En matemáticas , una medida positiva (o con signo ) μ definida en una σ -álgebra Σ de subconjuntos de un conjunto X se llama medida finita si μ ( X ) es un número real finito (en lugar de ∞). Un conjunto A en Σ es de medida finita si μ ( A ) < ∞ . La medida μ se llama σ-finita si X es una unión contable de conjuntos mensurables, cada uno de ellos con medida finita. Se dice que un conjunto en un espacio de medidas tiene σ -medida finita si es una unión contable de conjuntos mensurables con medida finita. Que una medida sea σ-finita es una condición más débil que ser finita, es decir, todas las medidas finitas son σ-finitas pero hay (muchas) medidas σ-finitas que no son finitas.
Una noción diferente pero relacionada que no debe confundirse con σ-finitud es s-finitud .
Sea un espacio mensurable y una medida sobre él.
La medida se denomina medida σ-finita si satisface uno de los cuatro criterios equivalentes siguientes:
Si es una medida finita, el espacio de medidas se llama espacio de medidas finitas . [3]
Por ejemplo, la medida de Lebesgue en números reales no es finita, pero sí σ-finita. De hecho, considere los intervalos [ k , k + 1) para todos los números enteros k ; hay muchos intervalos de este tipo, cada uno tiene medida 1 y su unión es la línea real completa.
Alternativamente, considere los números reales con la medida de conteo ; la medida de cualquier conjunto finito es el número de elementos del conjunto y la medida de cualquier conjunto infinito es el infinito. Esta medida no es σ -finita, porque cada conjunto con medida finita contiene sólo un número finito de puntos, y se necesitarían incontables conjuntos de este tipo para cubrir toda la línea real. Pero el conjunto de números naturales con medida de conteo es σ -finito.
Los grupos localmente compactos que son σ-compactos son σ-finitos según la medida de Haar . Por ejemplo, todos los grupos G conectados y localmente compactos son σ-compactos. Para ver esto, sea V una vecindad abierta relativamente compacta y simétrica (es decir, V = V −1 ) de la identidad. Entonces
es un subgrupo abierto de G . Por lo tanto H también es cerrado ya que su complemento es una unión de conjuntos abiertos y por conectividad de G , debe ser G mismo. Por tanto, todos los grupos de Lie conectados son σ-finitos según la medida de Haar.
Cualquier medida no trivial que tome solo los dos valores 0 y sea claramente no σ-finita. Un ejemplo es: para todos , si y sólo si A no está vacío; otro es: para todos , si y sólo si A es incontable, 0 en caso contrario. Por cierto, ambos son invariantes en la traducción.
La clase de medidas σ-finitas tiene algunas propiedades muy convenientes; La σ-finitud se puede comparar a este respecto con la separabilidad de espacios topológicos. Algunos teoremas en análisis requieren σ-finitud como hipótesis. Por lo general, tanto el teorema de Radón-Nikodym como el teorema de Fubini se expresan bajo el supuesto de σ-finitud de las medidas involucradas. Sin embargo, como se muestra en el artículo de Segal "Equivalencias de espacios de medida" ( Am. J. Math. 73, 275 (1953)) sólo requieren una condición más débil, a saber, la localizabilidad .
Aunque las medidas que no son σ -finitas a veces se consideran patológicas, de hecho ocurren de forma bastante natural. Por ejemplo, si X es un espacio métrico de dimensión de Hausdorff r , entonces todas las medidas de Hausdorff de dimensiones inferiores no son finitas si se consideran medidas en X.
Cualquier medida σ-finita μ en un espacio X es equivalente a una medida de probabilidad en X : sea V n , n ∈ N , una cobertura de X por conjuntos medibles por pares disjuntos de μ -medida finita, y sea w n , n ∈ N , sea una secuencia de números positivos (pesos) tal que
La medida ν definida por
es entonces una medida de probabilidad en X con precisamente los mismos conjuntos nulos que μ .
Una medida de Borel (en el sentido de una medida localmente finita en el álgebra de Borel [4] ) se denomina medida moderada si y solo hay muchos conjuntos abiertos contables con para todos y . [5]
Toda medida moderada es una medida finita; lo contrario no es cierto.
Una medida se llama medida descomponible; hay conjuntos mensurables disjuntos con para todos y . Para medidas descomponibles, no hay restricción en el número de conjuntos mensurables con medida finita.
Toda medida finita es una medida descomponible; lo contrario no es cierto.
Una medida se llama medida s-finita si es la suma de, como máximo, un número contable de medidas finitas . [2]
Cada medida σ-finita es s-finita, lo contrario no es cierto. Para ver una prueba y un contraejemplo, consulte Medida s-finita # Relación con medidas σ-finitas .