\,d\mu _{2},}$$

Elias Stein^[5]

Teorema de interpolación de Stein  :  Sean (Ω ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) y (Ω ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) espacios de medidas finitas . Supongamos 1 ≤ p ₀ , p ₁ ≤ ∞, 1 ≤ q ₀ , q ₁ ≤ ∞ , y defina:

S = { z ∈ C  : 0 < Re( z ) < 1} ,

S = { z ∈ C  : 0 ≤ Re( z ) ≤ 1}.

Tomamos una colección de operadores lineales { T _z  : z ∈ S } en el espacio de funciones simples en L ¹ ( μ ₁ ) en el espacio de todas las funciones medibles μ ₂ en Ω ₂ . Asumimos las siguientes propiedades adicionales en esta colección de operadores lineales:

• el mapeo
  $${\displaystyle z\mapsto \int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}}$$
  es continua en S y holomorfa en S para todas las funciones simples f y g .  
• Para alguna constante k < π , los operadores satisfacen el límite uniforme:
  $${\displaystyle \sup _{z\in S}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left|\int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}\right|<\infty }$$
• T _z asigna L ^{p ₀} ( μ ₁ ) de forma acotada a L ^{q ₀} ( μ ₂ ) siempre que Re ( z ) = 0 .
• T _z asigna L ^{p ₁} ( μ ₁ ) de forma acotada a L ^{q ₁} ( μ ₂ ) siempre que Re ( z ) = 1 .
• Las normas del operador satisfacen el límite uniforme.
  $${\displaystyle \sup _{{\text{Re}}(z)=0,1}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left\|T_{z}\right\|<\infty }$$
  para alguna constante k < π .

Luego, para cada 0 < θ < 1 , el operador T _θ asigna L ^{p _θ} ( μ ₁ ) de forma acotada a L ^{q _θ} ( μ ₂ ) .

La teoría de los espacios reales de Hardy y el espacio de oscilaciones medias acotadas nos permite utilizar el argumento del teorema de interpolación de Stein al tratar con operadores en el espacio de Hardy H ¹ ( R ^d ) y el espacio BMO de oscilaciones medias acotadas; Este es el resultado de Charles Fefferman y Elias Stein . ^[6]

Aplicaciones

Hausdorff-Desigualdad joven

Se ha demostrado en la primera sección que la transformada de Fourier asigna L ¹ ( R ^d ) de forma acotada a L ^∞ ( R ^d ) y L ² ( R ^d ) a sí misma. Un argumento similar muestra que el operador de la serie de Fourier , que transforma funciones periódicas f   : T → C en funciones cuyos valores son los coeficientes de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  ${\displaystyle {\hat {f}}:\mathbf {Z} \to \mathbf {C} }$

$${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx,}$$

L ¹ ( T )ℓ ^∞ ( Z )L ² ( T )ℓ ² ( Z )

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\mathcal {F}}f\right\|_{L^{q}(\mathbf {R} ^{d})}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\\\left\|{\hat {f}}\right\|_{\ell ^{q}(\mathbf {Z} )}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {T} )}\end{aligned}}}$$

1 ≤ p ≤ 21/pag+1/q= 1desigualdad de Hausdorff-Young

La desigualdad de Hausdorff-Young también se puede establecer para la transformada de Fourier en grupos abelianos localmente compactos . La estimación normal de 1 no es óptima. Consulte el artículo principal para obtener referencias.

Operadores de convolución

Sea f una función fija integrable y sea T el operador de convolución con f , es decir, para cada función g tenemos Tg =   f   ∗ g .    

Es bien sabido que T está acotado de L ¹ a L ¹ y es trivial que esté acotado de L ^∞ a L ^∞ (ambos límites son por ||  f  || ₁ ). Por tanto, el teorema de Riesz-Thorin da

$${\displaystyle \|f*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$$

Tomamos esta desigualdad y cambiamos el papel del operador y el operando, o en otras palabras, pensamos en S como el operador de convolución con g , y obtenemos que S está acotado de L ¹ a L ^p . Además, dado que g está en L ^p obtenemos, en vista de la desigualdad de Hölder, que S está acotado de L ^q a L ^∞ , donde nuevamente1/pag+1/q= 1 . Entonces interpolando obtenemos

$${\displaystyle \|f*g\|_{s}\leq \|f\|_{r}\|g\|_{p}}$$

prs

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.}$$

La transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert de f   : R → C viene dada por 

$${\displaystyle {\mathcal {H}}f(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x-t)}{t}}\,dt=\left({\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} {\frac {1}{t}}\ast f\right)(x),}$$

valor principal de Cauchyoperador multiplicador de Fourier

$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {H}}f}}(\xi )=-i\,\operatorname {sgn}(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$$

Del teorema de Plancherel se deduce que la transformada de Hilbert aplica L ² ( R ) acotadamente dentro de sí misma.

Sin embargo, la transformada de Hilbert no está acotada por L ¹ ( R ) o L ^∞ ( R ) , por lo que no podemos usar el teorema de interpolación de Riesz-Thorin directamente. Para ver por qué no tenemos estos límites de punto final, basta con calcular la transformada de Hilbert de las funciones simples 1 _(−1,1) ( x ) y 1 _(0,1) ( x ) − 1 _(0,1) ( −x ) .​ Podemos demostrar, sin embargo, que

$${\displaystyle ({\mathcal {H}}f)^{2}=f^{2}+2{\mathcal {H}}(f{\mathcal {H}}f)}$$

las funciones de Schwartz f   : R → Cdesigualdad de Cauchy-SchwarzL ^{2 n} ( R ^d )n ≥ 2 

$${\displaystyle \|{\mathcal {H}}f\|_{p}\leq A_{p}\|f\|_{p}}$$

2 ≤ p < ∞autoadjunción1 < p ≤ 2

Comparación con el método de interpolación real.

Si bien el teorema de interpolación de Riesz-Thorin y sus variantes son herramientas poderosas que producen una estimación limpia de las normas de los operadores interpolados, adolecen de numerosos defectos: algunos menores, otros más graves. Tenga en cuenta primero que la naturaleza analítica compleja de la prueba del teorema de interpolación de Riesz-Thorin obliga a que el campo escalar sea C. Para funciones de valor real extendido, esta restricción se puede evitar redefiniendo la función para que sea finita en todas partes (posible, ya que toda función integrable debe ser finita en casi todas partes). Una desventaja más grave es que, en la práctica, muchos operadores, como el operador máximo de Hardy-Littlewood y los operadores de Calderón-Zygmund , no tienen buenas estimaciones de punto final. ^[7] En el caso de la transformada de Hilbert en la sección anterior, pudimos evitar este problema calculando explícitamente las estimaciones de la norma en varios puntos intermedios. Esto es engorroso y a menudo no es posible en escenarios más generales. Dado que muchos de estos operadores satisfacen las estimaciones de tipo débil

$${\displaystyle \mu \left(\{x:Tf(x)>\alpha \}\right)\leq \left({\frac {C_{p,q}\|f\|_{p}}{\alpha }}\right)^{q},}$$

teorema de interpolación de Marcinkiewicz,operador máximo de Hardy-Littlewoodsublinealesespacios de LorentzL ^p

Teorema de Mitiagin

B. Mityagin amplió el teorema de Riesz-Thorin; esta extensión se formula aquí en el caso especial de espacios de secuencias con bases incondicionales (cf. más abajo).

Asumir:

$${\displaystyle \|A\|_{\ell _{1}\to \ell _{1}},\|A\|_{\ell _{\infty }\to \ell _{\infty }}\leq M.}$$

Entonces

$${\displaystyle \|A\|_{X\to X}\leq M}$$

para cualquier espacio de Banach incondicional de secuencias X , es decir, para cualquiera y cualquiera ,. ${\displaystyle (x_{i})\in X}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{i})\in \{-1,1\}^{\infty }}$ ${\displaystyle \|(\varepsilon _{i}x_{i})\|_{X}=\|(x_{i})\|_{X}}$

La prueba se basa en el teorema de Krein-Milman .

Ver también

• Teorema de interpolación de Marcinkiewicz
• Espacio de interpolación

Notas

1. Stein y Weiss (1971) y Grafakos (2010) utilizan operadores en funciones simples, y Muscalu y Schlag (2013) utilizan operadores en subconjuntos densos genéricos de la intersección L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} . Por el contrario, Duoanddikoetxea (2001), Tao (2010) y Stein y Shakarchi (2011) utilizan la formulación suma, que adoptamos en esta sección.
2. Riesz (1927). La prueba hace uso de los resultados de la convexidad en la teoría de formas bilineales. Por esta razón, muchas referencias clásicas como Stein y Weiss (1971) se refieren al teorema de interpolación de Riesz-Thorin como teorema de convexidad de Riesz .
3. Thorin (1948)
4. Bernardo, Calista. «Teoremas y aplicaciones de interpolación» (PDF) .
5. Stein (1956). Como señala Charles Fefferman en su ensayo en Fefferman, Fefferman, Wainger (1995), la prueba del teorema de interpolación de Stein es esencialmente la del teorema de Riesz-Thorin con la letra z agregada al operador. Para compensar esto, se utiliza una versión más fuerte del teorema de las tres líneas de Hadamard , debida a Isidore Isaac Hirschman, Jr. , para establecer los límites deseados. Véase Stein y Weiss (1971) para una demostración detallada y una publicación de blog de Tao para una exposición de alto nivel del teorema.
6. Fefferman y Stein (1972)
7. a Elias Stein por decir que los operadores interesantes en el análisis armónico rara vez están acotados en L ¹ y L ^∞ .

Referencias

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Partes I y II , Wiley-Interscience.
• Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972), " Espacios de varias variables", Acta Mathematica , 129 : 137–193, doi : 10.1007/bf02392215 ${\displaystyle H^{p}}$
• Glazman, IM; Lyubich, Yu.I. (1974), Análisis lineal de dimensión finita: una presentación sistemática en forma de problema , Cambridge, Mass.: The MIT Press. Traducido del ruso y editado por GP Barker y G. Kuerti.
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, señor  0717035.
• Mitjagin [Mityagin], BS (1965), "Un teorema de interpolación para espacios modulares (ruso)", Mat. SB. , Nueva serie, 66 (108): 473–482.
• Thorin, GO (1948), "Teoremas de convexidad que generalizan los de M. Riesz y Hadamard con algunas aplicaciones", Comm. Sem. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] , 9 : 1–58, SEÑOR  0025529
• Riesz, Marcel (1927), "Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires", Acta Mathematica , 49 (3–4): 465–497, doi : 10.1007/bf02564121
• Stein, Elias M. (1956), "Interpolación de operadores lineales", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 83 (2): 482–492, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0082586-0
• Stein, Elías M.; Shakarchi, Rami (2011), Análisis funcional: introducción a otros temas de análisis , Princeton University Press
• Stein, Elías M.; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press

enlaces externos

• "Teorema de la convexidad de Riesz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]